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Forum "Schul-Analysis" - Wie berechne ich das Integral
Wie berechne ich das Integral < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wie berechne ich das Integral : Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Do 16.09.2004
Autor: Ute

[mm] \integral_{0}^{5} 3x^3\, [/mm] dx ?

Vielleicht haltet ihr mich bei dieser Frage für total verblödet, aber mein Mathelehrer kann mir nicht erklären, wie ich Integrale berechne. Ich verstehe es einfach nicht, wie ich vorgehen muss.



        
Bezug
Wie berechne ich das Integral : Wie berechne ich das Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Do 16.09.2004
Autor: nitro1185

Hallo Ute!!

Das ist gewiss keine Schande!!Also du musst eine Funktion integrieren!!

Wenn du die Funktion 3x³ zeichnest erhältst du eine Kurve(Graphen) so wie du es gewöhnt bist.

Die zwei Zahlen 0 und 5 sollen eine Art Grenze sein!!Das heißt du musst auf der x-achse deines Koordinatensystemes die Stellen 0 und 5 suchen!!So wenn du die gezeichnete Kurve von 0 bis 5 integrierst, so berechnest du die Fläche der Kurve zwischen 0 und 5!!Alles klar??Die herleitung wieso du die Fläche berechnest weiß ich auch nicht auswendig, aber das brauchst du ja nicht!!

Also: Nun zu deiner Aufgabe

[mm]\integral_{0}^{5} 3*x³\, dx[/mm]=

[mm](3*x^4/4)[/mm] in den Grenzen von 0 is 5

so jetzt must du die Grenzen einsetzten!!  F=Ergebnis der Integration

F(5)-F(0)= 468,74-0=468,75!!!

Alles klar? Grüße daniel

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Wie berechne ich das Integral : Wie berechne ich das Integral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Do 16.09.2004
Autor: Ute

Okay, ich verstehe wie du auf die 468,75 kommst.

Aber wie auf die 3* [mm] x^4 [/mm] /4 (also die Rechenformel)?

Und x ist ja einfach die Integralgrenze, oder? Wir in der Schule nennen das nämlich b. Aber das ist ja im Prinzip egal, oder?

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Wie berechne ich das Integral : Wie berechne ich das Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Do 16.09.2004
Autor: nitro1185

Danke Ute!!

Stimmt,die Grenzen kannst du bezeichnen wie du willst!!

Alslo wen die funktion heißt:

f(x)= 3*x³

1.) Die Hochzahl wird um 1 erhöht => [mm] x^4 [/mm]
2.) Die Zahl 3 kannst du lassen,da sie konstant ist!!!
3.) wenn du die Hochzahl um 1 erhöht hast musst du die [mm] Variable(x^4)durch [/mm] die erhöhte Hochzahl dividieren!!

=> [mm] 3*x^4/4 [/mm]

z.B  f(x)= [mm] 10*x^6 [/mm]

Dann ist das Integral von f(x)= [mm] 10*x^7/7 [/mm]

alles klar?

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Wie berechne ich das Integral : Wie berechne ich das Integral
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Sa 18.09.2004
Autor: Ute

dankeschön, du hast mir sehr geholfen

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Wie berechne ich das Integral : Wie berechne ich das Integral
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Do 16.09.2004
Autor: Stefan

Liebe Ute!

Vielleicht ist dir ja nicht klar, warum $F(x)= [mm] \frac{3}{4}x^4$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=3x^3$ [/mm] ist.

Wir haben also die Funktion [mm] $f(x)=3x^3$ [/mm] und suchen eine Funktion $F(x)$, so dass $F'(x)=f(x)$ ist.

Wie macht man das?

Du weißt ja, wie man Potenzfunktionen ableitet?

[mm] $F(x)=x^n \quad \Rightarrow \quad [/mm] F'(x)=n [mm] x^{n-1}$. [/mm]

Die Potenz erniedrigt sich also um eins und kommt als Vorfaktor davor.

Wenn wir nun eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=3x^3$ [/mm] suchen, müssen wir daher auf jeden Fall die Potenz um eins erhöhen, also muss da irgendwas mit [mm] $x^4$ [/mm] stehen. Das ist klar. Mit der $3$ als Vorfaktor passiert beim Ableiten nichts. Daher steht da vielleicht was mit [mm] $3x^4$. [/mm] Aber ist das schon die Stammfunktion? Nein.

Man muss ja darauf achten, dass ja beim Ableiten eine $4$ als Vorfaktor dazukommt. Diese stört. Daher schreiben wir sie in den Nenner, so dass sich die neu hinzukommende $4$ mit der $4$ im Nenner gerade wegkürzt.

Bilden wir also einfach mal

$F(x) = [mm] \frac{3}{4}x^4$ [/mm]

und schauen, ob dies eine Stammfunktion von

[mm] $f(x)=3x^3$ [/mm]

ist.

Und, in der Tat gilt:

$F'(x) = [mm] \frac{3}{4} \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot x^3 [/mm] = [mm] 3x^3 [/mm] = f(x)$.

Allgemeiner kann man sich so überlegen:

Eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=ax^n$ [/mm] ist durch $F(x) = [mm] \frac{a}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] gegeben.

Jetzt klarer?

Liebe Grüße
Stefan

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