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| Aufgabe | Hallo ich habe da ein Problem bezüglich einer bestimmten Aufgabe.
Die ersten beiden Unteraufgaben konnte ich relativ leicht lösen, jedoch stoß ich auf ein Problem:
Jemand sei auf einer Insel gestrandet und habe die Wahrscheinlichkeit des Wetters eines darauffolgenden Tages zu bestimmen.
(1) Wenn "heute" gutes Wetter ist, liegt die Chance, dass "Morgen" schönes Wetter ist bei 80%.
(2) Wenn "heute" schlechtes Wetter ist, liegt die Chance, dass "Morgen" schlechtes Wetter ist bei 75%. |
Wenn heute Sonntag ist und es regnet wie groß ist dann die Chance das es nächste Woche Sonntag ebenfalls regnet?
Also normalerweise könnte man jetzt ein 7 Stufiges Baumdiagramm sich vorstellen und die jeweiligen Pfade die zutreffen ( müssten 64 sein) miteinander addieren und ich hätte die Wahrscheinlichkeit aber müsste doch einen einfacheren Weg geben mit einer Formel oder Ähnlichem , die Wahrscheinlichkeit auszurechnen(ohne lange Pfadaddition).
Die Frage ist also wie kann ich diese Aufgabe relativ schnell lösen?
Vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1405114#post1405114
http://www.mathematik-forum.de/forum/showthread.php?t=176941
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Hallo,
> Hallo ich habe da ein Problem bezüglich einer bestimmten
> Aufgabe.
> Die ersten beiden Unteraufgaben konnte ich relativ leicht
> lösen, jedoch stoß ich auf ein Problem:
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> Jemand sei auf einer Insel gestrandet und habe die
> Wahrscheinlichkeit des Wetters eines darauffolgenden Tages
> zu bestimmen.
> (1) Wenn "heute" gutes Wetter ist, liegt die Chance, dass
> "Morgen" schönes Wetter ist bei 80%.
> (2) Wenn "heute" schlechtes Wetter ist, liegt die Chance,
> dass "Morgen" schlechtes Wetter ist bei 75%.
> Wenn heute Sonntag ist und es regnet wie groß ist dann
> die Chance das es nächste Woche Sonntag ebenfalls regnet?
>
>
> Also normalerweise könnte man jetzt ein 7 Stufiges
> Baumdiagramm sich vorstellen und die jeweiligen Pfade die
> zutreffen ( müssten 64 sein) miteinander addieren und ich
> hätte die Wahrscheinlichkeit aber müsste doch einen
> einfacheren Weg geben mit einer Formel oder Ähnlichem ,
> die Wahrscheinlichkeit auszurechnen(ohne lange
> Pfadaddition).
>
> Die Frage ist also wie kann ich diese Aufgabe relativ
> schnell lösen?
Wie schon in dem anderen Forum vorgeschlagen wurde, ist eine Art Auffassung als Markovkette möglich. Dafür brauchst du kein tiefgreifendes Wissen, wir stellen einfach fest:
[mm] $p_1$ [/mm] sei die Wahrscheinlichkeit, dass heute gutes Wetter ist, [mm] $p_2$ [/mm] sei die Wahrscheinlichkeit, dass heute schlechtes Wetter ist. Wir fassen das zusammen in dem Vektor [mm] $\vektor{p_1 \\ p_2}$.
[/mm]
Dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten [mm] $\vektor{p_1'\\p_2'}$ [/mm] des Wetters morgen:
[mm] $\vektor{p_1'\\p_2'} [/mm] = [mm] A*\vektor{p_1 \\ p_2}$
[/mm]
wobei $A$ die Matrix $A = [mm] \pmat{0.8 & 0.25\\0.2 & 0.75}$ [/mm] ist (wenn ich mich nicht irre).
Konkret bei dir ist zu berechnen:
[mm] $\vektor{p_{gut}\\ p_{schlecht}} [/mm] = [mm] A^{7}\vektor{0\\ 1}$
[/mm]
und du interessierst dich für [mm] $p_{schlecht}$.
[/mm]
Um die Matrixpotenz auszurechnen, kannst du diagonalisieren oder irgendein Programm anwerfen.
Grüße,
Stefan
PS.: Da du keine genaueren Informationen über deinen Kenntnisstand angegeben hast (bitte nachholen), habe ich mal vorausgesetzt, dass du dich mit Matrizen etc. auskennst.
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Schonmal danke für die Bearbeitung.
Also eigentlich habe ich nur wenig Kenntnis über Matrizen bzw. ich weiß nicht genau wie man sie nun Potenziert bzw. was du mit diagonalisieren und den Vektoren meinst.
Zu dem Punkt das es sich um diese 2x2 Matrix handelt und dass ich sie [mm] ()^7 [/mm] nehmen muss hab ich mir ebenfalls bereits überlegt , jedoch weiß ich jetzt nicht genau wie man/ich jetzt damit rechnen soll, könntest du mir das ein wenig erläutern bitte?
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Hallo,
große Erklärungen kann ich da jetzt nicht machen, das müssten andere tun.
Hier eine Seite zur Erklärung der Matrixmultiplikation:
![[]](/images/popup.gif) Wiki
Damit kannst du [mm] A^7 [/mm] = A*A*A*A*A*A*A ausrechnen.
Leichter geht es so: Es ist $A = [mm] S*D*S^{-1}$ [/mm] mit
$D = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{20}}$
[/mm]
$S = [mm] \pmat{\frac{5}{4} & -1 \\ 1 & 1}$
[/mm]
[mm] $S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{5}{9}}$
[/mm]
Damit ist:
[mm] $A^{7} [/mm] = S [mm] D^{7} S^{-1}$,
[/mm]
das lässt sich einfacher ausrechnen. (Diese Schreibweise A = [mm] SDS^{-1} [/mm] heißt diagonalisieren )
Grüße,
Stefan
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Danke für die schnellen Antworten.
