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Gegeben eine projektive normale Varietät $X$ über einem Körper $k$. Weiter sei [mm] $K_X$ [/mm] der kanonische Divisor zu $X$. Ich habe in einem Artikel folgendes gelesen:
[mm] "...$(K_X)^2$ $\leq$ [/mm] 9..."
Daher meine Frage: Wie genau lässt sich ein Weil-Divisor bzw. ein Cartier-Divisor (in diesem Artikel ist [mm] $K_X$ [/mm] auch Cartier) mit einer ganzen Zahl identifizieren? Die Klassengruppe von $X$ ist nicht immer automatisch isomorph zu den ganzen Zahlen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Do 06.09.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo itzepo11,
das ist ohne mehr details nicht sicher, aber ich tippe schwer auf die Schnittzahl ([mm]K_X^2 = K_X.K_X[/mm]). Je nach Literatur mit der Du vertraut bist, sieh im englischen Fall unter intersection theory nach.
EDIT:
Nachdem meine Mitteilung als Antwort und die Frage als teilweise beantwortet markiert wurden fühle ich mich dazu bewegt etwas ausführlicher zu werden.
Zu Deiner Vermutung: Da die Divisorenklassengruppe (selbst normaler Varietäten) nicht immer gleich den ganzen Zahlen ist, können wir dies ausschließen. (Beispiel auf Nachfrage.) Wenn in diesem Artikel nichts weiteres steht, kann [mm](K_X)^2[/mm] meiner Erfahrung nach eigentlich nur für die Schnittzahl stehen.
Die Schnitttheorie in den höheren Dimensionen ist nicht leicht erklärt, darüber lassen sich Lehrbücher schreiben: "Intersection Theory" oder "Introduction to Intersection Theory in Algebraic Geometry", beide von Fulton. Eine kleine Übersicht findet man im Anhang 'des' Hartshorne (Algebraic Geometry, Appendix I).
Darf ich aber die Vermutung äußern, dass es sich an dieser Stelle bei [mm]X[/mm] um eine Fläche handelt? In diesem Fall (dank der Projektivität die Du forderst) ist das garnicht so kompliziert und lässt sich in vielen ausführlichen einführenden Lehrbuch zur algebraischen Geometrie nachlesen. Bei Hartshorne ist es Kapitel V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 07.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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