Wert einer unendlichen Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 19.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe: |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabenstellung irgendwie nicht.
Wir müssen den Wert einer unendlichen Reihe berechnen.
Es geht um folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k^{2} -1}
[/mm]
Leider weiß ich überhaupt nicht was mit "Wert einer Reihe" gemeint ist.
Ist hier vom Grenzwert die Rede? Wäre nett, wenn mir das jemand in einfachen Worte erklären könnte und wie man allgemein bei solchen Aufgaben vorgeht.
Danke =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JanineH,
> Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe:
> Hallo,
>
> ich verstehe die Aufgabenstellung irgendwie nicht.
> Wir müssen den Wert einer unendlichen Reihe berechnen.
> Es geht um folgende Reihe:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k^{2} -1}[/mm]
>
> Leider weiß ich überhaupt nicht was mit "Wert einer
> Reihe" gemeint ist.
> Ist hier vom Grenzwert die Rede?
Ja!
> Wäre nett, wenn mir das
> jemand in einfachen Worte erklären könnte und wie man
> allgemein bei solchen Aufgaben vorgeht.
Es ist [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}a_k}_{=S_n}[/mm], der Reihenwert ist also der Grenzwert der Partialsummenfolge
Berechne eine solche n-te Partielsumme [mm]S_n[/mm] mal, das ergibt eine schöne Teleskopsumme, in der sich fast alles weghebt, dann [mm]n\to\infty[/mm]
Mache dazu für [mm]\frac{1}{4k^2-1}[/mm] eine Partialbruchzerlegung
[mm]\frac{1}{4k^2-1}=\frac{A}{2k+1}+\frac{1}{2k-1}[/mm] ...
>
> Danke =)
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 19.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey schachuzipus,
danke für deine Antwort!
Ich habe es jetzt mal probiert:
[mm] \bruch{1}{4k^{2} -1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{2k+1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{2k-1}
[/mm]
1 = [mm] \bruch{A(4k^{2} -1)}{2k+1} [/mm] + [mm] \bruch{B(4k^{2} -1)}{2k-1}
[/mm]
1 = A2k - A + B2k + B
-->
-A + B = 1
A + B = 0
Das habe ich dann mit einem LGS gelöst und folgendes erhalten:
A = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
B = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4k^{2} -1} [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{2k+1} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie man weiterrechnen soll.
Habe jetzt einfach nur ein paar Glieder der zwei Teilsummen berechnet:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{2k+1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6} -\bruch{1}{10} -\bruch{1}{14}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
Man kann jetzt sehen, dass [mm] \bruch{1}{2} [/mm] übrig bleibt und wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dann kann ich doch das letzte Glied, welches unendlich klein ist, vernachlässigen?
Der Grenzwert ist dann doch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ?
Das es jetzt so aufgeht ist bestimmt nur Zufall, oder muss man immer, wenn man den Grenzwert einer Reihe berechnen will, die Reihe in Partialsummen zerlegen und dann schauen ob sich was wegkürzt?
Danke =)
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Hallo JanineH.,
> Hey schachuzipus,
> danke für deine Antwort!
>
> Ich habe es jetzt mal probiert:
>
> [mm]\bruch{1}{4k^{2} -1}[/mm] = [mm]\bruch{A}{2k+1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{2k-1}[/mm]
>
> 1 = [mm]\bruch{A(4k^{2} -1)}{2k+1}[/mm] + [mm]\bruch{B(4k^{2} -1)}{2k-1}[/mm]
>
> 1 = A2k - A + B2k + B
>
> -->
>
> -A + B = 1
> A + B = 0
>
> Das habe ich dann mit einem LGS gelöst und folgendes
> erhalten:
>
> A = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> B = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4k^{2} -1}[/mm] = [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{2k+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}[/mm]
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie man weiterrechnen soll.
Du kannst z.B. so weiterrechnen:
[mm]\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}[/mm]
Setzt Du jetzt in der ersten Summe k=l+1, so steht da:
[mm]\bruch{1}{2}*\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{1}{2l+1}-\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}[/mm]
Jetzt kannst Du den Laufindex der 1. Summe wieder umbenennen:
[mm]\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}-\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}[/mm]
Das kannst Du noch etwas anders schreiben:
[mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2*0+1}+\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}-\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k+1}[/mm]
> Habe jetzt einfach nur ein paar Glieder der zwei
> Teilsummen berechnet:
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{2k+1}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{6} -\bruch{1}{10} -\bruch{1}{14}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> Man kann jetzt sehen, dass [mm]\bruch{1}{2}[/mm] übrig bleibt und
> wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dann kann ich doch
> das letzte Glied, welches unendlich klein ist,
> vernachlässigen?
> Der Grenzwert ist dann doch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das es jetzt so aufgeht ist bestimmt nur Zufall, oder muss
> man immer, wenn man den Grenzwert einer Reihe berechnen
> will, die Reihe in Partialsummen zerlegen und dann schauen
> ob sich was wegkürzt?
