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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?
Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Sa 15.05.2004
Autor: Torsten

Hallo!

Folgende Aufgabe überfordert mich, da ich nicht weiss, wie man zwei Ebenen auf ihre Parallelität hin überprüft.

Gegeben seien die beiden Ebenen
E1:x=  [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]

E2:x= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]  + [mm] \Gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} +\phi \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]  .


a)Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel sind.



Ich wäre echt dankbar wenn jemand die Aufgabe kurz lösen könnte, dürfte für einen Profi wohl kein Problem sein.

Danke im Vorraus und Gruss,

Torsten

        
Bezug
Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Sa 15.05.2004
Autor: Marc

Hallo Torsten,

willkommen im MatheRaum! :-)

> Folgende Aufgabe überfordert mich, da ich nicht weiss, wie
> man zwei Ebenen auf ihre Parallelität hin überprüft.
>  
> Gegeben seien die beiden Ebenen
>   E1:x=  [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
>
> E2:x= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]  + [mm] \Gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} +\phi \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]  .
>  
>
> a)Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel sind.

Kennst du den Begriff der linearen Abhängigkeit (von Vektoren)?

Damit kannst du das Gewünschte ganz einfach zeigen:
Seien [mm] $\vec{u}_1,\vec{u}_2$ [/mm] die Richtungsvektoren der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] und
[mm] $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ [/mm] die Richtungsvektoren der Ebene [mm] $E_2$. [/mm]

Die Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sind parallel [mm] $\gdw$ $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{v}_1$ [/mm] linear abhängig und [mm] $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{v}_2$ [/mm] linear abhängig.

Wenn du nun noch unterscheiden willst, ob [mm] E_1 [/mm] echt parallel zu [mm] E_2 [/mm] ist (und nicht identisch), machst du eine Punktprobe:
Teste, ob der Stützpunkt einer Ebene in der anderen enthalten ist: Falls ja, dann ist [mm] $E_1=E_2$, [/mm] falls nicht, dann ist [mm] $E_1\parallel E_2$. [/mm]

Schreib' uns doch mal deine Ergebnisse deines Linear-Unabhängigkeitstests (oder weitere Fragen) :-)

Viele Grüße,
Marc



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Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Sa 15.05.2004
Autor: Torsten

Hallo!

Lineare Abhängigkeit sagt mir was, bedeutet ja, dass ein Vektor ein Vielfaches des Anderen ist, oder?

Wie prüfe ich 3 Vektoren auf lineare Abhängigkeit?


Gruss , Torsten


Bezug
                        
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Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Sa 15.05.2004
Autor: Marc

Hallo Torsten!

> Lineare Abhängigkeit sagt mir was, bedeutet ja, dass ein
> Vektor ein Vielfaches des Anderen ist, oder?

Ja, für zwei Vektoren ist die lineare Abhängigkeit gleichbedeutend damit.

> Wie prüfe ich 3 Vektoren auf lineare Abhängigkeit?

Allgemein heißen n Vektoren [mm] $\vec u_1,\vec u_2,\ldots,\vec u_n$ [/mm] linear abhängig, wenn du einen dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen kannst.

Schöner ist aber dieses Kriterium [mm] $\vec u_1,\vec u_2,\ldots,\vec u_n$ [/mm] linear abhängig, wenn es für folgende Vektorgleichung (=Gleichungssystem, wenn du komponentenweise Gleichungen aufstellst) eine weitere Lösung (neben der trivialen [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_n=0$) [/mm] gibt:

[mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec u_2+\ldots+\lambda_n*\vec u_n$ [/mm]

Für drei Vektoren:

[mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec u_2+\lambda_3*\vec u_3$ [/mm]

Kommst du mit diesen Infos weiter? Falls nicht, frag' einfach nach.

Viele Grüße,
Marc

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Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Sa 15.05.2004
Autor: Torsten

Hi!

Also setzte ich meine Bekannten Vektoren in diese Gleichung ein.


[mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec u_2+\lambda_3*\vec u_3$ [/mm]        

Diese Gleichung muss ich dann 2 mal aufstellen oder?




1:         u1  nehme ich aus Ebene 1---> Erster Ortsvektor            
             u2 und u3  aus Ebene  2
  
2:           u1 aus Ebene 1 ----> Zweiter Ortsvektor
              u2 und u3  aus Ebene  2


Und wie löse ich das ganze dann auf?


Gibt es einen Weg die Sache ohne die Linearkombination zu lösen ? Hab bisher noch nicht davon gehört.

Gruss, Torsten

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Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Sa 15.05.2004
Autor: Marc

Hallo Torsten,

> Also setzte ich meine Bekannten Vektoren in diese Gleichung
> ein.
>  
>
> [mm] $\vec{0}=\lambda_1*\vec u_1+\lambda_2*\vec [/mm]  
> [mm] u_2+\lambda_3*\vec u_3$ [/mm]        
>
> Diese Gleichung muss ich dann 2 mal aufstellen oder?

Genau.

