Wertebereich bestimmen von F. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Sa 16.09.2006 | | Autor: | m.styler |
| Aufgabe | a. [mm] y=2-\bruch{x}{2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0;4]
b. f(x)=x*(x-4) für x [mm] \in [/mm] [-1;5]
c. [mm] g(t)=\bruch{3}{1+t²} [/mm] für [mm] \in [/mm] [-3;3]
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Wie berechne ich solche Funktionen??
Aufgabe:
Bestimme den Wertebereich und notiere ihn auch in der Intervallschreibweise, falls möglich.
Ich habe keine Ahnung wie ich sie berechnen soll, wie bekomme ich das hin, kann mir einer Helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Palin |
Du wilst hier wissen welche werte zB y für x von 0 bis 4 annemen kann.
Wenn du dir nicht sicher bist ist es glaube ich am eifachsten die Funktion zu Zeichnen, dann kann man recht schnell sehen welche Werte y annehmen kann.
Sonst soltest du einen Grobe vorstellung von der Funktion haben um max und min im Intervall bestimmen zu können.
z.B c) ist Achsen (y-Achse) Symetrisch für -3 und 3 kommt der selbe wert raus. Das maximum liegt bei 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 16.09.2006 | | Autor: | m.styler |
Ja stimmt aber wie kann ich das berechnen?
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Hi, m.styler,
wie Palin Dir schon geschrieben hat, begründet man Wertebereich in einfachen Fällen anhand des Graphen:
Aufgabe 1: Stück einer fallenden Geraden, daher am linken Rand der größte, am rechten der kleinste Wert.
Aufgabe 2: Stück einer nach oben geöffneten Parabel. Daher kleinster Wert im Scheitel (falls dieser zur Definitionsmenge gehört), größter Wert am linken oder rechten Rand (Werte dort ausrechnen und vergleichen).
Schwieriger ist es bei Aufgabe 3:
Dort machst Du
a) entweder eine kleine Kurvendiskussion, um die y-Koordinate des Hochpunktes als Obergrenze des Wertebereichs zu finden, die Untergrenze findest Du wieder am Rand ("Rand-Tiefpunkte"!).
oder
b) Du schneidest den Graphen mit waagrechten Geraden y = h
und findest heraus, für welche h es Schnittpunkte gibt. Diese h bilden dann die gesuchte Wertemenge.
(Verfahren b) ist aber nur in Ausnahmefällen die "Methode der Wahl"!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 16.09.2006 | | Autor: | m.styler |
dankeschön soweit!
wenn man sich a und b betrachtet, wie zeichne ich sie in eine ich sie in ein graphen ein?
nehme ich die interwahlschreibweise dazu?, oder schaue ich mir nur die y=...an?
wie kriege ich das hin?
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Hi,
Die erste Funktion ist eine lineare Funktion, bei der du in der Normalform den y-Achsenabschnitt und die Steigung ablesen kannst.
Normalform einer linearen Funktion:
[mm] y=\underbrace{m}_{=Steigung}x\underbrace{+n}_{=y-Achsenabschnitt}
[/mm]
[mm] y:y=2-\bruch{x}{2} \gdw y=\underbrace{\bruch{1}{2}}_{=m}x\underbrace{-2}_{=n}
[/mm]
Die zweite Funktion ist eine Parabel. Normalform der Parabel:
[mm] f(x)=(x-d)^2+e
[/mm]
d ist hier die Verschiebung auf der x-Achse (bei -d um d nach rechts, bei +d um d nach links) und e der y-Wert des Scheitelpunkts.
$ f:f(x)=x(x-4) [mm] \gdw f(x)=x^2-4x \gdw f(x)=x^2-4x+(\bruch{4}{2})^2-(\bruch{4}{2})^2 \gdw f(x)=(x-2)^2-4 [/mm] $
Die dritte Funktion wirst du nur mithilfe einer Wertetabelle zeichnen können.
1. Funktion:
[mm] W_{I=[0;4]}=\{y\in\IR | 0 \le y \le 2 \}
[/mm]
2. Funktion:
[mm] W_{I=[-1;5]}=\{y\in\IR | -4 \le y \le 5 \}
[/mm]
3. Funktion:
In der Zeichnung (nur mithilfe des Ausrechnens der Extrem-/Wendestellen möglich) erkennst du die y-Achsensymmetrie, das heißt, dass -3 und 3 denselben Funktionswert annehmen. Ferner kannst du entnehmen, dass dieser Funktionswert gleichzeitig auch der niedrigste Wert der Wertemenge ist und dass 3 der höchste ist.
