Wendepunkt von x^3 (Beweis) < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass jede ganzrationale Funktion 3. Grades genau eine Wendestelle hat. |
Mein Ansatz:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f'''(x)=6a
a ungleich Null, da sonst ja keine Funktion 3. Grades.
Nun habe ich mir gedacht, ich rechne die Wendestelle w einfach aus (also f''(w)=0 -> w=-1/3 * a/b). Damit habe ich doch bewiesen, dass es maximal eine Wendestelle gibt oder?
Nun möchte ich w in die dritte Ableitung setzen..., aber mir ist jicht ganz klar, wie ich nun zeige, dass die Funktion GENAU eine Wendestelle hat.
Hoffe auf eure Hilfe!
Lg, Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Eigentlich bist du schon fertig.
f'' ist eine Gerade mit Anstieg [mm] \not= [/mm] 0 und diese hat ja immer genau eine Nullstelle.
Alternativ: Eine Nullstelle hast du ja angegeben, diese liegt bei [mm] w=-\bruch{b}{3a} [/mm] (du hast dich sicher nur verschrieben). Daher gibt es mindestens eine Lösung, also eine Wendestelle. Und weil f'' eben eine Gleichung ist, wo x nur in der 1. Potenz vorkommt, kann es nicht mehr geben. Es gibt höchstens eine Lösung. Insgesamt gibt es genau eine Lösung. und damit genau eine Wendestelle.
Ferner ist natürlich f'''(x) auch ungleich 0, was hier ja auch noch zutreffen muss.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
und warum gibt es nciht bsp. gar keine Lösung?
Und noch was anderes: Was ist eine horizontale Wendetangente?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Also an der Stelle x ein Wendepunkt sein soll, muss ja gelten 6ax+2b=0 Und [mm] 6a\not=0 [/mm] (was aber eh immer erfüllt ist).
Das wichtige ist auch die Gleichung 6ax+2b=0. Durch umstellen kommt man auf [mm] x=-\bruch{b}{3a}, [/mm] was ja immer existiert, da a nicht 0 ist (das ist wohl das wichtige Argument hier).
Daher gibt es immer eine Lösung.
Und man hat eine horizontale Wendetangente, wenn der Anstieg in einem Wendepunkt 0 ist (also eine Tangente in einem Sattelpunkt). Das ist z.B. bei [mm] f(x)=x^3 [/mm] der Fall.
[mm] f'(x)=3x^2, [/mm] f''(x)=6x, f''(x)=6, Wendepunkt ist bei W(0|0) und f'(0) ist ebenfalls 0. Also hat die Tangente im Wendepunkt die Steigung 0 und ist damit eine horizontale Wendetangente.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Teufel!
> Daher gibt es immer eine Lösung.
Stimmt. Für diese Gleichung schon. Und es gibt m.M. nach auch nur eine Lsg. ABER: Wenn ich dann das w in die dritte Ableitung einsetze, wer garantiert mir denn da dann, dass die da nicht Null wird?
Danke wegen der TAngente!
:D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Die 3. Ableitung ist doch f'''(x)=6a, also ganz unabhängig von x. Und wegen [mm] a\not=0 [/mm] ist f'''(x) immer ungleich 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Ach ja... stimmt!
Tschuldigung :)
Und bei der zweiten Sache kommt wirklich immer genau NUR eine Lsg. raus (nämlich die, die ich allgemein ermittelt habe), nicht wahr? Das geht mathematisch gar nichta nders...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Also ich weiß nicht, wie genau ihr das machen müsst. Aber wenn du es ganz genau machen willst/musst:
(ich mach das jetzt mal ganz allgemein und nicht speziell auf deine Aufgabe bezogen)
Zu zeigen: Eine lineare Gleichung hat genau eine Lösung.
Sei ax+b=0 eine Gleichung, [mm] a\not=0.
[/mm]
Dann ist [mm] w=-\bruch{b}{a} [/mm] eine Lösung, weil [mm] aw+b=a*(-\bruch{b}{a})+b=-b+b=0. [/mm] Damit ist die Existenz einer Lösung gezeigt (es muss also mindestens eine geben).
Nun kann man auch die Eindeutigkeit der Lösung zeigen, also dass es auch höchstens eine gibt. Sei w also eine Lösung und w' eine (eventuelle) weitere Lösung.
Dann ist sowohl aw+b=0 als auch aw'+b=0.
Dann folgt:
aw+b=aw'+b [mm] \gdw [/mm] aw=aw' [mm] \gdw [/mm] w=w'
Also müssen w und w' schon gleich gewesen sein. Daher gibt es keine anderen Lösungen außer dem w.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Nur eine kurze Nachfrage: Damit meine Funktion eine horizontale Wendetangente hat, muss die Funktionn einen Sattelpunkt haben.
Für diesen Sattelpunkt S (a/b) muss dann quasi gelten:
f'(a)=0 und f''(a)=0 aber f'''(a) ungleich Null?!
Kann man vereinfacht sagen, dass der Sattelpunkt quasi Extrumum und Wendepunkt in einem ist?
lg, sam
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Hallo Sam_Nat,
> Nur eine kurze Nachfrage: Damit meine Funktion eine
> horizontale Wendetangente hat, muss die Funktionn einen
> Sattelpunkt haben.
>
> Für diesen Sattelpunkt S (a/b) muss dann quasi gelten:
> f'(a)=0 und f''(a)=0 aber f'''(a) ungleich Null?!
[mm]f'''\left(a\right) \not= 0[/mm] ist gewährleistet,
da es sich bei f um eine ganzrationale Funktion 3.Grades handelt.
>
> Kann man vereinfacht sagen, dass der Sattelpunkt quasi
> Extrumum und Wendepunkt in einem ist?
Nein.
Nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist ein Sattelpunkt ein kritischer Punkt
einer Funktion f, der kein Extremum ist.
>
> lg, sam
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
> > Für diesen Sattelpunkt S (a/b) muss dann quasi gelten:
> > f'(a)=0 und f''(a)=0 aber f'''(a) ungleich Null?!
Gilt das denn nun aber ALLES?
> Nach Wikipedia ist
> ein Sattelpunkt ein kritischer Punkt
> einer Funktion f, der kein Extremum ist.
Falls obiges gilt, ist er doch aber irgendwie schon erstmal Extremum (bis man dann feststellt, dass f'' Null ist, was für ein Extremum nicht sein dürfte)?
Ich will das hier auch nicht kleinkariert haben... klar, "offiziell" iust es keiner. Aber von den NOTWENDIGEN Kriterien her... denk man doch es wär einer oder etwa nicht?
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Hallo Sam_Nat,
> Hallo,
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>
> > > Für diesen Sattelpunkt S (a/b) muss dann quasi gelten:
> > > f'(a)=0 und f''(a)=0 aber f'''(a) ungleich Null?!
> Gilt das denn nun aber ALLES?
>
Ja, für den hier vorliegenden Fall einer ganzrationalen Funktion 3. Grades gilt das alles.
>
> > Nach Wikipedia ist
> > ein Sattelpunkt ein kritischer Punkt
> > einer Funktion f, der kein Extremum ist.
> Falls obiges gilt, ist er doch aber irgendwie schon
> erstmal Extremum (bis man dann feststellt, dass f'' Null
> ist, was für ein Extremum nicht sein dürfte)?
Ja.
> Ich will das hier auch nicht kleinkariert haben... klar,
> "offiziell" iust es keiner. Aber von den NOTWENDIGEN
> Kriterien her... denk man doch es wär einer oder etwa
> nicht?
>
Sicher.
Gruss
MathePower
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