Wendetangente, Nullstelle < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mi 09.04.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x)
f(x) = [mm] \bruch{1}{8}(x³-9x²+11x+21), [/mm] bekannte Nullstelle [mm] x_1=3
[/mm]
b) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente [mm] t_w(x); [/mm] W(3|0)?
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Hallo Zusammen,
zu a)
f(x) = [mm] \bruch{1}{8}(x³-9x²+11x+21) [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}x³-\bruch{9}{8}x²+\bruch{11}{8}x+\bruch{21}{8}
[/mm]
f(x) = 0 -> [mm] \bruch{1}{8}x³-\bruch{9}{8}x²+\bruch{11}{8}x+\bruch{21}{8} [/mm] = 0 | [mm] \cdot{} [/mm] 8
(x³-9x²+11x+21):(x-3) = x²-6x-7
x²-6x-7=0
[mm] x_2,3 [/mm] = [mm] \bruch{6 \pm 8}{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 7; [mm] x_3 [/mm] = -1
passt dies soweit?
nun zu b)
gesucht ist [mm] t_w(x) [/mm] = m [mm] \cdot{} [/mm] x + b
f'(x) = [mm] \bruch{3}{8}x²-\bruch{9}{4}x+\bruch{11}{8} [/mm] | [mm] \cdot{} [/mm] 8
= 3x²-18x+11
f'(3) = [mm] 3(3)²-18\cdot{}3+11= [/mm] -16
dann W(3|0) und m = -16 in [mm] t_w(x) [/mm] = m [mm] \cdot{} [/mm] x + b einsetzen:
0 = -16 [mm] \cdot{} [/mm] 3 + b
b = 48
somit [mm] t_w(x) [/mm] = -16x + 48
nur ist dies nicht die Wendetangente, sondern [mm] t_w(x) [/mm] = -2x + 6, wo hab ich den Fehler gemacht?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Aufgabe a.) hast Du richtig gelöst.
Bei Aufgabe b.) darfst Du nicht einfach die Abelitung mit 8 multiplizieren. Denn genau dadurch "verfälschst" Du Dein Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 09.04.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Loddar,
also darf man generell, die Ableitungen nicht mit einer Zahl multiplizieren, da man das Ergebnis verfälscht, sondern nur bei der Ausgangsfunktion f(x)?
Gruß itse
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Hallo itse,
> also darf man generell, die Ableitungen nicht mit einer
> Zahl multiplizieren, da man das Ergebnis verfälscht,
> sondern nur bei der Ausgangsfunktion f(x)?
Bei der 1. Aufgabe durftest Du den Term mit 8 multiplizieren, da Du auf der rechten Seite eine Null stehen hattest. Die Nullstellen einer Funktion ändern sich nicht, wenn man sie mit einem Faktor streckt oder staucht. Null mal irgendetwas gibt immer gleich Null.
Bei der Ermittlung der Steigung der Wendetangente berechnest Du f'(3), was nicht gleich Null ist. Wenn Du da den Term mit 8 multiplizierst, bekommst Du den 8-fachen Wert der eigentlichen Steigung!
LG, Martinius
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