Wie kürzt man Fakultät? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Do 28.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | | [mm] |\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}| [/mm] |
Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in der erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf die zweite Gleichung komme.
Danke :)
[mm] lila_1
[/mm]
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Hallo,
> [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in der
> erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf die zweite
> Gleichung komme.
(2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie bewirken nämlich überhaupt nichts?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in der
> > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf die
> zweite
> > Gleichung komme.
>
> (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
>
> BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie bewirken
> nämlich überhaupt nichts?
Hallo Diophant,
warscheinlich war die Folgende Aufgabe gestellt: bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n* \bruch{x^{2n}}{(2n)!}$
[/mm]
(Cosinus).
Es könnte aber auch die folgende Potenzreihe sein:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}$
[/mm]
(Cosinushyperbolicus)
Gruß FRED
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Do 28.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo,
>
> > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in der
> > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf die
> zweite
> > Gleichung komme.
>
> (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
>
> BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie bewirken
> nämlich überhaupt nichts?
Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
Für welche [mm] x\in\IR [/mm] ist die Potenzreihe [mm] P(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] absolut Konvergent.
Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form [mm] P(z)=\summe_{n=0}^{\infty} a_n\cdot z^n [/mm] mit [mm] (a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC [/mm] für ihren Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|
[/mm]
Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|} [/mm] mit Konvergenzradius [mm] \rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}
[/mm]
Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage, rechnen also den Konvergenzradius wie folgt aus:
Sie rechnen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0 [/mm] und erhalten den Konvergenzradius dann mit [mm] \rho=\frac{1}{\rho_0}
[/mm]
Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende nicht so aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner eventuell bei absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine Null. Man muss sich dann im Klaren sein, was das genau heißt oder es sich einfach merken, das in diesem Zusammenhang [mm] \frac{1}{0}:=\infty [/mm] und [mm] \frac{1}{\infty}:=0 [/mm] gilt.
Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der Konvergenzradius mit [mm] \rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] geschenkt.
>
>
> Gruß, Diophant
So viel dazu.
edit: Okay, da der FRED (mal wieder) weitergedacht hat geht es wohl um den Kosinus oder Kosinushyperbolicus..
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in
> der
> > > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf die
> > zweite
> > > Gleichung komme.
> >
> > (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
> >
> > BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie bewirken
> > nämlich überhaupt nichts?
>
> Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
>
> Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die Potenzreihe
> [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{x^{2n}}[/mm]
Das ist doch keine Potenzreihe !!
Wenn Du
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
meinst, so habe ich das oben schon erwähnt.
> absolut
> Konvergent.
>
> Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form
> [mm]P(z)=\summe_{n=1}^{\infty} a_n\cdot z^n[/mm]
Potenzreihen beginnen bei n=0, also
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} a_n\cdot z^n$
[/mm]
> mit
> [mm](a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC[/mm] für ihren
> Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|[/mm]
Das geht aber nur, wenn fast alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 sind !
>
> Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
Müssen tut gar nix !
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
Und was machst Du, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] nicht existiert ??
> mit Konvergenzradius
> [mm]\rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
So kannst Du den Konvergenzradius nicht definieren !
>
> Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage, rechnen also
> den Konvergenzradius wie folgt aus:
Woher weisst Du , was der Fragesteller noch alles vorhat ? Geht er heute Abend ins Kino ?
> Sie rechnen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> und erhalten den Konvergenzradius dann mit
> [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende nicht so
> aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner eventuell bei
> absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine Null.
Hä ? Was meinst Du damit ?
> Man
> muss sich dann im Klaren sein, was das genau heißt oder es
> sich einfach merken.
Ja, was jetzt ?
>
> Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der
> Konvergenzradius mit
> [mm]\rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> geschenkt.
Das ist doch prima ! Wenn der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] existiert, so ist doch alles bestens !
FRED
>
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> So viel dazu.
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Do 28.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo FRED,
Danke für die Fehlerkorrektur. Finde ich übrigens prima, da man dabei viel lernen kann! Muss das noch bisschen was verbessern, aber du hast überall Recht!
