Wert einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Und die letzte Frage:
Man berechne den Wert der folgenden Reihe:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+(-1)^n)*3^n[/mm]
Dazu habe ich bisher folgendes überlegt:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+(-1)^n)*3^n[/mm]
=[mm]\summe_{n=0}^{\infty} n/3^n + (-1/3)^n[/mm]
Falls nun [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n/3^n [/mm] konvergent ist und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1/3)^n[/mm] konvergent ist, so ist auch
=[mm]\summe_{n=0}^{\infty} n/3^n + (-1/3)^n[/mm] konvergent!
Also betrachte ich die einzelnen Reihen:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1/3)^n [/mm]
= 4/3 (geometr. Reihe)
Aber für [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n/3^n + (-1/3)^n[/mm] weiss ich keinen Ansatz.
Ich habe zunächst folgendes versucht:
Für ein x aus (-1,1) gilt:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = 1/(1-x) [/mm]
Ferner ist:
[mm]d/dx (\summe_{n=0}^{\infty} x^n)[/mm]
= [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n x^{n-1})[/mm]
=[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n)[/mm]
=[mm]d/dx (1/(1-x))[/mm]
=[mm]1/(1-x)^2[/mm]
Doch leider kann ich diese Idee nicht auf dieses Problem ummünzen.
Vielleicht brauche ich auch einen anderen Ansatz!
Was meint Ihr?
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Di 14.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Wurzelpi
du hast bis jetzt ja alles richtig gemacht! es fehlt nur die letzte konsequenz:
da die geometrische reihe für [m] x \in ]-1, 1[ [/m] gleichmäßig konvergiert, dürfen summation und differentitation vertauscht werden und es gilt - wie du schon berechnet hast:
[m] \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2} [/m]
diese formel kann man - aufgrund der linearität von reihen und der endlichkeit der entsprechenden ausdrücke - umstellen zu:
[m] \sum_{n=0}^\infty nx^n = \frac{1}{(1-x)^2} - \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x} [/m]
setzt man nun [m] x = 3^{-1} = \frac{1}{3} [/m] ein, so erhält man auf der linken seite genau die reihe deren wert du berechnen willst und auf der rechten seite wohl [m] \frac{3}{4} [/m].
damit solltest du weiterkommen, wenn nicht frag nach!
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Andreas!
Wiederum Danke für die schnelle Antwort.
Den letzten Schritt habe ich einfach nicht gesehen.
War ja dann doch nicht so schwer!
Du schreibst nicht zufällig auch Freitag Deine Klausur in AC  ?
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Andreas!
AC ist Aachen.
Es war nur eine Vermutung, da Du die Aufgaben alle so schnell erledigt hattest.
Daher habe ich angenommen, dass Du diese evtl. auch schon gerechnet hättest.
Spielt aber auch keine Rolle!
Schönen Urlaub wünsch ich Dir aber!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mi 15.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi
> AC ist Aachen.
da hätte ich drauf kommen können!
> Schönen Urlaub wünsch ich Dir aber!
danke.
grüße und wie schon geschrieben: viel erfolg am freitag
andreas
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