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Hallo Leute,
ich habe folgendes elementares Problem:
Es sei $T>0$ und es sei [mm] $(W_t)_{t\in[0,T]}$ [/mm] ein Wiener-Prozess, der an die Filtrierung [mm] $(\mathcal{F}_t)_{t\in[0,T]}$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{F}_t=\sigma\big(\{W_s\colon s\le t\}\big)$ [/mm] und mit [mm] $\mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] adaptiert ist und es sei dabei [mm] $(\Omega,\mathcal{F},P)$ [/mm] der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum.
Es müsste doch für [mm] $t\in[0,T]$ [/mm] gelten:
[mm] $\mathbb{E}\big[W_{T-t}|\mathcal{F}_t\big]=W_t$ [/mm] (Martingaleigenschaft für [mm] $\var{T-t>t}$, [/mm] ansonsten weil [mm] $W_{T-t}$ $\mathcal{F}_t$-messbar [/mm] ist)
und
[mm] $\mathbb{E}\big[W_{T-t}|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t\big]=0$
[/mm]
(Wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse, also weil [mm] $W_T-W_t$ [/mm] unabhängig von [mm] $\mathcal{F}_t$ [/mm] ist und wegen [mm] $W_{T-t}\stackrel{d}{=}W_T-W_t\sim\mathcal{N}(0,T-t)$.)
[/mm]
Mit der Linearität der bedingten Erwartung gilt dann noch:
[mm] $\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T|\mathcal{F}_t\big]-\mathbb{E}\big[W_t|\mathcal{F}_t\big]=W_t-W_t=0$.
[/mm]
Wo ist mein Denkfehler, es kann ja schlecht [mm] $W_t\equiv [/mm] 0$ gelten...? Ich euch für jede Hilfe dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mi 17.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\mathbb{E}\big[W_{T-t}|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t\big]=0[/mm]
Hier bezweifle ich das erste Gleichheitszeichen:
> [...] und wegen
> [mm]W_{T-t}\stackrel{d}{=}W_T-W_t\sim\mathcal{N}(0,T-t)[/mm].)
Nur weil zwei Zufallsvariablen von der Verteilung her gleich sind, ist ihre bedinge Erwartung noch lange nicht gleich!
Sind etwa $X$ und $Y$ zwei identisch verteilte, jedoch unabhaengige Zufallsvariablen (die nicht fast-sicher konstant sind), so gilt $E(X | Y) = E(X)$ (also fast sicher konstant!) und $E(Y | Y) = Y$.
Nach deinem Argument muesste jedoch $E(X | Y) = E(Y | Y)$ sein.
> Mit der Linearität der bedingten Erwartung gilt dann
> noch:
>
> [mm]\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T|\mathcal{F}_t\big]-\mathbb{E}\big[W_t|\mathcal{F}_t\big]=W_t-W_t=0[/mm].
Das stimmt schon.
Nur die Gleichheit [mm] $E(W_{T - t} [/mm] | [mm] \mathcal{F}) [/mm] = [mm] E(W_T [/mm] - [mm] W_t [/mm] | [mm] \mathcal{F})$ [/mm] stimmt nicht.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Mr.Teutone |
Hallo,
ich danke dir, das Beispiel ist sehr einleuchtend. Mit bedingten Erwartungen werde ich wohl noch viel Freude haben. 
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