Wellen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zwei Wellen, die auf einer bei x=0m eingespannten Saite in einander entgegengesetzte Richtungen laufen, werden durch die Funktionen [mm] D_1=0,2m*sin(2x-4t) [/mm] und [mm] D_2=0,2m*sin(2x+4t) [/mm] beschrieben (x in metern, s in Sekunden). Sie erzeugen eine stehende Welle.
a) Bestimmen Sie die Funktion für die stehende Welle.
b) Wie groß ist die maximale Amplitude bei x=0,45m?
c) Wo ist das andere Ende eingespannt (x>0)?
d) Wie groß ist die maximale Amplitude und wo befindet sie sich? |
a)
Wellen können sich wie Schwingungen überlagern. Deshalb gilt:
[mm] D=D_1+D_2=0,2m[sin(2x-4t)+(2x+4t)]
[/mm]
Wie fasse ich die Gleichung weiter zusammen?
|
|
| |
|
> Zwei Wellen, die auf einer bei x=0m eingespannten Saite in
> einander entgegengesetzte Richtungen laufen, werden durch
> die Funktionen [mm]D_1=0,2m*sin(2x-4t)[/mm] und [mm]D_2=0,2m*sin(2x+4t)[/mm]
> beschrieben (x in metern, s in Sekunden). Sie erzeugen eine
> stehende Welle.
>
> a) Bestimmen Sie die Funktion für die stehende Welle.
> b) Wie groß ist die maximale Amplitude bei x=0,45m?
> c) Wo ist das andere Ende eingespannt (x>0)?
> d) Wie groß ist die maximale Amplitude und wo befindet
> sie sich?
>
>
> a)
>
> Wellen können sich wie Schwingungen überlagern. Deshalb
> gilt:
>
> [mm]D=D_1+D_2=0,2m[sin(2x-4t)+\red{sin}(2x+4t)][/mm]
>
> Wie fasse ich die Gleichung weiter zusammen?
Indem du die Additionstheoreme für den sin benutzt:
sin(a [mm] \pm [/mm] b) = sin(a)cos(b) [mm] \pm [/mm] cos(a)sin(b).
|
|
|
| |
|
a)
Ich bekomme am ende folgende Funktion für die Welle:
[mm] D=0,4m\cdot\sin(2x)*cos(4t)
[/mm]
b)
[mm] D(x=0,45m)=0,4m\cdot\sin(2*0,45m)*cos(4t)
[/mm]
Mich stört die Einheit Meter im sinus. der wert im sinus muss ja die einheit bogenmaß oder gradmaß haben. Was mache ich nun mit der Einheit Meter? ich habs mal ignoriert
[mm] D(x=0,45m)=0,313m*\cos(4t)
[/mm]
Die Amplitude ist max, wenn cos(4t)=1
das heißt die maximal amplitude beträgt [mm] D_{max}=0,313m
[/mm]
c)
Hier benötige ich die Wellenlänge [mm] \lambda [/mm] oder? ich kenne nur folgende beziehung:
[mm] c=\bruch{\lambda}{T}=\lambda*f
[/mm]
aber mit den gegebenen Werten kann ich die Wellenlänge so nicht bestimmen.
Wie löse ich nun aufgabe c) ?
und bitte auch die frage zu b) bezüglich der Einheit Meter im sinus beantworten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 04.09.2015 | | Autor: | Calli |
> ...
> [mm]D(x=0,45m)=0,4m\cdot\sin(2*0,45m)*cos(4t)[/mm]
>
> Mich stört die Einheit Meter im sinus. der wert im sinus
> muss ja die einheit bogenmaß oder gradmaß haben. Was
> mache ich nun mit der Einheit Meter? ich habs mal
> ignoriert
So kann man's auch machen.![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Das Argument von Winkelfunktionen muss immer eine dimensionslose Zahl sein [mm] $\left(\text{Bogenmasz} =\frac{\text{Bogen}}{\text{Radius}}\right)$.
[/mm]
Die Phase [mm] $\varphi$ [/mm] einer Welle ist [mm] $\varphi=k\cdot [/mm] x [mm] \pm \omega\cdot [/mm] t$.
Was bedeuten k und ω ? Wie groß sind k und ω in dieser Aufgabe (mit Einheiten) ?
Ciao
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Die Phase [mm]\varphi[/mm] einer Welle ist [mm]\varphi=k\cdot x \pm \omega\cdot t[/mm].
>
> Was bedeuten k und ω ? Wie groß sind k und ω
> in dieser Aufgabe (mit Einheiten) ?
[mm] \omega [/mm] ist die kreisfrequenz und beträgt in dieser aufgabe [mm] \omega=4Hz
[/mm]
was k ist weiß ich nicht. kannst du es mir sagen?
|
|
|
| |
|
die größe k gibt es dort nicht. Wenn es mit den einheiten passen soll muss gelten
[mm] k=2\pi*\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
liege ich damit richtig?
|
|
|
| |
|
Wann benutze ich bei der folgenden gleichung
[mm]\varphi=k\cdot x \pm \omega\cdot t[/mm]
das vorzeichen plus oder minus?
