Welches Verfahren=? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo zusammen
[mm] \integral \bruch{4x-2}{x^{2} - 2x + 5} [/mm] dx
Hier habe ich keinen Ansatz. Eigentlich riecht ja das nach Patialbruchzerlegung. Doch es gibt im Nenner gar keine Nullstellen.
Muss ich deshalb Substituieren?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> Hallo zusammen
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> [mm]\integral \bruch{4x-2}{x^{2} - 2x + 5}[/mm] dx
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> Hier habe ich keinen Ansatz. Eigentlich riecht ja das nach
> Patialbruchzerlegung. Doch es gibt im Nenner gar keine
> Nullstellen.
>
> Muss ich deshalb Substituieren?
Nun, zunächst stellt man fest, daß im Zähler bis auf einen konstanten Faktor fast die Ableitung des Nenners steht.
[mm]\integral_{}{\alpha*\bruch{\operatorname{Ableitung}}{\opertorname{Nenner}} \ dx}, \ \alpha \in \IR \setminus \left\{0\right\}[/mm]
kann ohne Probleme integriert werden.
Übrig bleibt allerdings das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\beta*\bruch{1}{x^{2}-2x+5} \ dx}, \ \beta \in \IR[/mm]
Hier mußt Du dann geeignet substituieren.
> Danke
> Gruss Dinker
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
> Hallo Dinker,
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> > Hallo zusammen
> >
> >
> > [mm]\integral \bruch{4x-2}{x^{2} - 2x + 5}[/mm] dx
> >
> > Hier habe ich keinen Ansatz. Eigentlich riecht ja das nach
> > Patialbruchzerlegung. Doch es gibt im Nenner gar keine
> > Nullstellen.
> >
> > Muss ich deshalb Substituieren?
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>
> Nun, zunächst stellt man fest, daß im Zähler bis auf
> einen konstanten Faktor fast die Ableitung des Nenners
> steht.
Ja das sehe ich, 5 ist der konstante Faktor.
Doch ich begreife nicht wirklich, wie man diese Info ausnutzen kann
>
> [mm]\integral_{}{\alpha*\bruch{\operatorname{Ableitung}}{\opertorname{Nenner}} \ dx}, \ \alpha \in \IR \setminus \left\{0\right\}[/mm]
>
> kann ohne Probleme integriert werden.
>
> Übrig bleibt allerdings das Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\beta*\bruch{1}{x^{2}-2x+5} \ dx}, \ \beta \in \IR[/mm]
>
> Hier mußt Du dann geeignet substituieren.
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> > Danke
> > Gruss Dinker
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> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Nein, im Zähler fehlt ein geeigneter Summand.
Formen wir mal um:
[mm] $$\bruch{4x-2}{x^2 - 2x + 5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x-2-2+2}{x^2 - 2x + 5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x-4+2}{x^2 - 2x + 5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x-4}{x^2 - 2x + 5}+\bruch{2}{x^2 - 2x + 5} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{2x-2}{x^2 - 2x + 5}+\bruch{2}{x^2 - 2x + 5}$$
[/mm]
Nun werden beide Brüche separat integriert.
Für den 1. Bruch kannst Du nun den gesamten Nenner substituieren.
Beim 2. Bruch formen wir noch etwas um:
[mm] $$\bruch{2}{x^2 - 2x + 5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x^2 - 2x + 1+4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{(x-1)^2+4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{4}*\bruch{1}{\bruch{(x-1)^2}{4}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-1}{2}\right)^2+1}$$
[/mm]
Nun wird hier die Klammer substituiert, um auf ein bekanntes Integral zu kommen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Loddar
Danke für die ausführliche Erklärung.
Nur muss man das zuerst auch noch auf diesen Ansatz kommen.
Gruss Dinker
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