Wie vereinfacht man das? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Vereinfache:
[mm] $\frac{2^n}{3^n} [/mm] - [mm] \frac{3^n}{2^n}$ [/mm] |
Laut Lösung kommt da [mm] $(-1)^n$ [/mm] raus. Wie aber kommt man da drauf?
Ich hab mal versucht das auf einen Nenner zu bringen, hilft mir aber auch nicht weiter:
[mm] $\frac{2^n}{3^n} [/mm] - [mm] \frac{3^n}{2^n} [/mm] = ... = [mm] \frac{2^n-3^n}{3^n \cdot 2^n}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Wie kommst du darauf ? Wenn ich den gemeinsamen Nenner bilde komme ich auf :
[mm] \bruch{2^n}{3^n}-\bruch{3^n}{2^n}=\bruch{2^n*2^n}{3^n*2^n}-\bruch{3^n*3^n}{2^n*3^n}=\bruch{2^n*2^n-3^n*3^n}{2^n*3^n}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry Leute!
Ich hab mich in etwas existentiellem Verschaut. Es ist kein Minus sondern ein Mal zwischen den Brüchen, außerdem hab ich die Summe vergessen:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \frac{3^n}{2^n} [/mm] = -1$
Das hab ich jetzt so augerechnet.
Aber: In der Lösung steht, dass die geometrische Reihe rauskommen soll: [mm] $(-1)^n$
[/mm]
Erste Frage: Wenn man die Brüche kürzt, warum bleibt dann doch noch ein ^n über?
Zweite Frage: Ist das wirklich eine geometrische Reihe? Im Bronstein ist die geometrische Reihe als solches hier definiert: [mm] $\frac{1}{n^{\alpha}}
[/mm]
mit [mm] $\alpha [/mm] > 1$ -> Konvergenz
mit [mm] $\alpha \leq [/mm] 1 $ -> Divergenz
Wie ist das hier nun zu verstehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \frac{3^n}{2^n}= $\sum_{n=0}^{\infty}1
[/mm]
Oder habe ich was verpasst ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich entschuldige mich nochmals. Ich muss genauer aufpassen:
$ [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right) [/mm] = -1 $
Warum aber bringt meine Lösung eine geometrische Reihe raus? Das Ergebnis soll angeblich sein: [mm] $(-1)^n$ [/mm] und nicht einfach -1, was aber einleuchtender wäre. Es soll aber eine geometrische Reihe sein.
Das verstehe ich nicht. Im Bronstein ist eine geometrische Reihe mit den Eigenschaften die ich in der vorhergehenden Frage von mir gepostet habe!
Also: geometrische Reihe = [mm] $\frac{1}{n^{\alpha}} [/mm] $
mit den Eigenschaften:
mit $ [mm] \alpha [/mm] > 1 $ -> Konvergenz
mit $ [mm] \alpha \leq [/mm] 1 $ -> Divergenz
Kann mir das jemand erklären, was das hier zu bedeuten hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right)=$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)= [/mm] ?
Die Aussage aus deiner zweiten Frage ist richtig.
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> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right)=[/mm][mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)=[/mm]
> ?
>
> Die Aussage aus deiner zweiten Frage ist richtig. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Welche Frage und welche Aussage meinst du damit ??
LG
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> Ich entschuldige mich nochmals. Ich muss genauer
> aufpassen:
aber definitiv !
eine solche Schludrigkeit (ein erheblicher Fehler nach
dem anderen) darf man sich einfach nicht leisten, und
zwar nicht nur in Mathe, sondern in jedem Feld, wo es
um seriöse Arbeit geht.
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right) = -1[/mm]
>
> Warum aber bringt meine Lösung eine geometrische Reihe
> raus? Das Ergebnis soll angeblich sein: [mm](-1)^n[/mm]
... aber nicht, wenn die Summe wirklich von n=0 bis [mm] \infty
[/mm]
läuft ! Für diesen Fall ist die Summe nicht definiert.
