Welches Dichtefunktionen? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Fr 25.07.2008 | | Autor: | zu1u |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen
[mm] f:\IR\mapsto\IR:x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \in [-1, 1] \\ 0, & \mbos{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] g:\IR\mapsto\IR:x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{falls } 3*x^2/2 \in [-1, 1] \\ 0, & \mbos{sonst } \end{cases}
[/mm]
(a) Welche dieser Funktionen sind Dichtefunktionen? |
Soweit ich das bisher verstanden habe muss fuer eine Dichtefunktion f(x)>=0 fuer x [mm] \in [/mm] R gelten. Ausserdem [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = 1
Liege ich damit richtig?
Wenn ich danach vorgehe scheidet f aus weil f(x)>=0 nicht immer gilt und wenn ich g integriere komme ich auf 1/2 also auch keine Dichtefunktion?
Kann es sein das man ueber [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{g(x) dx} [/mm] = 1
integrieren muss? dann wuerde man ja auf 1 kommen, aber irgendwie haben wir das anders gelernt.. oder ich hab schlecht aufgepasst ^^
jedenfall muss man in der Folgeaufgabe mit einer Dichtefunktion von beiden weitermachen, also mach ich leider was falsch.
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Fr 25.07.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast Recht mit Deiner Annahme über die Dichte.
Es muss für eine Dichtefunktion immer gelten
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1
[/mm]
s. auch den folgenden Link
![[]](/images/popup.gif) Wahrscheinlichkeitsdichte
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Sa 26.07.2008 | | Autor: | zu1u |
danke soweit!
in der naechsten Teilaufgabe soll man P(X=1/2) , P(X [mm] \in [/mm] [0, ln(3)]) sowie den Erwartungswert und die Varianz von X bestimmen.
Muss ich dafuer nicht wissen ob die Wahrscheinlichkeit geometrisch, binomial, oder exponentiell verteilt ist? ich hab das gefuehl keins von den dreien ;)
aber so weiss ich nicht wie ich das angehen kann.
Bestimme ich Erwartungswert per [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x*g(x) dx} [/mm] und Varianz per [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x^2*g(x) dx}
[/mm]
wir haben da so viele Formeln und ich blicke nicht mehr durch :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Sa 26.07.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
> danke soweit!
>
> in der naechsten Teilaufgabe soll man P(X=1/2) , P(X [mm]\in[/mm]
> [0, ln(3)]) sowie den Erwartungswert und die Varianz von X
> bestimmen.
>
> Muss ich dafuer nicht wissen ob die Wahrscheinlichkeit
> geometrisch, binomial, oder exponentiell verteilt ist? ich
> hab das gefuehl keins von den dreien ;)
natürlich nicht! es gibt beliebig viele verteilungen. außerdem ist die geometrische und die binomial ja diskret und hat somit eine Zähldichte
mit P(A) = [mm] \summe_{\omega \in A} P(\omega)
[/mm]
hier geht es um stetige verteilungen wobei dann
P([a,b]) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] wenn f(x) W-keitsdichte
> aber so weiss ich nicht wie ich das angehen kann.
>
> Bestimme ich Erwartungswert per [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{x*g(x) dx}[/mm]
> und Varianz per [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{x^2*g(x) dx}[/mm]
ja den Erwartungswert kann man so bestimmen und das zweite Momment auch und dann ist
Var(X) = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] (E[X])^2
[/mm]
>
> wir haben da so viele Formeln und ich blicke nicht mehr
> durch :(
>
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Sa 26.07.2008 | | Autor: | zu1u |
Danke fuer deine Hilfe, aber wenn ich fuer P(X=1/2)
>mit P(A) = $ [mm] \summe_{\omega \in A} P(\omega) [/mm] $
>hier geht es um stetige verteilungen wobei dann
>P([a,b]) = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ wenn f(x) W-keitsdichte
dann bekomme ich doch P(X=1/2) = 0 mit a und b = 1/2 oder nicht?!
> ich würde bei a) sagen:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x 1_{(-1,1)}(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x dx}[/mm] = [mm]2*\integral_{0}^{1}{x dx }[/mm] = 1
>
also du meinst das f(x) auch eine gueltige Dichtefunktion ist? Es muss also nicht gelten f(x) >=0 fuer alle x /in R??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 26.07.2008 | | Autor: | vivo |
doch das muss gelten ! habe ich übersehen sorry ...
aber dass muss doch dann für g(x) auch gelten ... dann kommt da doch auch nicht 1 raus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 26.07.2008 | | Autor: | zu1u |
> E[X] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2 1_{(-1,1)}(x) dx} [/mm] =
> [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
ich schon wieder... muesste das nicht 0 sein?
und wegen P(X=1/2) bekommt man dann 0 wenn man integriert da a=b=1/2 oder denk ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Sa 26.07.2008 | | Autor: | vivo |
schreib mal bitte wie du bei g(x) auf 1 kommst ...
> > E[X] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2 1_{(-1,1)}(x) dx}[/mm] =
> > [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> ich schon wieder... muesste das nicht 0 sein?
= [mm] [\bruch{1}{3}x^3]_{-1}^{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
aber das ist sowieso egal weil du natürlich recht hast dass [mm] f(x)\ge [/mm] 0 sein muss bei W.-keitsdichten
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Sa 26.07.2008 | | Autor: | zu1u |
ich editiere meine Fragen scheinbar immer im unguenstigsten Zeitpunkt ;)
und wegen P(X=1/2) bekommt man dann 0 wenn man integriert da a=b=1/2 oder denk ich da falsch?
was meinst du mit?
>schreib mal bitte wie du bei g(x) auf 1 kommst ...
hab ich das irgendwo geschrieben?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 26.07.2008 | | Autor: | vivo |
ja also punktw-keit sind bei stetiger verteilung immer null.
aber schreib doch bitte trotzedem mal wie du bei g(x) beim Integral auf 1 kommst .
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 26.07.2008 | | Autor: | zu1u |
also [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{3*x^2/2 dx} [/mm] = [mm] [3*x^3/6] [/mm] ueber -1 und 1... = 3/6 - [mm] (3*(-1)^3/6) [/mm] = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Sa 26.07.2008 | | Autor: | vivo |
ja das passt natürlich ... dann hast du aber die funktion im ersten beitrag falsch angegeben da steht nämlich x falls [mm] (3x^2)/2 \in [/mm] [-1,1] und nicht andersrum ....
alles richtig ... jetzt einfach Var(X)= [mm] E(x^2) [/mm] - [mm] (EX)^2
[/mm]
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Sa 26.07.2008 | | Autor: | zu1u |
ups sorry :-D
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