Widerspruchsbeweis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 21.06.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo miteinander,
Beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und wollte mal nachfragen, ob man diese auch so lösen kann. Hier die Aufgabenstellung: Sei die Funktion f mit f(x,y) = [mm] \bruch{x-y}{1-xy} [/mm] gegeben. Zu zeigen ist nun dass diese auf K={(x,y) [mm] \in IR^2 [/mm] : 0<x<2, : |y| <2 , xy [mm] \not=1} [/mm] kein lokales Minimum oder Maximum besitzt.
Dachte mir hierzu einfach anzunehmen die Funktion besäße kritische Punkte. Diese wären dann gegeben durch P(1,1) und Q(-1,-1) wenn man nun aber die Hessematrix aufstellt. ergibt sich das Problem dass diese an den Stellen nicht definiert ist. Wäre dies schon der Widerspruch?
Viele Grüße
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 21.06.2011 | | Autor: | chrisno |
Die Idee erscheint mir brauchbar. Doch gehst Du mit der Hesse-Matrix einen Schritt zu weit. Du musst ja zeigen, dass in dem Bereich es keine Kandidaten für lokale Extrema gibt. Also berechnest Du die ersten partiellen Ableitungen. Diese werden gleichzeitig nur an Stellen null, an denen die Funktion und daher auch die partiellen Ableitungen nicht definiert sind. Also werden sie nie null.
Deinen Formulierung des Widerspruchs geht nicht, weil Du Punkte betrachtest, an denen die Funktion schon nicht definiert ist. So wie Du es geschrieben hast, könnte es sogar richtig falsch werden. Nimm an, die Funktion ist definiert, aber nicht die Hesse-Matrix. Dann hilft dir eben die Hesse-Matrix nicht weiter und du musst einen anderen Weg suchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Do 23.06.2011 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Also Bildung der partiellen Ableitungen führt zu [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1-y^2}{(1-xy)^2} [/mm] ; [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{x^2-1}{(1-xy)^2} [/mm] ; Somit ist [mm] \partial [/mm] f = 0 [mm] \gdw [/mm] a) [mm] \bruch{1-y^2}{(1-xy)^2} [/mm] = 0 und b) [mm] \bruch{x^2-1}{(1-xy)^2} [/mm] = 0; a) nach y aufgelöst führt dann zu [mm] y_1= [/mm] 1 oder [mm] y_2=-1 [/mm] in b) eingesetzt erhält man
dann als potentielle kritische Punkte: P(1,1); Q(-1,1); R(1,-1) und S(-1,-1). da P Q und S auf K nicht definiert sind kommt nur noch R(1,-1) in Frage.
Könnte man bis hierher auf diese Weise argumentieren oder läuft das in eine Sackgasse?
Viele Grüße
jacob
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Hallo jacob17,
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Also Bildung der partiellen Ableitungen führt zu
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1-y^2}{(1-xy)^2}[/mm] ; ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{x^2-1}{(1-xy)^2}[/mm] ;
> Somit ist [mm]\partial[/mm] f = 0 [mm]\gdw[/mm] a) [mm]\bruch{1-y^2}{(1-xy)^2}[/mm] =
> 0 und b) [mm]\bruch{x^2-1}{(1-xy)^2}[/mm] = 0; a) nach y aufgelöst
> führt dann zu [mm]y_1=[/mm] 1 oder [mm]y_2=-1[/mm] in b) eingesetzt erhält
> man
> dann als potentielle kritische Punkte: P(1,1); Q(-1,1);
> R(1,-1) und S(-1,-1). da P Q und S auf K nicht definiert
> sind kommt nur noch R(1,-1) in Frage.
Hm, ok, die Punkte [mm](x,y)[/mm] mit [mm]xy=1[/mm] sind rausgenommen, da bleiben aber doch die beiden Kandidaten [mm]Q=(-1,1)[/mm] und [mm]R=(1,-1)[/mm] in [mm]K[/mm], oder?
An diesen Stellen sind Funktion und partielle Ableitungen auch schpn definiert, also sehe ich da kein Problem ...
Für diese beiden Punkte müsstest du dann noch zeigen, dass sie keine Extrema liefern
> Könnte man bis hierher auf diese Weise argumentieren oder
> läuft das in eine Sackgasse?
Nee, das scheint mir gut auszusehen.
Nun würde ich die Hessematrix in den beiden verbleibenden stat. Punkten untersuchen. Die ist von sehr einfacher Gestalt und wird sich in beiden Fällen als indefinit herausstellen.
> Viele Grüße
> jacob
Gruß
schachuzipus
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