[mm] g(\pm3)=\bruch{3}{1+(\pm3)^2}=\bruch{3}{10}
[/mm]
[mm] W_{I=[-3;3]}=\{y\in\IR | \bruch{3}{10} \le y \le 3 \}
[/mm]
Alles klar?
Grüße,
Stefan.
PS: Hier noch die Diskussion der 3. Funktion:
[mm] g:g(t)=\bruch{3}{1+t^2} \Rightarrow g':g'(t)=\bruch{0*(1+t^2)-3*2t}{(1+t^2)^2}=\bruch{-6t}{(1+t^2)^2} \Rightarrow g'':g''(t)=\bruch{-6*(1+t^2)^2-(-6t)*2(1+t^2)2t}{(1+t^2)^4}=\bruch{(1+t^2)[(-6)(1+t^2)-(-24t^2)]}{(1+t^2)^4}=\bruch{(-6)(1+t^2)+24t^2}{(1+t^2)^3}
[/mm]
Notwendige Bedingung für Extremstellen:
[mm] g'(t_{0})=0.
[/mm]
[mm] $g'(t_{0})=0 \gdw \bruch{-6t}{(1+t^2)^2}=0 \gdw [/mm] -6t=0 [mm] \gdw [/mm] t=0$
Hinreichende Bedingung für Extremstellen:
[mm] g'(t_{0})=0 \wedge g''(t_{0})\not=0.
[/mm]
$ g''(0)=-6<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Max. $
$ H(0|3) $
Jetzt kannst du die Funktion zeichnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 16.09.2006 | | Autor: | m.styler |
Hi, klasse erklärung hat mich auf ein weiteres gestiegen!
dankeschön,
aber alles was ich net so verstanden hab, wahrscheinlich ist es auch das einfachste dran, sind die stellen, wie ich auf den wertemegen-/definitionsbereich letztendlich komme, abgesehen von der rechnung, kann ich es mit einer wertetabelle errechen, wie stelle ich diese bei solchen Funktionen auf? ein beispiel wäre noch super wie ich es mit der wertetabelle machen könnte, sowas wie eine standardrechnung??
z.B weiss ich net wie sie/du auf den W von der 2. Funktion gekommen sind/bist.??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Palin |
Nun du betrachtest hier ja immer eine Funktion in einem gewissen Interwall,
also z.B von 0 bis 3.
Wenn ich nun alle Werte von 0 bis 3 für x einsetze bekomme ich den jeweiligen y wert, mein kleinster Wert für y im Interwall, ist die Untere grenze und der größte die obere.
Mein Problem ist nun den Größten- bzw Kleinstenwert für y zu bestimmen.
Diese Werte hänge alle von der Funktion ab, wenn die Funktion sehr "schwer" ist wird es kompliziert die Werte zu bestimmen.
Vieles hierbei ist einfach Erfahrung bzw Übung.
Bei einfachen Funktionen "weiß" man das sie immer steigen zb
f(x)=a *x
hier weiss ich das ich nur meine kleisten x Wert und größten einsetzen muss um den deffinitions bereich für y zu bekommen.
Bei f(x) a* [mm] x^2 [/mm] "weiß" ich die Funktion ist eine "Parabel" wenn ich zB x von -3 bis +3 betrachte weiss ich es gibt einen y Wert der Kleiner ist als f(-3) und f(3).
Nun wie man sieht hängt es stark von der Funktion ab wie mein "Ergebnisereich aussieht".
Aber ich weis auch das wenn die Funktion stetig (durchgehend) ist nicht die Wert "Plötzlich" springen können.
Also mus die Steigun der Funktion zwischen durch =0 sein.
Die Steigung kann ich über die erste Ableitung bestimmen.
Wenn die Steigung in meinen Interwall = 0 wird muss ich mir die Punkte auch anschuen, ob vieleicht eines der Ergebnise an der Stelle größer oder kleiner als anden beiden Seiten meines definitions bereicher (x von -3 bis 3) ist.
Wenn dem so ist habe ich ande Werte die für y möglich sind, wenn nicht müssen alle Werte von y zwischen zB f(-3) und f(3) liegen.