Was ich eigentlich meinte ist folgendes:
Falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0 [/mm] für fast alle Indizes n existiert, dann gilt für den Konvergenzradius [mm] \rho=\frac{1}{\rho_0}
[/mm]
Was ich meinte mir "im Klaren sein" heißt einfach nur, dass in diesem Fall [mm] \frac{1}{\infty}:=0 [/mm] und [mm] \frac{1}{0}:=\infty [/mm] gilt.
Ich sehe hier kein Problem wieso man nicht die Formel für den Konvergenzradius aus den Konvergenzkriterien (Wurzel- und Quotientenkriterium) von Reihen herleiten kann.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> Danke für die Fehlerkorrektur. Finde ich übrigens prima,
> da man dabei viel lernen kann! Muss das noch bisschen was
> verbessern, aber du hast überall Recht!
>
> Was ich eigentlich meinte ist folgendes:
>
> Falls
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> für fast alle Indizes n existiert,
Du meinst sicher: [mm] a_n \ne [/mm] 0 für fast alle n und der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] existiert.
> dann gilt für den
> Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
>
> Was ich meinte mir "im Klaren sein" heißt einfach nur,
> dass in diesem Fall [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] und
> [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] gilt.
>
> Ich sehe hier kein Problem wieso man nicht die Formel für
> den Konvergenzradius aus den Konvergenzkriterien (Wurzel-
> und Quotientenkriterium) von Reihen herleiten kann.
Das kann man, wenn man limes superior und limes inferior verwendet.
FRED
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Do 28.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> > Hallo FRED,
> >
> > Danke für die Fehlerkorrektur. Finde ich übrigens prima,
> > da man dabei viel lernen kann! Muss das noch bisschen was
> > verbessern, aber du hast überall Recht!
> >
> > Was ich eigentlich meinte ist folgendes:
> >
> > Falls
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> > für fast alle Indizes n existiert,
>
>
> Du meinst sicher: [mm]a_n \ne[/mm] 0 für fast alle n und der
> Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
> existiert.
Genau!
>
>
>
>
> > dann gilt für den
> > Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> >
> > Was ich meinte mir "im Klaren sein" heißt einfach nur,
> > dass in diesem Fall [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] und
> > [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] gilt.
> >
> > Ich sehe hier kein Problem wieso man nicht die Formel für
> > den Konvergenzradius aus den Konvergenzkriterien (Wurzel-
> > und Quotientenkriterium) von Reihen herleiten kann.
>
> Das kann man, wenn man limes superior und limes inferior
> verwendet.
Genau, aber doch nur für das Wurzelkriterium. Ich habe mich in meiner ersten Mitteilung auf das Quotientenkriterum beschränkt und dort folgt aus der Existenz von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] für den Konvergenzradius [mm] \rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{1}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius ganz unten. Oder habe ich das falsch verstanden?
>
> FRED
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in
> der
> > > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf die
> > zweite
> > > Gleichung komme.
> >
> > (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
> >
> > BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie bewirken
> > nämlich überhaupt nichts?
>
> Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
>
> Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die Potenzreihe
> [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] absolut
> Konvergent.
>
> Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form
> [mm]P(z)=\summe_{n=1}^{\infty} a_n\cdot z^n[/mm] mit
> [mm](a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC[/mm] für ihren
> Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|[/mm]
>
> Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
> mit Konvergenzradius
> [mm]\rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
>
> Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage, rechnen also
> den Konvergenzradius wie folgt aus:
> Sie rechnen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> und erhalten den Konvergenzradius dann mit
> [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende nicht so
> aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner eventuell bei
> absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine Null. Man
> muss sich dann im Klaren sein, was das genau heißt oder es
> sich einfach merken, das in diesem Zusammenhang
> [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] gilt.
>
> Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der
> Konvergenzradius mit
> [mm]\rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> geschenkt.
>
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> So viel dazu.
>
> edit: Okay, da die FRED
.... ich muss doch bitten .... Wenn schon, dann der FRED
Das FRED
> (mal wieder) weitergedacht hat geht
> es wohl um den Kosinus oder Kosinushyperbolicus..
