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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 03.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Ich habe ein Problem was den Wertebereich einer Funktion angeht und bitte daher um Hilfe!:
Gegeben sei die Funktion [mm] \bruch{\wurzel{x}-4}{\wurzel{x}+1}
[/mm]
Geben Sie W an.
Um den Wertebereich zu bestimmen verwendet man ja den Grenzwert, also so:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}-4}{\wurzel{x}+1}
[/mm]
Wenn ich jetzt x gegen unendlich laufen lassen würde, hätte ich ja oben und unten unendlich stehen. Aber das darf ja so nicht sein, also verwende ich den l'hospital und hab dann stehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}-4}{\bruch{1}{2\wurzel{x}}+1}
[/mm]
Da x gegen unendlich konvergiert kommt -4 raus.
In meinen Aufzeichnungen steht aber, dass da noch was kommen muss, nämlich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}(1-\bruch{4}{\wurzel{x}})}{\wurzel{x}(\bruch{1+1}{\wurzel{x}})} [/mm] =1
Ich verstehe wieso die 1 rauskommt, aber nicht wie man dazu kam und wieso??
Kann mir auch hier bitte jemand helfen?
LG zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 03.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo zitrone!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}-4}{\bruch{1}{2\wurzel{x}}+1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Beim Ableiten in Zähler und Nenner fallen doch $-4_$ bzw. $+1_$ weg.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 03.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo Loddar!
Ja da hast du recht...Also müsste 0 raus kommen...in den erarbeiteten Lösungen steht aber was von -4... Wie erklärt man sich das dann?
Und was ist mit dem unteren Term?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 03.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Loddar!
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> Ja da hast du recht...Also müsste 0 raus kommen...in den
> erarbeiteten Lösungen steht aber was von -4... Wie
> erklärt man sich das dann?
> Und was ist mit dem unteren Term?
>
> LG
Hallo Zitrone,
zur Ermittlung des Wertebereichs muss -falls vorhanden- das globale Minimum und das globale Maximum bekannt sein.
Dazu ist es erforderlich, alle lokalen Minima und Maxima zu bestimmen UND mit den Funktionswerten an den Rändern des Definitionsbereiches vergleichen.
Dabei stellt man der Reihe nach fest:
- kein lokales Minimum/Maximum, da die erste Ableitung nirgends 0 ist.
(Sie ist immer positiv, damit ist die Funktion streng monoton wachsend.)
- linker Rand des DB: f(0)=-4 (ist wegen des monotonen Wachsens der kleinste mögliche Funktionswert)
- rechter Rand des DB: gibt es in dem Sinne nicht direkt; aber es gibt den Grenzwert für x gegen unendlich (und der ist 1).
Bastele daraus den Wertebereich.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 03.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Danke!:)
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