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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:15 Sa 20.01.2007 | | Autor: | edward |
| Aufgabe | Begründen Sie weshalb die Funktion stetig ist und bestimmen Sie ihren Wertebereich
f : [mm] \IR \to \IR [/mm] , f(x) := [mm] (1+e^{cos(x)}) [/mm] / (1+|x|) |
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Hallo, ich habe obige Aufgabe zwar gelöst, bin mir aber unsicher ob meine Lösung korrekt ist und ausreicht.
Meine Lösung:
Behauptung: Die Funktion ist stetig.
Begründung: x [mm] \mapsto [/mm] 1 , x [mm] \mapsto e^{x} [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] cos(x) , x [mm] \mapsto [/mm] |x|
sind alles stetige Funktionen. Summe, Quotient und Komposition stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f ist als Summe,Quotient und Komposition stetiger Funktionen ebenfalls stetig (Nach einem Beweis war ja nicht gefragt, nur nach Begründung).
Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen:
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} (1+e^{cos(x)}) [/mm] / (1+|x|) =
= [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] (1+exp(cos(x))) / (1+|x|) =
= [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] (1+e) / (1+|x|) = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} (1+e^{cos(-x)}) [/mm] / (1+|-x|) =
= [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] (1+e) / (1+|x|) = 0
f(0) = [mm] (1+e^{cos(0)}) [/mm] / (1+|0|) = 1+e
Behauptung: Wertebereich von f ist ]0, (1+e)]
Beweis:
f(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] ist klar aus
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} (1+e^{cos(x)}) [/mm] / (1+|x|) = 0
f(x) [mm] \le [/mm] (1+e) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \gdw
[/mm]
[mm] (1+e^{cos(x)}) [/mm] / (1+|x|) [mm] \le [/mm] (1+e) [mm] \gdw [/mm] 1+exp(cos(x)) [mm] \le [/mm] (1+e) (1+|x|)
[mm] \gdw [/mm] (1+exp(cos(x))) / (1+exp(1)) [mm] \le [/mm] 1+|x|
Die letzte Ungleichung ist [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] richtig, da cos(x) [mm] \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] x und somit
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (1+exp(cos(x))) / (1+exp(1)) = 1 [mm] \le [/mm] 1+|x| ist.
Also gilt auch f(x) := [mm] (1+e^{cos(x)}) [/mm] / (1+|x|) [mm] \le [/mm] (1+e) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] .
Da f in ]0,(1+e)] stetig ist, folgt aus dem ZWS, dass jede Zahl y zwischen 0 und (1+e) ein Wert der Funktion f ist.
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] ]0,(1+e)] mit y = f(x)
So habe ich mir das gedacht. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob meine Ausführungen ausreichen um herzuleiten und zu beweisen, dass der Wertebereich von f ]0,(1+e)] ist...?
Viele Grüße,
edward
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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