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Do 28.11.2013 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > > > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > > > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in
> > der
> > > > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf
> die
> > > zweite
> > > > Gleichung komme.
> > >
> > > (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
> > >
> > > BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie bewirken
> > > nämlich überhaupt nichts?
> >
> > Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
> >
> > Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die Potenzreihe
> > [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] absolut
> > Konvergent.
> >
> > Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form
> > [mm]P(z)=\summe_{n=1}^{\infty} a_n\cdot z^n[/mm] mit
> > [mm](a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC[/mm] für ihren
> > Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|[/mm]
>
> >
> > Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
> > mit Konvergenzradius
> >
> [mm]\rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
> >
> > Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage, rechnen also
> > den Konvergenzradius wie folgt aus:
> > Sie rechnen
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> > und erhalten den Konvergenzradius dann mit
> > [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> > Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende nicht
> so
> > aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner eventuell bei
> > absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine Null. Man
> > muss sich dann im Klaren sein, was das genau heißt oder es
> > sich einfach merken, das in diesem Zusammenhang
> > [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] gilt.
> >
> > Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der
> > Konvergenzradius mit
> > [mm]\rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> > geschenkt.
> >
> > >
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> > So viel dazu.
> >
> > edit: Okay, da die FRED
>
> .... ich muss doch bitten .... Wenn schon, dann der FRED
>
> Das FRED
>
>
Na, das war sicher nur ein FREDscher Versprecher.
> > (mal wieder) weitergedacht hat geht
> > es wohl um den Kosinus oder Kosinushyperbolicus..
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > > > > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > > > > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät in
> > > der
> > > > > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich auf
> > die
> > > > zweite
> > > > > Gleichung komme.
> > > >
> > > > (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
> > > >
> > > > BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie
> bewirken
> > > > nämlich überhaupt nichts?
> > >
> > > Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
> > >
> > > Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die Potenzreihe
> > > [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> absolut
> > > Konvergent.
> > >
> > > Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form
> > > [mm]P(z)=\summe_{n=1}^{\infty} a_n\cdot z^n[/mm] mit
> > > [mm](a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC[/mm] für ihren
> > > Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
>
> > > mit Konvergenzradius
> > >
> >
> [mm]\rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
> > >
> > > Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage, rechnen
> also
> > > den Konvergenzradius wie folgt aus:
> > > Sie rechnen
> > >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> > > und erhalten den Konvergenzradius dann mit
> > > [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> > > Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende
> nicht
> > so
> > > aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner eventuell
> bei
> > > absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine Null.
> Man
> > > muss sich dann im Klaren sein, was das genau heißt
> oder es
> > > sich einfach merken, das in diesem Zusammenhang
> > > [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] gilt.
> > >
> > > Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der
> > > Konvergenzradius mit
> > > [mm]\rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > geschenkt.
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruß, Diophant
> > >
> > > So viel dazu.
> > >
> > > edit: Okay, da die FRED
> >
> > .... ich muss doch bitten .... Wenn schon, dann der
> FRED
> >
> > Das FRED
> >
> >
> Na, das war sicher nur ein FREDscher Versprecher.
Hallo Abakus,
kennst Du den:
Treffen sich zwei alte Freunde nach ein paar Jahren wieder.
Der Eine: "Ich glaub, ich werde langsam alt! Immer öfter passiert es mir, dass mir seltsame Versprecher rausrutschen. Gestern z.B. am Flughafen. Da wollte ich ein Ticket nach Pittsburgh kaufen; aber die junge Dame am Schalter hatte solche Riesenmöpse.... und da hörte ich folgenden Satz aus meinem Mund kommen: 'Ich hätte gern ein Ticket nach Titsburgh, bitte!' Wie peinlich...."
Der Andere: "Das geht mir auch oft so! Am Sonntag z.B. saß ich mit meiner Frau am Frühstückstisch. Ich wollte eigentlich zu ihr sagen: 'Schatz, reichst du mir mal bitte die Butter?'. Ich hörte mich stattdessen aber versehentlich folgendes sagen: 'Du dämliche Kuh hast mir mein ganzes Leben versaut!' "
Gruß FRED
>
> > > (mal wieder) weitergedacht hat geht
> > > es wohl um den Kosinus oder Kosinushyperbolicus..