> und nicht
> einfach -1, was aber einleuchtender wäre.
auch dies wäre überhaupt nicht einleuchtend, sondern falsch.
> Es soll aber
> eine geometrische Reihe sein.
>
> Das verstehe ich nicht. Im Bronstein ist eine geometrische
> Reihe mit den Eigenschaften die ich in der vorhergehenden
> Frage von mir gepostet habe!
>
>
> Also: geometrische Reihe = [mm]\frac{1}{n^{\alpha}}[/mm]
> mit den Eigenschaften:
> mit [mm]\alpha > 1[/mm] -> Konvergenz
> mit [mm]\alpha \leq 1[/mm] -> Divergenz
>
> Kann mir das jemand erklären, was das hier zu bedeuten
> hat?
Dass du nochmals einen schlimmen Fehler gemacht hast:
[mm] \alpha [/mm] und n vertauscht !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Auf Grund deiner Frage habe ich mir nun die Frage gestellt, was bei den folgenden Summen passiert ? Gehört an sich zum Gleichem Thema.
[mm] \sum_{k=1}^{n}n
[/mm]
Das sollte doch eigt. [mm]n+1[/mm] sein oder ?
MfG
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> Auf Grund deiner Frage habe ich mir nun die Frage gestellt,
> was bei den folgenden Summen passiert ? Gehört an sich zum
> Gleichem Thema.
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}n[/mm]
>
> Das sollte doch eigt. [mm]n+1[/mm] sein oder ?
Nein. Die Summe hat n Summanden, von denen jeder
einzelne den Wert n hat.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm]\sum_{k=1}^{n}n[/mm] = $n*...*n$ und das ganze [mm]n[/mm]-mal ?
MfG
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> [mm]\sum_{k=1}^{n}n[/mm] = [mm]n*...*n[/mm] und das ganze [mm]n[/mm]-mal ?
>
???
[mm]\sum_{k=1}^{n}n=n+n+n+\ldots+n[/mm] (n-mal)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Was für ein dämlicher Fehler. Danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Also, ich probiers nochmal:
$ [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] $
Ist soweit richtig.
[mm] $\frac{1}{n^{\alpha}}$ [/mm] ist die verallgemeinerte harmonische Reihe. Hat also hiermit wirklich nix zu tun...
Könnt ihr mir nun meine Frage beantworten, warum [mm] $(-1)^n$ [/mm] die geometrische Reihe sein soll, obwohl im Bronstein für die geometrische Reihe [mm] $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} [/mm] + ... [mm] +\frac{1}{2^n} [/mm] + ...$ angegeben ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 So 17.07.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Also, ich probiers nochmal:
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> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right) =\blue{\lim_{n\to\infty}} (-1)^n[/mm]
>
> Ist soweit richtig.
Ist es nicht. Wo ist da der Limes hin?
>
> [mm]\frac{1}{n^{\alpha}}[/mm] ist die verallgemeinerte harmonische
> Reihe. Hat also hiermit wirklich nix zu tun...
>
> Könnt ihr mir nun meine Frage beantworten, warum [mm](-1)^n[/mm]
> die geometrische Reihe sein soll, obwohl im Bronstein für
> die geometrische Reihe
> [mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} + ... +\frac{1}{2^n} + ...[/mm]
> angegeben ist?
Wieso die geometrische Reihe. Da gibt es doch mehrere davon.
Eine geometrische Reihe ist die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge.
Es gibt mehrere geometrische Folgen.
[mm] $a_i [/mm] = [mm] a_0 \cdot \,q^{i}$ [/mm] (explizite Formel) für [mm] $\mathbb{N}_0 [/mm] $
Bei dir ist jetzt [mm] $a_0=1$ [/mm] und [mm] $q=-1\;$ [/mm] für [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} \cdot \left( -\frac{3^n}{2^n} \right)$
[/mm]
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