Wert unabhängig von t? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Wert
[mm] \bruch{\gamma(t) * \dot \gamma(t)}{\left| \gamma(t) \right| * \left| \dot \gamma(t) \right|}
[/mm]
unabhängig von t ist. |
Hi,
hier stehe ich komplett auf dem Schlauch.
Kann mir jemand einen Ansatz sagen was ich hier zu tun habe?
Danke für die Hilfe im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bindl!
> Kann mir jemand einen Ansatz sagen was ich hier zu tun habe?
Zum Beispiel auch uns verraten, was [mm] $\gamma(t)$ [/mm] überhaupt ist und uns an der vollständigen Aufgabenstellung teilhaben lassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass der Wert
>
> [mm]\bruch{\gamma(t) * \dot \gamma(t)}{\left| \gamma(t) \right| * \left| \dot \gamma(t) \right|}[/mm]
>
> unabhängig von t ist.
> Hi,
>
> hier stehe ich komplett auf dem Schlauch.
> Kann mir jemand einen Ansatz sagen was ich hier zu tun habe?
zu zeigen ist: Sind [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$ [/mm] (nicht notwendig [mm] $t_1 \not=t_2$, [/mm] wenngleich das
auch der einzig interessante Fall ist) gegeben, so folgt schon
[mm] $\bruch{\gamma(t_1) * \dot \gamma(t_1)}{\left| \gamma(t_1) \right| * \left| \dot \gamma(t_1) \right|}=\bruch{\gamma(t_2) * \dot \gamma(t_2)}{\left| \gamma(t_2) \right| * \left| \dot \gamma(t_2) \right|}$
[/mm]
Nebenbei: Du solltest genauer schreiben, was [mm] $\gamma$ [/mm] ist und was hier "das
Betragszeichen" bedeutet. Vermutlich ist das die euklidische Standardnorm
des [mm] $\IR^n$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] ist eine Kurve oder ein Weg (welches Wort da am
Besten passt, ist definitionsabhängig)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
für was das Betragszeichen genau steht weiß ich selbst nicht. Die Aufgabe nicht weiter erklärt.
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] exp(-Rt)(cost,sint)^{T}
[/mm]
Ich hoffe nun alles angegeben zu haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> für was das Betragszeichen genau steht weiß ich selbst
> nicht. Die Aufgabe nicht weiter erklärt.
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]exp(-Rt)(cost,sint)^{T}[/mm]
>
> Ich hoffe nun alles angegeben zu haben.
[mm] \gamma [/mm] ist also ein Weg ( eine Kurve) im [mm] \IR^2.
[/mm]
Zu den Betragsstrichen: ich bin mir absolut sicher, dass damit die euklidische Norm im [mm] \IR^2 [/mm] gemeint ist, also
$ [mm] |(a,b)^T|=\wurzel{a^2+b^2}$
[/mm]
Nun sollst Du zeigen, dass
$ [mm] \bruch{\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)}{\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|} [/mm] $ unabhängig von t ist.
Das kannst Du aber ratzfatz nachrechnen (mit obigem [mm] \gamma)
[/mm]
[mm] $\dot \gamma(t)$ [/mm] ist die Ableitung.
FRED
P.S. viel schneller wärs gegangen, wenn Du von vornherein gesagt hättest, was [mm] \gamma [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} e^{-Rt}*cost \\ e^{-Rt}*sint \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \gamma`(t) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -Re^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -Re^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \left| \gamma`(t) \right| [/mm] = [mm] \wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt}
[/mm]
[mm] \left| \gamma(t) \right| [/mm] = [mm] \wurzel{(e^{-Rt}*cost)^{2} + (e^{-Rt}*sint)^{2}}
[/mm]
Das habe ich nun, nur komme ich nicht wirklich weiter.
Kann mir jemand helfen indem er die Rechnung anfängt, also einen Ansatz zeigt? Vielleicht erkenne ich dann was zu tun ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} e^{-Rt}*cost \\ e^{-Rt}*sint \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -Re^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -Re^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\left| \gamma'(t) \right|[/mm] = [mm]\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt}[/mm]
> [mm]\left| \gamma(t) \right|[/mm] = [mm]\wurzel{(e^{-Rt}*cost)^{2} + (e^{-Rt}*sint)^{2}}[/mm]
>
> Das habe ich nun, nur komme ich nicht wirklich weiter.
Zunächst mal ist wegen [mm] cos^2(t)+sin^2(t)=1:
[/mm]
[mm] $|\gamma(t)|=e^{-Rt}
[/mm]
> Kann mir jemand helfen indem er die Rechnung anfängt,
> also einen Ansatz zeigt? Vielleicht erkenne ich dann was zu
> tun ist.