> > >
> > > Gruß
> > > DieAcht
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 28.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo Abakus,
>
> kennst Du den:
>
> Treffen sich zwei alte Freunde nach ein paar Jahren
> wieder.
>
> Der Eine: "Ich glaub, ich werde langsam alt! Immer öfter
> passiert es mir, dass mir seltsame Versprecher
> rausrutschen. Gestern z.B. am Flughafen. Da wollte ich ein
> Ticket nach Pittsburgh kaufen; aber die junge Dame am
> Schalter hatte solche Riesenmöpse.... und da hörte ich
> folgenden Satz aus meinem Mund kommen: 'Ich hätte gern ein
> Ticket nach Titsburgh, bitte!' Wie peinlich...."
>
> Der Andere: "Das geht mir auch oft so! Am Sonntag z.B. saß
> ich mit meiner Frau am Frühstückstisch. Ich wollte
> eigentlich zu ihr sagen: 'Schatz, reichst du mir mal bitte
> die Butter?'. Ich hörte mich stattdessen aber
> versehentlich folgendes sagen: 'Du dämliche Kuh hast mir
> mein ganzes Leben versaut!' "
>
> Gruß FRED
Auch wenn der nicht an mich war, ich fand den richtig gut :)
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 28.11.2013 | | Autor: | abakus |
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > > > > > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > > > > > Kann mir jmd. erklären, wie ich die Fakultät
> in
> > > > der
> > > > > > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich
> auf
> > > die
> > > > > zweite
> > > > > > Gleichung komme.
> > > > >
> > > > > (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
> > > > >
> > > > > BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie
> > bewirken
> > > > > nämlich überhaupt nichts?
> > > >
> > > > Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
> > > >
> > > > Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die Potenzreihe
> > > > [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > absolut
> > > > Konvergent.
> > > >
> > > > Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form
> > > > [mm]P(z)=\summe_{n=1}^{\infty} a_n\cdot z^n[/mm] mit
> > > > [mm](a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC[/mm] für ihren
> > > > Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
>
> >
> > > > mit Konvergenzradius
> > > >
> > >
> >
> [mm]\rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
> > > >
> > > > Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage,
> rechnen
> > also
> > > > den Konvergenzradius wie folgt aus:
> > > > Sie rechnen
> > > >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> > > > und erhalten den Konvergenzradius dann mit
> > > > [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> > > > Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende
> > nicht
> > > so
> > > > aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner
> eventuell
> > bei
> > > > absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine
> Null.
> > Man
> > > > muss sich dann im Klaren sein, was das genau heißt
> > oder es
> > > > sich einfach merken, das in diesem Zusammenhang
> > > > [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] gilt.
> > > >
> > > > Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der
> > > > Konvergenzradius mit
> > > >
> [mm]\rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > > geschenkt.
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruß, Diophant
> > > >
> > > > So viel dazu.
> > > >
> > > > edit: Okay, da die FRED
> > >
> > > .... ich muss doch bitten .... Wenn schon, dann der
> > FRED
> > >
> > > Das FRED
> > >
> > >
> > Na, das war sicher nur ein FREDscher Versprecher.
>
> Hallo Abakus,
>
> kennst Du den:
>
> Treffen sich zwei alte Freunde nach ein paar Jahren
> wieder.
>
> Der Eine: "Ich glaub, ich werde langsam alt! Immer öfter
> passiert es mir, dass mir seltsame Versprecher
> rausrutschen. Gestern z.B. am Flughafen. Da wollte ich ein
> Ticket nach Pittsburgh kaufen; aber die junge Dame am
> Schalter hatte solche Riesenmöpse.... und da hörte ich
> folgenden Satz aus meinem Mund kommen: 'Ich hätte gern ein
> Ticket nach Titsburgh, bitte!' Wie peinlich...."
