Wie bestimmt man Mipo einfach? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mo 14.12.2015 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Minimalpoynome von $ [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \zeta_{6} [/mm] $ und von $ [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] + [mm] \zeta_{6} [/mm] $.
(Das Mipo von von [mm] \zeta_{6} [/mm] ist [mm] X^{2}-X+1 [/mm] ) |
Hallo allerseits!
Gibt es irgendeine einfach Moeglichkeit, diese Minimalpolynome zu bestimmen? Oder kommt man nicht darum herum, sich die Potenzen anzugucken, Linearkombinationen davon und dann ein lineares Gleichungssystem zu loesen?
Bei [mm] \alpha [/mm] geht das ja noch halbwegs: Man guckt sich [mm] \alpha, \alpha^{2}, \alpha^{3} [/mm] und [mm] \alpha^{4} [/mm] an und schaut sich die Summe
$ [mm] \alpha^{4} [/mm] + a [mm] \alpha^{3} [/mm] + b [mm] \alpha^{2} [/mm] + c [mm] \alpha [/mm] + d $
aufgeteilt in komponenten: konstant, [mm] \zeta_{6}, \wurzel{2}, \wurzel{2} \zeta_{6} [/mm] an, setzt das ganze null und kommt dann auf das Polynom
$ [mm] x^{4}-2 x^{3}-x^{2}+2 [/mm] x + 7 $
wobei hier dann noch nicht klar ist, dass dieses Polynom irreduzibel ist.
Bei [mm] \beta [/mm] geht das im Prinzip genauso, man muss nur die Potenzen bis [mm] \beta^{6} [/mm] betrachten und hat dann in der entsprechenden Summe dann sechs Komponenten, sodass das ziemlich unuebersichtlich ist. So kommt man dann jedenfalls auf das Polynom
[mm] x^{6}-3 x^{5}+6 x^{4}-11 x^{3}+12 x^{2} [/mm] + 3 x + 1
und auch hier ist erstmal noch nicht die Irreduzibilitaet klar.
Meine Frage ist nun: Geht das auch irgendwie einfacher oder kommt man um dieses unuebersichtliche Rumgerechne nicht rum?
LG
valoo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Di 15.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie die Minimalpoynome von [mm]\alpha = \wurzel{2} + \zeta_{6}[/mm]
> und von [mm]\beta = \wurzel[3]{2} + \zeta_{6} [/mm].
>
> (Das Mipo von von [mm]\zeta_{6}[/mm] ist [mm]X^{2}-X+1[/mm] )
> Hallo allerseits!
>
> Gibt es irgendeine einfach Moeglichkeit, diese
> Minimalpolynome zu bestimmen? Oder kommt man nicht darum
> herum, sich die Potenzen anzugucken, Linearkombinationen
> davon und dann ein lineares Gleichungssystem zu loesen?
Du kommst vermutlich nicht darum herum.
> Bei [mm]\alpha[/mm] geht das ja noch halbwegs: Man guckt sich
> [mm]\alpha, \alpha^{2}, \alpha^{3}[/mm] und [mm]\alpha^{4}[/mm] an und schaut
> sich die Summe
> [mm]\alpha^{4} + a \alpha^{3} + b \alpha^{2} + c \alpha + d[/mm]
>
> aufgeteilt in komponenten: konstant, [mm]\zeta_{6}, \wurzel{2}, \wurzel{2} \zeta_{6}[/mm]
Überlege dir, dass diese Elemente linear unabhängig über [mm] $\IQ$ [/mm] sind. Dazu brauchst du evtl. etwas Körpertheorie.
> an, setzt das ganze null und kommt dann auf das Polynom
> [mm]x^{4}-2 x^{3}-x^{2}+2 x + 7[/mm]
Ist dies das einzige (bis auf skalare Vielfache) Polynom, welches das erfüllt?
Wenn ja, muss es irreduzibel sein. (Warum? Das kann man recht einfach argumentieren. Versuch's mal.)
> wobei hier dann noch nicht
> klar ist, dass dieses Polynom irreduzibel ist.
> Bei [mm]\beta[/mm] geht das im Prinzip genauso, man muss nur die
> Potenzen bis [mm]\beta^{6}[/mm] betrachten und hat dann in der
> entsprechenden Summe dann sechs Komponenten, sodass das
> ziemlich unuebersichtlich ist.
Man muss ja auch nicht alles von Hand rechnen  Auch hier musst du dir wieder überlegen, dass die sechs Elemente [mm] $\sqrt[3]{2}^i \zeta_6^j$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] i < 3$ und $0 [mm] \le [/mm] j < 2$ linear unabhängig über [mm] $\IQ$ [/mm] sind. Mit dem Gradmultiplikationssatz für Körpererweiterungen ist das nicht so schwer.
> So kommt man dann jedenfalls auf das Polynom
> [mm]x^{6}-3 x^{5}+6 x^{4}-11 x^{3}+12 x^{2}[/mm] + 3 x + 1
> und auch hier ist erstmal noch nicht die Irreduzibilitaet
> klar.
Auch hier: welche Dimension hat der Lösungsraum des Gleichungssystems?
> Meine Frage ist nun: Geht das auch irgendwie einfacher
Ganz allgemein wohl nicht. In Spezialfällen manchmal hingegen schon, aber hier (soweit ich das sehen kann) nicht. Insb. wenn du das Minimalpolynom selber und nicht nur dessen Grad suchst.
LG Felix
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