Ist denn das nicht klar ??? Für die Berechnung von
$ [mm] \bruch{\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)}{\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|} [/mm] $
berechne das Skalarprodukt [mm] $\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)$ [/mm] und teile das durch [mm] $\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
> > Hi,
> >
> > [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} e^{-Rt}*cost \\ e^{-Rt}*sint \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -Re^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -Re^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]\left| \gamma'(t) \right|[/mm] = [mm]\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt}[/mm]
> > [mm]\left| \gamma(t) \right|[/mm] = [mm]\wurzel{(e^{-Rt}*cost)^{2} + (e^{-Rt}*sint)^{2}}[/mm]
>
> >
> > Das habe ich nun, nur komme ich nicht wirklich weiter.
>
> Zunächst mal ist wegen [mm]cos^2(t)+sin^2(t)=1:[/mm]
Ist das ein Hinweis für [mm] \left| \gamma(t) \right|? [/mm] Kann ich das dort anwenden?
> [mm]$|\gamma(t)|=e^{-Rt}[/mm]
>
>
> > Kann mir jemand helfen indem er die Rechnung anfängt,
> > also einen Ansatz zeigt? Vielleicht erkenne ich dann was zu
> > tun ist.
>
> Ist denn das nicht klar ??? Für die Berechnung von
>
> [mm]\bruch{\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)}{\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|}[/mm]
>
> berechne das Skalarprodukt [mm]\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)[/mm]
> und teile das durch [mm]\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|[/mm]
Was ich zu tun is mir schon klar.
Jetzt habe ich mal [mm] \gamma(t) [/mm] * [mm] \gamma`(t) [/mm] ausgerechnet:
= [mm] (-Re^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*cost [/mm] - [mm] e^{-Rt}*sint*e^{-Rt}*cost) [/mm] + [mm] (-Re^{-Rt}*sint*e^{-Rt}*sint [/mm] + [mm] e^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*sint)
[/mm]
Jetzt suche ich hier verzweifelt hin und er wie ich mit den cost und sint arbeiten kann um das ganze zu kürzen. Nur ein [mm] cos^{2}+sin^{2}=1 [/mm] oder ähnliches kann ich hier nicht erkennen.
Oder habe ich das Skalarprodukt bereits falsch berechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Hi,
> > >
> > > [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} e^{-Rt}*cost \\ e^{-Rt}*sint \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -Re^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -Re^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\left| \gamma'(t) \right|[/mm] = [mm]\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt}[/mm]
> > > [mm]\left| \gamma(t) \right|[/mm] =
> [mm]\wurzel{(e^{-Rt}*cost)^{2} + (e^{-Rt}*sint)^{2}}[/mm]
> >
> > >
> > > Das habe ich nun, nur komme ich nicht wirklich weiter.
> >
> > Zunächst mal ist wegen [mm]cos^2(t)+sin^2(t)=1:[/mm]
>
> Ist das ein Hinweis für [mm]\left| \gamma(t) \right|?[/mm] Kann ich
> das dort anwenden?
Ja
>
> > [mm]$|\gamma(t)|=e^{-Rt}[/mm]
> >
> >
> > > Kann mir jemand helfen indem er die Rechnung anfängt,
> > > also einen Ansatz zeigt? Vielleicht erkenne ich dann was zu
> > > tun ist.
> >
> > Ist denn das nicht klar ??? Für die Berechnung von
> >
> > [mm]\bruch{\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)}{\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|}[/mm]
>
> >
> > berechne das Skalarprodukt [mm]\gamma(t) \cdot{} \dot \gamma(t)[/mm]
> > und teile das durch [mm]\left| \gamma(t) \right| \cdot{} \left| \dot \gamma(t) \right|[/mm]
>
> Was ich zu tun is mir schon klar.
> Jetzt habe ich mal [mm]\gamma(t)[/mm] * [mm]\gamma'(t)[/mm] ausgerechnet:
> = [mm](-Re^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*cost[/mm] -
> [mm]e^{-Rt}*sint*e^{-Rt}*cost)[/mm] + [mm](-Re^{-Rt}*sint*e^{-Rt}*sint[/mm] +
> [mm]e^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*sint)[/mm]
>
> Jetzt suche ich hier verzweifelt hin und er wie ich mit den
> cost und sint arbeiten kann um das ganze zu kürzen. Nur
> ein [mm]cos^{2}+sin^{2}=1[/mm] oder ähnliches kann ich hier nicht
> erkennen.
Der 2. und der 4. Summand ergeben zusammen 0.
Nun schau Dir den ersten und 3. Summanden an
[mm] -Re^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*cost+(-Re^{-Rt}*sint*e^{-Rt}*sint)=-Re^{-2Rt}(cos^2t+sin^2t)=Re^{-2Rt}
[/mm]
FRED
>
> Oder habe ich das Skalarprodukt bereits falsch berechnet?
>
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