> 1:         u1  nehme ich aus Ebene 1---> Erster Ortsvektor  

Du meinst "Richtungsvektor" hier, oder? Ortsvektor ist ein viel allgemeinerer Begriff.
Eine Ebene hat eine Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
            

> u2 und u3  aus Ebene  2

Ja, gut, wenn du hier die beiden Richtungsvektoren der Ebene 2 meinst. Ich würde sie lieber [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] nennen.
    

> 2:           u1 aus Ebene 1 ----> Zweiter Ortsvektor

dito.

>                u2 und u3  aus Ebene  2

dito.

> Und wie löse ich das ganze dann auf?

Das ergibt ein lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Das habt Ihr hundertprozentzig schon durchgenommen.

> Gibt es einen Weg die Sache ohne die Linearkombination zu
> lösen ? Hab bisher noch nicht davon gehört.

Du könntest das Gleichungssystem oben mit einer Determinante (wenn Ihr die schon hattet) lösen, es gilt nämlich:

[mm] $\det (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0\ \gdw\ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] linear abhängig.

Mit [mm] $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ [/mm] meine ich diese Determinante: [mm] \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix} [/mm] also die Komponenten der drei Vektoren in die Spalten der Matrix geschrieben.

Hattet Ihr Determinanten denn schon?

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                
Bezug
Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 So 16.05.2004
Autor: Torsten

Hallo!
Ja , ich meinte Richtungsvektor hab mich vertüdelt :-)
Mit Determinaten sind wir am Dienstag angefangen. Denke mal das mein Pauker das mit der Methode haben will.

Den Schnittpunkt einer Graden mit einer Ebene haben wir damit Berechnet. Habs auch schon vor meiner Internetsuche damit probiert, kriege aber nix raus.

Wie wende ich die Determinante bei 2 Ebenen an? Dein Ansatz war ja nicht alles oder?

Gruss Torsten

Bezug
                                                        
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Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 So 16.05.2004
Autor: Marc

Hallo Torsten!

>  Mit Determinaten sind wir am Dienstag angefangen. Denke
> mal das mein Pauker das mit der Methode haben will.

Das liegt dann nahe, obwohl dies

>  
> Den Schnittpunkt einer Graden mit einer Ebene haben wir
> damit Berechnet. Habs auch schon vor meiner Internetsuche
> damit probiert, kriege aber nix raus.
>  
> Wie wende ich die Determinante bei 2 Ebenen an? Dein Ansatz
> war ja nicht alles oder?

Nein, du müßtest dann dann folgendes untersuchen:

[mm] $E_1 \parallel E_2\ \gdw [/mm] $ [mm]\begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{vmatrix}=0[/mm] und [mm]\begin{vmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & 4\end{vmatrix}=0[/mm]

Wie du die Determinaten ausrechnest weißt du?

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                                
Bezug
Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:47 So 16.05.2004
Autor: Torsten


> Hallo Torsten!
>  
> >  Mit Determinaten sind wir am Dienstag angefangen. Denke

>
> > mal das mein Pauker das mit der Methode haben will.
>  
> Das liegt dann nahe, obwohl dies
> >  

> > Den Schnittpunkt einer Graden mit einer Ebene haben wir
>
> > damit Berechnet. Habs auch schon vor meiner Internetsuche
>
> > damit probiert, kriege aber nix raus.
>  >  
> > Wie wende ich die Determinante bei 2 Ebenen an? Dein
> Ansatz
> > war ja nicht alles oder?
>  
> Nein, du müßtest dann dann folgendes untersuchen:
>  
> [mm] $E_1 \parallel E_2\ \gdw [/mm] $ [mm]\begin{vmatrix} > 2 & 0 & 2 \\ > 4 & 1 & 5 \\ > -1 & 3 & 2\end{vmatrix}=0[/mm]
> und [mm]\begin{vmatrix} > 2 & 0 & -2 \\ > 4 & 1 & -3 \\ > -1 & 3 & 4\end{vmatrix}=0[/mm]
>  
>
> Wie du die Determinaten ausrechnest weißt du?
>  

Ja, habe ich ausgerechnet und für beide Determinaten erhalte ich 0.--> Die Ebenen sind also parallel

> Viele Grüße,
>  Marc
>  

Danke für deine schnelle und professionelle Hilfe! Werde das Forum  an Freunde weiterempfehlen und bestimmt wieder zu Gast sein.

     Gruss, Torsten


Bezug
                                                                        
Bezug
Wie prüfe ich, ob zwei Ebenen parallel sind?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:50 So 16.05.2004
Autor: Marc

Hallo Torsten!

> > Wie du die Determinaten ausrechnest weißt du?
>  >  
> Ja, habe ich ausgerechnet und für beide Determinaten
> erhalte ich 0.--> Die Ebenen sind also parallel

Ja, stimmt, habe ich auch herausbekommen.
Beachte noch, dass die Ebenen auch noch in diesem Fall identisch sein können, denn parallel ist "identisch" oder "echt parallel".

> Danke für deine schnelle und professionelle Hilfe! Werde

Gern geschehen.

> das Forum  an Freunde weiterempfehlen und bestimmt wieder
> zu Gast sein.

Du bist ja kein Gast hier, sondern gehörst wie wir alle zum MatheRaum dazu :-)

Viele Grüße,
Marc



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