Wie lautet folgende Regel? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 29.09.2011 | | Autor: | eburg2 |
| Aufgabe | | [mm] \int_a^b \! [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx = [mm] \left[\sum\limits_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1} * \frac{x^{k}}{k!}*f^{(k-1)} \left(x\right) \right]_{a}^{b} [/mm] |
Guten Tag,
folgende Regel liegt mir vor und ich würde gern herausfinden, woher sie stammt bzw wie sie heißt und von welchem Mathematiker sie kommt.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in ![[]](/images/popup.gif) folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Do 29.09.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo eburg2,
sehr interessant!
> [mm]\int_a^b \![/mm] f(x) [mm]\,[/mm] dx = [mm]\left[\sum\limits_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1} * \frac{x^{k}}{k!}*f^{(k-1)} \left(x\right) \right]_{a}^{b}[/mm]
Leite mal beide Seiten der Gleichung nach [mm]x[/mm] ab! Du wirst feststellen, dass sich in der unendlichen Summe alle Glieder außer dem ersten aufheben.
Die Formel hat soweit ich weiß keinen Namen und kommt von der partiellen Integration. Du kannst sie dir auch selber herleiten:
Schreibe [mm]\int_a^b f(x)\ \mbox dx=\int_a^b 1\cdot f(x)\ \mbox dx[/mm] und integriere partiell mit [mm]v^\prime (x):=1[/mm] und [mm]u(x):=f(x)[/mm].
Das ergibt
[mm]\int_a^b f(x)\ \mbox dx=\left[x\cdot f(x)\right]_a^b-\int_a^b x\cdot f^\prime (x)\ \mbox dx[/mm]
Das machst du jetzt immer so weiter (die [mm]u(x)[/mm]-Terme sind immer die Ableitungen von [mm]f(x)[/mm]) bis du eine Gesetzmäßigkeit feststellst und das ganze als Summe schreiben kannst.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Do 29.09.2011 | | Autor: | eburg2 |
Danke für die Antwort.
Ja so hatte ich sie mir auch hergeleitet. Konnte nur keinen zugehörigen Namen finden.
Gruß
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Hallo eburg2, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ergänzend zu Fullas Kommentar hier noch ein Hinweis:
vergleiche die vorliegende Formel mal mit der Konstruktion der Taylorreihe. Auch darüber kannst Du die Formel verstehen und herleiten.
Grüße
reverend
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