Bei solch gearteten Reihen bietet sich
eine Zerlegung in Partialsummen an.
>
> Danke =)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 19.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Danke MathePower!
Die Partialbruchzerlegung ist eine Möglichkeit. Es muss aber noch weitere Möglichkeiten geben, weil man bei folgender Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}}{3^{k-1}} [/mm] + [mm] (\bruch{2}{5})^{2k}
[/mm]
mit der Partialbruchzerlegung nicht weiterkommt.
Da k im Exponenten vorkommt habe ich direkt an die geometrische Reihe gedacht.
Ich habe versucht die Reihe umzuformen, damit ich das k um den ganzen Term bekomme, aber das klappt irgendwie nicht:
[mm] \bruch{(-1)^{k+1}}{3^{k-1}} [/mm] + [mm] (\bruch{2}{5})^{2k}
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^{k}(-1)}{3^{k}3^{-1}} [/mm] + [mm] (\bruch{4}{25})^{k}
[/mm]
-3 [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{-1}{3})^{k} [/mm] + [mm] (\bruch{4}{25})^{k}
[/mm]
Nun muss ich eine Indexverschiebung machen:
-3 [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{-1}{3})^{k} [/mm] + [mm] (\bruch{4}{25})^{k} [/mm] -(1+1)
Nun weiß ich nicht mehr weiter.
Man könnte ja die Summe in zwei Teilsummen aufteilen und dann das Kriterium der geometrischen Reihe anwenden, wenn das überhaupt erlaubt ist.
Aber was hat man dann? Zwei Grenzwerte von zwei Teilsummen? Das passt ja irgendwie nicht :/
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Hallo JanineH.,
> Danke MathePower!
> Die Partialbruchzerlegung ist eine Möglichkeit. Es muss
> aber noch weitere Möglichkeiten geben, weil man bei
> folgender Reihe:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}}{3^{k-1}}[/mm] +
> [mm](\bruch{2}{5})^{2k}[/mm]
>
> mit der Partialbruchzerlegung nicht weiterkommt.
> Da k im Exponenten vorkommt habe ich direkt an die
> geometrische Reihe gedacht.
> Ich habe versucht die Reihe umzuformen, damit ich das k um
> den ganzen Term bekomme, aber das klappt irgendwie nicht:
>
> [mm]\bruch{(-1)^{k+1}}{3^{k-1}}[/mm] + [mm](\bruch{2}{5})^{2k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(-1)^{k}(-1)}{3^{k}3^{-1}}[/mm] + [mm](\bruch{4}{25})^{k}[/mm]
>
> -3 [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{-1}{3})^{k}[/mm] +
> [mm](\bruch{4}{25})^{k}[/mm]
>
> Nun muss ich eine Indexverschiebung machen:
>
> -3 [mm]\summe_{k=0}^{n} (\bruch{-1}{3})^{k}[/mm] +
> [mm](\bruch{4}{25})^{k}[/mm] -(1+1)
Hier muss es doch lauten:
[mm]-3 \summe_{k=0}^{n} (\bruch{-1}{3})^{k} + \summe_{k=0}^{n}(\bruch{4}{25})^{k} -(-3*(\bruch{-1}{3})^{0}+1)[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht mehr weiter.
Berechne die 2 Partialsummen
[mm]\summe_{k=0}^{n} (\bruch{-1}{3})^{k}[/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{n} (\bruch{4}{25})^{k}[/mm]
> Man könnte ja die Summe in zwei Teilsummen aufteilen und
> dann das Kriterium der geometrischen Reihe anwenden, wenn
> das überhaupt erlaubt ist.
> Aber was hat man dann? Zwei Grenzwerte von zwei
> Teilsummen? Das passt ja irgendwie nicht :/
Berechne die 2 Teilsummen, addiere sie
und bilde den Grenzwert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 19.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
[mm] -(\bruch{1}{3})^{k} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{27} [/mm] + [mm] \bruch{1}{81} [/mm] - [mm] \bruch{1}{243}
[/mm]
[mm] (\bruch{4}{25})^{k} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{4}{25} [/mm] + [mm] \bruch{16}{625} [/mm] + 0,004096 + 0,000655 + 0,000104858
Summiert ergibt es:
2 - [mm] \bruch{13}{75} [/mm] + 0,136711 - 0,03294 + 0,01300 - 0,004010
Man kann sehen, dass das vorherige Glied immer größer ist als das nächste
(z.B.: 0,136711 und 0,03294)
Der Grenzwert müsste ja dann 2 sein, weil man immer mehr hinzuaddiert, als abzieht.