>
> Der Andere: "Das geht mir auch oft so! Am Sonntag z.B. saß
> ich mit meiner Frau am Frühstückstisch. Ich wollte
> eigentlich zu ihr sagen: 'Schatz, reichst du mir mal bitte
> die Butter?'. Ich hörte mich stattdessen aber
> versehentlich folgendes sagen: 'Du dämliche Kuh hast mir
> mein ganzes Leben versaut!' "
>
> Gruß FRED
Der ist gut, den muss ich meiner Frau erzählen.
> >
> > > > (mal wieder) weitergedacht hat geht
> > > > es wohl um den Kosinus oder Kosinushyperbolicus..
> > > >
> > > > Gruß
> > > > DieAcht
> > >
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > > [mm]|\bruch{(2n)! x^{2n+2}}{(2n+2)!x^{2n}}|[/mm] =
> > > > > > > [mm]|\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}|[/mm]
> > > > > > > Kann mir jmd. erklären, wie ich die
> Fakultät
> > in
> > > > > der
> > > > > > > erster Gleichung schreiben kann, sodass ich
> > auf
> > > > die
> > > > > > zweite
> > > > > > > Gleichung komme.
> > > > > >
> > > > > > (2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
> > > > > >
> > > > > > BTW: wozu sind die Betragszeichen oben da, sie
> > > bewirken
> > > > > > nämlich überhaupt nichts?
> > > > >
> > > > > Seine eigentliche Aufgabe lautet fast sicher:
> > > > >
> > > > > Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die Potenzreihe
> > > > > [mm]P(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > absolut
> > > > > Konvergent.
> > > > >
> > > > > Allgemein gilt für eine Potenzreihe der Form
> > > > > [mm]P(z)=\summe_{n=1}^{\infty} a_n\cdot z^n[/mm] mit
> > > > > [mm](a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC, z\in\IC[/mm] für ihren
> > > > > Konvergenzradius durch Koeffizietenvergleich:
> > > > >
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}\cdot z^{n+1}}{a_n\cdot z^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Und nun muss für die absolute Konvergenz gelten:
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot|z|<1\gdw |z|<\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > > mit Konvergenzradius
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\rho:=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}[/mm]
> > > > >
> > > > > Viele, genauso wie der Ersteller dieser Frage,
> > rechnen
> > > also
> > > > > den Konvergenzradius wie folgt aus:
> > > > > Sie rechnen
> > > > >
> > >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=:\rho_0[/mm]
> > > > > und erhalten den Konvergenzradius dann mit
> > > > > [mm]\rho=\frac{1}{\rho_0}[/mm]
> > > > > Das Problem dabei ist, dass man das dann am Ende
> > > nicht
> > > > so
> > > > > aufschreiben kann, sonst hat man im Nenner
> > eventuell
> > > bei
> > > > > absoluter Konvergenz auf der ganzen Menge eine
> > Null.
> > > Man
> > > > > muss sich dann im Klaren sein, was das genau
> heißt
> > > oder es
> > > > > sich einfach merken, das in diesem Zusammenhang
> > > > > [mm]\frac{1}{0}:=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}:=0[/mm] gilt.
> > > > >
> > > > > Es gibt aber auch Studenten, den wird sofort der
> > > > > Konvergenzradius mit
> > > > >
> > [mm]\rho=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > > > geschenkt.
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruß, Diophant
> > > > >
> > > > > So viel dazu.
> > > > >
> > > > > edit: Okay, da die FRED
> > > >
> > > > .... ich muss doch bitten .... Wenn schon, dann der
> > > FRED
> > > >
> > > > Das FRED
> > > >
> > > >
> > > Na, das war sicher nur ein FREDscher Versprecher.
> >
> > Hallo Abakus,
> >
> > kennst Du den:
> >
> > Treffen sich zwei alte Freunde nach ein paar Jahren
> > wieder.
> >
> > Der Eine: "Ich glaub, ich werde langsam alt! Immer
> öfter
> > passiert es mir, dass mir seltsame Versprecher
> > rausrutschen. Gestern z.B. am Flughafen. Da wollte ich
> ein
> > Ticket nach Pittsburgh kaufen; aber die junge Dame am
> > Schalter hatte solche Riesenmöpse.... und da hörte
> ich
> > folgenden Satz aus meinem Mund kommen: 'Ich hätte gern
> ein
> > Ticket nach Titsburgh, bitte!' Wie peinlich...."
