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Hallo!
Schon wieder ich...
Grüble jetzt schon seit gestern Vormittag an diesem Problem:
Wie komme ich mit den Gleichungen
1. [mm] \bruch{\sigma(N)}{N}< \produkt{p|N} \bruch{1}{1-p^{-1}}
[/mm]
2. p|N [mm] \gdw p\le [/mm] h
3. [mm] p^2|N \Rightarrow p<\sqrt{2\cdot h}
[/mm]
auf diese beiden (Un-)Gleichungen
[mm] \bruch{\sigma(N)}{N}\le \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1+\bruch{1}{p}\right) \cdot \produkt_{p \le 2 \cdot \sqrt{h}} \left( 1+\bruch{1}{p}+\bruch{1}{p^2}+...\right)=\produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1-\bruch{1}{p^2}\right)\cdot \produkt_{p\le h} \bruch{1}{1-p^{-1}}
[/mm]
Bisher hab ich nur die Erkenntnisse
a) [mm] \left( 1-\bruch{1}{p^2}\right)=\left( 1+\bruch{1}{p}\right) \cdot \left(1-\bruch{1}{p} \right)
[/mm]
b) hier teilt [mm] p^2 [/mm] nicht N, also [mm] \sqrt{2\cdot h}\le [/mm] p
c) [mm] \left( 1+\bruch{1}{p}+\bruch{1}{p^2}+...\right) [/mm] ist eine geometrische Reihe
Wäre wirklich total toll, wenn mir jemand helfen könnte!
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mo 18.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Schon wieder ich...
> Grüble jetzt schon seit gestern Vormittag an diesem
> Problem:
> Wie komme ich mit den Gleichungen
> 1. [mm]\bruch{\sigma(N)}{N}< \produkt{p|N} \bruch{1}{1-p^{-1}}[/mm]
>
> 2. p|N [mm]\gdw p\le[/mm] h
> 3. [mm]p^2|N \Rightarrow p<\sqrt{2\cdot h}[/mm]
> auf diese beiden
> (Un-)Gleichungen
> [mm]\bruch{\sigma(N)}{N}\le \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1+\bruch{1}{p}\right) \cdot \produkt_{p \le 2 \cdot \sqrt{h}} \left( 1+\bruch{1}{p}+\bruch{1}{p^2}+...\right)=\produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1-\bruch{1}{p^2}\right)\cdot \produkt_{p\le h} \bruch{1}{1-p^{-1}}[/mm]
>
> Bisher hab ich nur die Erkenntnisse
> a) [mm]\left( 1-\bruch{1}{p^2}\right)=\left( 1+\bruch{1}{p}\right) \cdot \left(1-\bruch{1}{p} \right)[/mm]
>
> b) hier teilt [mm]p^2[/mm] nicht N, also [mm]\sqrt{2\cdot h}\le[/mm] p
> c) [mm]\left( 1+\bruch{1}{p}+\bruch{1}{p^2}+...\right)[/mm] ist
> eine geometrische Reihe
Der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist doch [mm]\bruch{1}{1-1/p} = \bruch{1}{1-p^{-1}}[/mm], und aus a) folgt
[mm] 1+\bruch{1}{p}\right) = \left(1-\bruch{1}{p^2}}\right) \bruch{1}{1-p^{-1}} [/mm]
Also ist
[mm] \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1+\bruch{1}{p}\right) \cdot \produkt_{p \le 2 \cdot \sqrt{h}} \left( 1+\bruch{1}{p}+\bruch{1}{p^2}+...\right) = \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1+\bruch{1}{p}\right) *\produkt_{p \le 2 \cdot \sqrt{h}} \bruch{1}{1-p^{-1}} [/mm]
[mm] = \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(\left(1-\bruch{1}{p^2}}\right) * \bruch{1}{1-p^{-1}}\right) * \produkt_{p \le 2 \cdot \sqrt{h}}\right) \bruch{1}{1-p^{-1}} [/mm]
[mm] = \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1-\bruch{1}{p^2}}\right) * \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \bruch{1}{1-p^{-1}} * \produkt_{p \le 2 \cdot \sqrt{h}}\right) \bruch{1}{1-p^{-1}} [/mm]
[mm] = \produkt_{\sqrt{2\cdot h}\le p \le h} \left(1-\bruch{1}{p^2}}\right) * \produkt_{p\le h} \bruch{1}{1-p^{-1}}[/mm]
Das wäre schon mal eine Hälfte. 
Viele Grüße
Rainer
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