Soweit ich das verstanden habe geht das jetzt so :
[mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,25 & 0,75 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0,8 & 0,2 \\ 0,25 & 0,75 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 0,8*0,8 +0,25*0,2+0,2*0,25+0,75*0,75}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wenn ich nun also diese Matrix mit 7 potenziert habe wie berechne ich dann das Endergebnis bzw. was hat es mit [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] auf sich könntest du das nochmal kurz erklären bitte?
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Hallo,
> Danke für die schnellen Antworten.
> Soweit ich das verstanden habe geht das jetzt so :
>
> [mm]\pmat{ 0,8 & 0,2 \\
0,25 & 0,75 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0,8 & 0,2 \\
0,25 & 0,75 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 0,8*0,8 +0,25*0,2+0,2*0,25+0,75*0,75}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Das Ergebnis einer Matrixmultiplikation ist wieder eine Matrix. Davon sehe ich bei dir nichts...
Richtig wäre:
[mm] $\pmat{0.8*0.8 + 0.2*0.25 & 0.8*0.2 + 0.2*0.75\\ 0.25*0.8 + 0.75*0.25 & 0.25*0.2 + 0.75*0.75}$
[/mm]
> Wenn ich nun also diese Matrix mit 7 potenziert habe wie
> berechne ich dann das Endergebnis bzw. was hat es mit
> [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm] auf sich könntest du das nochmal kurz
> erklären bitte?
Wir wissen, dass am Sonntag schlechtes Wetter ist. D.h. die schlechtes-Wetter-Wahrscheinlichkeit ist 1, die gutes-Wetter Wahrscheinlichkeit ist 0.
Das fassen wir zusammen zu [mm] \vektor{0 \\1}.
[/mm]
Wir wissen, dass eine Multiplikation mit A, [mm] $\vektor{p_1\\ p_2} [/mm] = [mm] A*\vektor{0\\ 1}$ [/mm] die Wahrscheinlichkeiten liefert, dass am nächsten Tag schlechtes Wetter ist [mm] (p_2) [/mm] und das am nächsten Tag gutes Wetter ist [mm] (p_1).
[/mm]
D.h. wenn wir $A$ sieben mal dranmultiplizieren, erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten [mm] p_{gut} [/mm] bzw. [mm] p_{schlecht} [/mm] für den nächsten Sonntag durch:
[mm] $\vektor{p_{gut}\\ p_{schlecht}} [/mm] = [mm] A^{7}*\vektor{0\\1}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Ok schonmal danke bis hierhin ich denke ich habe jetzt den Großteil verstanden.
Könntest du mir evtl. nochmal aufzeigen wie man jetzt diagonalisiert um leichter die [mm] A^7 [/mm] Matrix zu erhalten bzw. welche Diagonalmatrix hier vorliegt und wie genau multipliziere ich jetzt [mm] A^7 [/mm] mit [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und wie erhalte ich daraus eine Wahrscheinlichkeit in % , denn mit Vektoren kenn ich mich nicht so gut aus.
Tut mir Leid für die vielen Fragen..
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Hallo,
> Könntest du mir evtl. nochmal aufzeigen wie man jetzt
> diagonalisiert
Dafür brauchst du Theorie über Eigenwerte und Eigenvektoren, das möchte ich jetzt nicht erklären. Nimm' es einfach hin, wenn du es noch nicht hattest (Du musst dann eben [mm] A^7 [/mm] einfach durch Matrixmultiplikation ausrechnen...)
> um leichter die [mm]A^7[/mm] Matrix zu erhalten bzw.
> welche Diagonalmatrix hier vorliegt
Das habe ich schon in einem früheren Post gesagt. Die Diagonalmatrix ist D, und die Transformationsmatrix ist S. (siehe hier)
Damit erhält man:
[mm] $A^{7} [/mm] = [mm] SD^{7}S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{\frac{5}{4} & -1 \\ 1 & 1}*\pmat{1 & 0 \\ 0 & \left(\frac{11}{20}\right)^{7}} [/mm] * [mm] \pmat{\frac{4}{9} & \frac{4}{9} \\ -\frac{4}{9} & \frac{5}{9}}$
[/mm]
Ich komme für [mm] A^{7} [/mm] auf:
[mm] $A^7 [/mm] = [mm] \pmat{179943019/320000000 & 140056981/256000000\\ 140056981/320000000 & 115943019/256000000}$
[/mm]
> und wie genau
> multipliziere ich jetzt [mm]A^7[/mm] mit [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm]
Das ist eine Matrix-Vektor Multiplikation, das geht wie eine Matrixmultiplikation (ein Vektor ist eine Matrix mit einer Spalte)
Also:
[mm] A^{7}*\vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \pmat{179943019/320000000 & 140056981/256000000\\ 140056981/320000000 & 115943019/256000000}*\vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{140056981/256000000\\ 115943019/256000000}$
[/mm]
> und wie
> erhalte ich daraus eine Wahrscheinlichkeit in % , denn mit
> Vektoren kenn ich mich nicht so gut aus.
Wir hatten festgelegt, dass in der zweiten Komponente des Ergebnisvektors die Wahrscheinlichkeit für schlechtes Wetter steht.
$p = 115943019/256000000 = $ 45,29%
Grüße,
Stefan
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Ok, vielen dank , ich werde mir noch mal angucken wie man genau die Diagonal- und Transformationsmatrix bestimmt , aber ich denke ich hab jetzt verstanden wie ich zukünftig solche Aufgaben angehen kann, wenn ich sehe wie es gerechnet wird fällt es mir leichter es zu verstehen.
Vielen Dank nochmal!
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