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Hallo JanineH.,
> [mm]-(\bruch{1}{3})^{k}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{9}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{27}[/mm] + [mm]\bruch{1}{81}[/mm] - [mm]\bruch{1}{243}[/mm]
>
> [mm](\bruch{4}{25})^{k}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{4}{25}[/mm] + [mm]\bruch{16}{625}[/mm] +
> 0,004096 + 0,000655 + 0,000104858
>
>
> Summiert ergibt es:
>
> 2 - [mm]\bruch{13}{75}[/mm] + 0,136711 - 0,03294 + 0,01300 -
> 0,004010
>
> Man kann sehen, dass das vorherige Glied immer größer ist
> als das nächste
> (z.B.: 0,136711 und 0,03294)
> Der Grenzwert müsste ja dann 2 sein, weil man immer mehr
> hinzuaddiert, als abzieht.
Das kannst Du feststellen, in dem Du eine Formel für die Summe
der beiden geometrischen Reihen angibst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 19.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey MathePower
ich habe es vollkommen falsch gerechnet. Habe mir das Kriterium der geometrischen Reihe nochmal angeschaut und damit dann den Grenzwert berechnet.
Man kann die Reihe in zwei Teilreihen aufteilen.
Von denen habe ich dann mit dem Kriterium der geometrischen Reihe die Grenzwerte berechnet und am Ende addiert.
Als Ergebnis kommt 0,94047 raus.
Habe es mit Excel getestet und es stimmt =)
Ich freue mich gerade tierisch, weil ich Mathe jetzt ein wenig mehr verstehe =)
Danke nochmal an alle, die mir geholfen haben. Schönen Abend noch !
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Hallo JanineH.,
> Hey MathePower
>
> ich habe es vollkommen falsch gerechnet. Habe mir das
> Kriterium der geometrischen Reihe nochmal angeschaut und
> damit dann den Grenzwert berechnet.
> Man kann die Reihe in zwei Teilreihen aufteilen.
> Von denen habe ich dann mit dem Kriterium der
> geometrischen Reihe die Grenzwerte berechnet und am Ende
> addiert.
> Als Ergebnis kommt 0,94047 raus.
Genauer ausgedrückt:[mm]\bruch{79}{84} \approx 0,94047[/mm]
> Habe es mit Excel getestet und es stimmt =)
> Ich freue mich gerade tierisch, weil ich Mathe jetzt ein
> wenig mehr verstehe =)
>
> Danke nochmal an alle, die mir geholfen haben. Schönen
> Abend noch !
Danke, gleichfalls.
Gruss
MathePower
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> Hey schachuzipus,
> danke für deine Antwort!
>
> Ich habe es jetzt mal probiert:
>
> [mm]\bruch{1}{4k^{2} -1}[/mm] = [mm]\bruch{A}{2k+1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{2k-1}[/mm]
>
> 1 = [mm]\bruch{A(4k^{2} -1)}{2k+1}[/mm] + [mm]\bruch{B(4k^{2} -1)}{2k-1}[/mm]
>
> 1 = A2k - A + B2k + B
>
> -->
>
> -A + B = 1
> A + B = 0
>
> Das habe ich dann mit einem LGS gelöst und folgendes
> erhalten:
>
> A = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> B = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4k^{2} -1}[/mm] = [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{2k+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}[/mm]
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie man weiterrechnen soll.
> Habe jetzt einfach nur ein paar Glieder der zwei
> Teilsummen berechnet:
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{2k+1}=\qquad-\bruch{1}{6} -\bruch{1}{10} -\bruch{1}{14}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}=\qquad\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{10}[/mm]
>
> Man kann jetzt sehen, dass [mm]\bruch{1}{2}[/mm] übrig bleibt und
> wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dann kann ich doch
> das letzte Glied, welches unendlich klein ist,
> vernachlässigen?
> Der Grenzwert ist dann doch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
Hallo Janine,
hier ist eine ganz wichtige Bemerkung fällig:
Es geht nicht, die zwei "Teilreihen"
[mm]-\bruch{1}{6} -\bruch{1}{10} -\bruch{1}{14}\,+\,.....[/mm]
[mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6} +\bruch{1}{10} +\bruch{1}{14}\,+\,.....[/mm]
separat zu berechnen und dann zu addieren, denn jede
einzelne dieser Reihen hat keinen endlichen Wert.
Nur bei der Einhaltung der Beklammerung
[mm] $\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{6}\right)+\left(\bruch{1}{6}-\bruch{1}{10}\right)+\left(\bruch{1}{10}-\bruch{1}{14}\right)\,+\,.....$
[/mm]
die man abändern kann zu
[mm] $\bruch{1}{2}-\left(\bruch{1}{6}-\bruch{1}{6}\right)-\left(\bruch{1}{10}-\bruch{1}{10}\right)\,-\,.....$ [/mm]
hat man eine insgesamt konvergente Reihe mit der Summe [mm] \bruch{1}{2} [/mm] .
LG Al-Chw.
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