> >
> > Der Andere: "Das geht mir auch oft so! Am Sonntag z.B.
> saß
> > ich mit meiner Frau am Frühstückstisch. Ich wollte
> > eigentlich zu ihr sagen: 'Schatz, reichst du mir mal
> bitte
> > die Butter?'. Ich hörte mich stattdessen aber
> > versehentlich folgendes sagen: 'Du dämliche Kuh hast
> mir
> > mein ganzes Leben versaut!' "
> >
> > Gruß FRED
>
> Der ist gut, den muss ich meiner Frau erzählen.
Ich halte das für keine gute Idee ....
FRED
> > >
> > > > > (mal wieder) weitergedacht hat geht
> > > > > es wohl um den Kosinus oder Kosinushyperbolicus..
> > > > >
> > > > > Gruß
> > > > > DieAcht
> > > >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Do 28.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn man den seiner Frau erzählen möchte nur mit Nennung des Autors. Vielleicht trifft man sich ja mal und mal schauen was dann passiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Do 28.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo,
ich werde den meiner Frau nicht erzählen. Sie fragt mich sonst garantiert, was ich eigentlich in Pittsburgh wollte. 
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 28.11.2013 | | Autor: | abakus |
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Gruß, Diophant
> > > > > >
> > > > > > So viel dazu.
> > > > > >
> > > > > > edit: Okay, da die FRED
> > > > >
> > > > > .... ich muss doch bitten .... Wenn schon, dann
> der
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > Das FRED
> > > > >
> > > > >
> > > > Na, das war sicher nur ein FREDscher Versprecher.
> > >
> > > Hallo Abakus,
> > >
> > > kennst Du den:
> > >
> > > Treffen sich zwei alte Freunde nach ein paar Jahren
> > > wieder.
> > >
> > > Der Eine: "Ich glaub, ich werde langsam alt! Immer
> > öfter
> > > passiert es mir, dass mir seltsame Versprecher
> > > rausrutschen. Gestern z.B. am Flughafen. Da wollte
> ich
> > ein
> > > Ticket nach Pittsburgh kaufen; aber die junge Dame
> am
> > > Schalter hatte solche Riesenmöpse.... und da hörte
> > ich
> > > folgenden Satz aus meinem Mund kommen: 'Ich hätte
> gern
> > ein
> > > Ticket nach Titsburgh, bitte!' Wie peinlich...."
> > >
> > > Der Andere: "Das geht mir auch oft so! Am Sonntag
> z.B.
> > saß
> > > ich mit meiner Frau am Frühstückstisch. Ich wollte
> > > eigentlich zu ihr sagen: 'Schatz, reichst du mir mal
> > bitte
> > > die Butter?'. Ich hörte mich stattdessen aber
> > > versehentlich folgendes sagen: 'Du dämliche Kuh hast
> > mir
> > > mein ganzes Leben versaut!' "
> > >
> > > Gruß FRED
> >
> > Der ist gut, den muss ich meiner Frau erzählen.
>
> Ich halte das für keine gute Idee ....
>
> FRED
Spaßbremse!
Übrigens:
Wie stellt ein Mann, der 10 Jahre verheiratet ist, anderen Leuten seine Frau vor:
Antwort: "Darf ich vorstellen: Das ist meine Frau."
Wie läuft die Vorstellung ab, wenn man 20 Jahre verheiratet ist?
Antwort:
"Können Sie sich vorstellen: Das ist meine Frau!"
Und wie stellt man seine Frau vor, wenn man 30 Jahre verheiratet ist?
Antwort:
"Können Sie sich mal davor stellen, das ist meine Frau."
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Do 28.11.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Lila!
Nur eine kleine Anmerkung am Rande:
Das sind zwei (gleichwertige) Terme, keine Gleichungen.
Gruß vom
Roadrunner
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