Es gilt nun [mm] k=2\pi*\bruch{1}{\lambda}=2\bruch{1}{m}
[/mm]
Es gilt: [mm] D=0,4m\cdot\sin(2x)*cos(4t)
[/mm]
Für die Amplitude muss gelten [mm] cos(4\bruch{t}{s})=1
[/mm]
Daraus folgt t=0s
Und daraus folgt
[mm] D=0,4m\cdot\sin(2\bruch{x}{m})
[/mm]
D(0,45m)=0,313m
jetzt passt das auch mit den einheiten.
Wie löse ich nun die Aufgabe c) ?
brauche ich hierzu die Wellenlänge [mm] \lambda?
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{2pi}{2}m=\pi [/mm] m
wie mache ich nun weiter? ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Fr 04.09.2015 | | Autor: | Calli |
> Wann benutze ich bei der folgenden gleichung
>
> [mm]\varphi=k\cdot x \pm \omega\cdot t[/mm]
>
> das vorzeichen plus oder minus?
Plus beschreibt eine rücklaufende Welle und umgekehrt.
> Wie löse ich nun die Aufgabe c) ?
>
> brauche ich hierzu die Wellenlänge [mm]\lambda?[/mm]
>
> [mm]\lambda=\bruch{2pi}{2}m=\pi[/mm] m
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aufgabe c): Randbedingung [mm] $\sin(k\;x)=0\quad\to\quad k\;x=\cdots\;? [/mm] $
Und was ergibt
[mm] $\frac{\omega}{k}=\cdots\;?$
[/mm]
|
|
|
| |
|
hallo,
>
> Aufgabe c): Randbedingung [mm]\sin(k\;x)=0\quad\to\quad k\;x=\cdots\;?[/mm]
Wie kommst du auf diese Randbedingung?
[mm] \sin(k\;x)=0
[/mm]
[mm] sin(2\pi*\bruch{x}{\lambda})=0
[/mm]
[mm] 2\pi*\bruch{x}{\lambda}=0
[/mm]
diese Gleichung stimmt nur wenn x=0 ist
Aber wie hilft mir das weiter?
> Und was ergibt
> [mm]\frac{\omega}{k}=\cdots\;?[/mm]
Das ist die Wellengeschwindigkeit:
[mm] c=\bruch{\omega}{k}=\bruch{\lambda*\omega}{2\pi}=\lambda*f=2 [/mm] m/s
aber auch hier ist mir nicht klar, wie mir das weiter hilft
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 05.09.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> hallo,
>
> >
> > Aufgabe c): Randbedingung [mm]\sin(k\;x)=0\quad\to\quad k\;x=\cdots\;?[/mm]
>
> Wie kommst du auf diese Randbedingung?
am Einspannungspunkt muss die Amplitude =0 sein.
>
> [mm]\sin(k\;x)=0[/mm]
>
> [mm]sin(2\pi*\bruch{x}{\lambda})=0[/mm]
>
> [mm]2\pi*\bruch{x}{\lambda}=0[/mm]
>
> diese Gleichung stimmt nur wenn x=0 ist
Bist Du Dir das sicher? Zähle doch mal bitte die Nullstellen der Sinusfunktion.
>
> Aber wie hilft mir das weiter?
Nochmal: Am Einspannungspunkt muss die Amplitude =0 sein.
>
>
> > Und was ergibt
> > [mm]\frac{\omega}{k}=\cdots\;?[/mm]
>
> Das ist die Wellengeschwindigkeit:
>
> [mm]c=\bruch{\omega}{k}=\bruch{\lambda*\omega}{2\pi}=\lambda*f=2[/mm]
> m/s
>
> aber auch hier ist mir nicht klar, wie mir das weiter hilft
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Sa 05.09.2015 | | Autor: | Calli |
> > Und was ergibt
> > [mm]\frac{\omega}{k}=\cdots\;?[/mm]
>
> Das ist die Wellengeschwindigkeit:
>
> [mm]c=\bruch{\omega}{k}=\bruch{\lambda*\omega}{2\pi}=\lambda*f=2[/mm]
> m/s
>
> aber auch hier ist mir nicht klar, wie mir das weiter hilft
Die Frage nach [mm] $\frac{\omega}{k}$ [/mm] hat mit der Aufgabe direkt nix zu tun, sondern soll auf weitere Schreibweisen der Phase [mm] $\varphi$ [/mm] hinweisen:
[mm] $\varphi=k\;x-\omega\,t=k\left(x-\frac{\omega}{k}\,t\right)=\frac{2\,\pi}{\lambda}\left(x-c\,t\right)=2\,\pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{\lambda/c}\right)=2\,\pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)$ [/mm] 
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wellen