Widerspruch bei komplexer Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 07.06.2009 | | Autor: | nenas |
| Aufgabe | Es gilt bekanntlich [mm] i^{2} [/mm] = -1.
Es ist aber [mm] i^{2}=i*i=\wurzel{-1}*\wurzel{-1}=\wurzel{-1*(-1)}=\wurzel{1}=1. [/mm] Wie lässt sich dieser Widerspruch erklären? |
Die Aufgabe habe ich selbst formuliert, wo steckt da der Widerspruch???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Die Wurzel ist nur für nichtnegative Zahlen definiert. D.h. es gibt auch in den komplexen Zahlen keine Zahl [mm] \wurzel{-1}, [/mm] auch wenn die Gleichung [mm] x^2 [/mm] = -1 = [mm] i^2 [/mm] = [mm] (-i)^2 [/mm] die Lösungen i und -i hat. Der vermeintliche Widerspruch ist also keiner.
Viele Grüße,
Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:11 So 07.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo Julia,
> Die Wurzel ist nur für nichtnegative Zahlen definiert. D.h.
> es gibt auch in den komplexen Zahlen keine Zahl
> [mm]\wurzel{-1},[/mm]
Doch, klar gibt es eine Zahl. Das Problem ist hier, dass es sogar mehrere solcher Zahlen gibt.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:31 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Wurzel ist nur für nichtnegative Zahlen definiert. D.h.
> es gibt auch in den komplexen Zahlen keine Zahl
> [mm]\wurzel{-1},[/mm]
Wenn das so wäre, was sind dann die komplexen Zahlen ??
FRED
> auch wenn die Gleichung [mm]x^2[/mm] = -1 = [mm]i^2[/mm] =
> [mm](-i)^2[/mm] die Lösungen i und -i hat. Der vermeintliche
> Widerspruch ist also keiner.
>
> Viele Grüße,
> Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 So 07.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo nenas,
> Es gilt bekanntlich [mm]i^{2}[/mm] = -1.
> Es ist aber
> [mm]i^{2}=i*i=\wurzel{-1}*\wurzel{-1}=\wurzel{-1*(-1)}=\wurzel{1}=1.[/mm]
> Wie lässt sich dieser Widerspruch erklären?
Das Problem ist hier, dass über den komplexen Zahlen eine Wurzel nicht nur eine Zahl meint, sondern mehrere Zahlen. Z.B. ist über den komplexen Zahlen:
[mm] $\sqrt{-1}=\{i,-i\}$
[/mm]
Die Wurzel ist also eine Menge!
Wenn du nun [mm] $i*i=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}$ [/mm] schreibst, dann hast du die is ersetzt durch zwei Mengen und müsstest dann [mm] $\{i,-i\}*\{i,-i\}$ [/mm] berechnen, was zunächst keinen Sinn macht. Auf jeden Fall ist aber [mm] $i*i\not=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}$ [/mm] (sondern [mm] $i*i\in\sqrt{-1}*\sqrt{-1}$)
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
