Widerspruchsbeweis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mi 12.10.2011 | | Autor: | hula |
HI!
Folgende Frage beschäftigt mich: Wenn ich eine Funktion $\ f : [mm] \IR \to [/mm] (a,b) $ habe, die monoton wachsen und rechtsseitig stetig ist, dann betrachte ich die Menge:
$\ [mm] M_l:= \{x \in \IR | f(x) < l \} [/mm] $
Dann ist meine Behauptung, dass die Mengen $\ [mm] M_l [/mm] $ für ein $\ l [mm] \in [/mm] (a,b) $ von der Form $\ (- [mm] \infty, [/mm] u ] $ oder $\ [mm] (-\infty, [/mm] u)$. Das ist klar, dass sie eine der beiden Formen haben muss (auf ganz $\ [mm] \IR [/mm] $ definiert und monoton wachsend.)
Jetzt wird aber aufgrund der rechtsseitigen Stetigkeit argumentiert, dass $\ [mm] M_l [/mm] = [mm] (-\infty,u) [/mm] $ ist. Also wollte ich dies durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:
Nehmen wir an $\ [mm] M_l [/mm] := [mm] (-\infty, [/mm] u] $, da $\ f $ in $\ u $ rechtsseitig stetig ist, folgt:
$\ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0$ so dass für alle $\ x [mm] \in (u,u+\delta) [/mm] $ folgendes gilt:
$\ |f(x) - f(u)| = |f(x) - l | < [mm] \epsilon [/mm] $. $\ [mm] (\* [/mm] ) $.
Nun mein Ziel wäre es ja zu zeigen, dass dann auch diese $\ x [mm] \in M_l [/mm] $ liegen müsste, was ein Widerspruch wäre, da $\ u $ die letzte reelle Zahl ist, für die die Ungleichung in der Definition von $\ [mm] M_l [/mm] $ gilt und $\ u < x$. Das Problem ist nur, dass ich aus $\ [mm] (\* [/mm] ) $ doch nicht weiss, ob $\ f(x) [mm] \le [/mm] l $ oder $\ f(x) [mm] \ge [/mm] l $.
Wie kann ich den hier den Widerspruch generieren?
greetz
hula
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Hulla hola, äh pardon Hallo hula,
manchmal gehts mit Folgen einfacher, als mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] .
Nehmen wir an $ \ [mm] M_l [/mm] := [mm] (-\infty, [/mm] u] $. Setze [mm] $x_n:= u+\bruch{1}{n}$
[/mm]
[mm] (x_n) [/mm] konv. von rechts gegen u und f ist in u rechtsseitig stetig , also folgt:
(1) [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(u)$ für $n [mm] \to \infty.$
[/mm]
Da jedes [mm] x_n [/mm] > u ist, ist [mm] x_n \notin M_l, [/mm] also gilt:
(2) [mm] $f(x_n) \ge [/mm] l$ für jedes n [mm] \in \IN. [/mm]
Aus (1) und (2) erhältst Du dann: $f(u) [mm] \ge [/mm] l $, also den Widerspruch $u [mm] \notin M_l$
[/mm]
Gruß FRED
|
|
|
|