Meiner meinung nach ist es am besten erstmal die Funktion zu malen bzw Plotten zu lassen.
1. Man bekommt ein gefühl dafür wie die Funktion aussieht, (was auch bei ander Funktionen dann hielft).
2. Man kann den Wertebereich recht gut abschetzen und weiß wonach man suchen must.
Und wie gesagt es gehört auch einfach ein bissche Übung und erfahrung dazu, ich glaube die meisten Studenten werden es von ihrem Mathe Prof. kennen der vorne steht und sagt " Wie man trivialer weise sieht" und man sieht nichts.
Wenn man es dann selber ein paar mal (oder ofter) gemacht hat sieht man es dann auch.
Also einfach weiter versuchen und nachfragen wenn was nicht verstanden wurde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 17.09.2006 | | Autor: | m.styler |
Ein Wald mit dunklen Fenstern^^
also ich bin etwas am zweifeln, net das ich es net vertstanden hab was ihr mir versucht habt so alles mögliche aufs detail zu erklären, denn ich würde gerne meine rechenart forstellen, ob das akzeptiert werden kann, bleibt fragend zumindest für mich, ich hoffe ihr sagts ob es so gerechnet werden kann oder net. :)
zu Aufgabe b: f(x)=x*(x-4) für x E [-1;5]
Eine Wertetabelle dazu: (ist es richtig so oder total verkehrt?)
x/y
-1/-3
0/-4
1/-3
2/0
3/5
4/12
5/13
zu Aufgabe c:
x/y
-3/0,3
-2/0,6
-1/1,5
0/3
1/1,5
2/0,6
3/0,3
Wenn es masiev im ganzen gar net stimmt, bitte sagt mir wie ich denn sonst einfacher ausrechen kann, weil komplexen rechenschritten möchte ich zunächst noch aus dem wege gehen.(brauchen wir noch net)
ich bräuchte dringenst rat, schreibe die kommende woche eine klausur und das sind die einzigsten "kleinen" defiziete
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 So 17.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
zu Aufgabe b:
-1/5
0/0
1/-3
2/-4
3/-3
4/0
5/5
zu Aufgabe c:
deine Ergebnisse stimmen hier alle!!!
Was du bei Aufgabe b falsch gemacht hast weiss ich nicht genau, aber ich denke du hast einfach in der falschen Reihenfolge gerechnet. Du musst erst den Wert für x in die Klammer einsetzen, diese dann ausrechnen und diesen Wert mit x multiplizieren. Man sieht ja auch schon das die Nullstellen der Funktion hier bei x=0 und x=4 liegen, weil hier einmal der erste Faktor 0 ist und einmal der zweite Faktor 0 ist. Wenn man so etwas hat, wird ein Produkt immer automatisch 0.
Die zweite Aufgabe hast du jedenfalls richtig gerechnet.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 So 17.09.2006 | | Autor: | m.styler |
Ich habe zu b jetzt etwas anders gerechnet: (mein einziger fehler ist mir zur vorherigen ergebnissen aufgefallen.)
-1*(-1-4)=5
0*(0-4)=0
1*(1-4)=-3
2*(2-4)=-4
3*(3-4)=-3
4*(4-4)=0
5*(5-4)=5
also:
x/y
-1/5
0/0
1/3
2/-4
3/-3
4/0
5/5
wie sieht es jetzt aus, ich hoffe es stimmt, weil eine andere rechenweise wäre mir net bekannt, wenn sich jemand diese ergebnisse mal anschauen würde, und mir sagen könnte ob es nun letztlich stimmt oder kompletter unfug sei.
ich danke euch!
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Hallo,
hast du die Funktionen tatsächlich mal gezeichnet?
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei der Gerade (1) musst du nur die Randwerte beachten: [0;2],
bei Parabel (2) und der dritten Funktion (3) suchst du nach den Randwerten und dem jeweiligen Extremwert (Minimum/ Maximum):
2): [-4;5]
3): [f(3);3], den linken Wert musst du noch selbst ausrechnen...
Lernt Ihr erst jetzt die Intervallschreibweise kennen? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 17.09.2006 | | Autor: | m.styler |
danke euch, bei dem 6. und somit auch letzten versuch zur aufklärung hab ich es geschnallt, mir ist jetzt alles klar geworden.
ich war aus der übung gekommen und musste es quasie neu erlernen
...die zeichnungen waren sehr hilfreich.
vielen dank!!
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