Winkel-cosinus und sinus < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,ich hab hier ne Aufgabe,bei der ich nicht weiß,wie ich an sie ran gehen soll.
Also wir haben [mm] x=\bruch{3}{4}\pi \hat=135 [/mm] Grad
Intervall: [mm] [-2\pi,\pi]
[/mm]
Berechne alle Winkel,die den gleichen sinus und cosinus haben!
Hat jemand nen kleinen Tipp für mich,wie man sowas berechnet,ich hab nämlich überhaupt keine Ahnung? [verzweifelt]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 30.05.2008 | | Autor: | LazaruZ |
zeichne dir doch mal die funktionen auf und markiere dir die maximalpunkte. duch diese zeichnest du eine senkrechte zur x-achse. dann zeichnetst du deinen winkel ein und dann siehst du, dass du diesen punkt an der maximumlinie "spiegeln" kannst.
z.b. der sinus von 180° ist -1 = neg. maximum
-->180°-135°=45°
180°+45°=205° damit hättest du einen weiteren winkel.
ein kompletter umlauf ist genau 360° oder [mm] 2*\pi [/mm] lang, also wiederholt sich das ganze genau um vielfache von 360° in positiver wie negativer x-richtung.
für den cosinus machst du das ganze einfach analog.
ich hoffe, dass ich es anschaulich formuliert habe.
mfg, laza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,danke,
ich habs mir mal aufgezeichnet,so wie du es gesagt hast,aber ich versteh noch nicht,woher man weiß,dass man jetzt 180-135 rechnen muss???
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Hallo Mandy_90,
> okay,danke,
> ich habs mir mal aufgezeichnet,so wie du es gesagt
> hast,aber ich versteh noch nicht,woher man weiß,dass man
> jetzt 180-135 rechnen muss???
Wenn Du Dir die Sinusfunktion mal aufzeichnest, dann stellst Du fest, daß diese im Intervall [mm]\left[0,\pi\right][/mm] achsensymmetrisch zu [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ist. Das heisst in diesem Intervall gibt es zwei Winkelwerte deren Sinuswert der gleiche ist.
Lautet der eine [mm]x_{1}=\bruch{\pi}{2}+\varphi[/mm], dann lautet der andere [mm]x_{2}=\bruch{\pi}{2}-\varphi[/mm].
Addition beider liefert: [mm]x_{1}+x_{2}=\pi[/mm]
Daraus ergibt sich die Beziehung [mm]x_{2}=\pi-x_{1}[/mm].
Deshalb mußt Du die [mm]135^{\circ}[/mm] von den [mm]180^{\circ}[/mm] abziehen.
Gruß
MathePower
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> zeichne dir doch mal die funktionen auf und markiere dir
> die maximalpunkte. duch diese zeichnest du eine senkrechte
> zur x-achse. dann zeichnetst du deinen winkel ein und dann
> siehst du, dass du diesen punkt an der maximumlinie
> "spiegeln" kannst.
> z.b. der sinus von 180° ist -1 = neg. maximum ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] sin(180°)=sin(\pi)=0 [/mm] !
> -->180°-135°=45°
> 180°+45°=205° damit hättest du einen weiteren winkel.
> ein kompletter umlauf ist genau 360° oder [mm]2*\pi[/mm] lang, also
> wiederholt sich das ganze genau um vielfache von 360° in
> positiver wie negativer x-richtung.
> für den cosinus machst du das ganze einfach analog.
> ich hoffe, dass ich es anschaulich formuliert habe.
> mfg, laza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Sa 31.05.2008 | | Autor: | LazaruZ |
also ich hatte dir ja geraten, die sinus- bzw. cosinusfunktion aufzuzeichnen. das hätte ich wohl besser mal selbst getan.... 
richtig ist natürlich das sin(180°)=0 ist und damit "verschiebt", das was ich meinte vom 3. in den 2. quadranten, aber das prinzip bleibt das gleiche.
das von mir beschriebene maximum ist in dem fall nicht bei -1 sondern bei +1 (90°).
wichtig für das verständnis der sinus- und cosinusfunktion ist, dass sie immer um 2 extrema schwanken (plus und minus 1) und periodisch (wiederkehrend) sind. d.h. das es immer 2 winkel innerhalb einer periode gibt (außnahme: bei 90° und vielfachen davon), die den gleichen wert auf der y-achse haben. diese winkel sind immer um den gleichen jeweiligen betrag vom jeweiligen maximum entfernt.
vorgehen kannst du für den sinus wie folgt:
1. sinus bestimmen --> [mm] sin(135°)\approx0,707
[/mm]
2. den winkel mit dem maximum bestimmen --> sin(90°)=1
3. die winkeldifferenz bilden --> 90°-135°=-45°
4. gegenwinkel bestimmen --> 90°+(-45°)=45°
5. sinus zur kontrolle [mm] -->sin(45°)\approx0,707
[/mm]
damit du es verstehst, solltest du dir noch ein paar beispiele durchrechnen:
z.b. sin(20°)=sin(160°), sin(80°)=sin(110°), sin(210°)=sin(330°) und sin(250°)=sin(290°). die letzten beiden paare sind beispiele für negative y-werte, da ist dann der bezugspunkt 270° da dessen sinus gleich -1 ist.
ach ja 180+45 ist natürlich 225 und nicht 205....die grundrechnenarten sollte man in meinem alter eigentlich beherschen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> vorgehen kannst du für den sinus wie folgt:
> 1. sinus bestimmen --> [mm]sin(135°)\approx0,707[/mm]
> 2. den winkel mit dem maximum bestimmen --> sin(90°)=1
> 3. die winkeldifferenz bilden --> 90°-135°=-45°
Bildet man die Winkeldifferenz immer,indem man den vorigen Winkel immer von 90° abzieht?
> 4. gegenwinkel bestimmen --> 90°+(-45°)=45°
> 5. sinus zur kontrolle [mm]-->sin(45°)\approx0,707[/mm]
Sind das dann die beiden einzigen Winkel die den gleichen sinus haben?
Heißt das,es gibt immer nur 2 Winkel die den gleichen sinus habe?
>
> damit du es verstehst, solltest du dir noch ein paar
> beispiele durchrechnen:
>sin(80°)=sin(110°),bei diesem Beispiel krieg ich aber sin(80°)=sin(100°) raus,ich glaub du hast dich nur vertippt.
> sin(210°)=sin(330°) und sin(250°)=sin(290°). die letzten
> beiden paare sind beispiele für negative y-werte, da ist
> dann der bezugspunkt 270° da dessen sinus gleich -1 ist.
--> Für den sinus von 210 hab ich aber -0.5 und nicht -1 raus ???
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Die Mitteilung sollte ne Frage sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 02.06.2008 | | Autor: | LazaruZ |
deine fragen scheinen ja beantwortet zu sein, aber falls du es noch brauchen solltest
> > vorgehen kannst du für den sinus wie folgt:
> > 1. sinus bestimmen --> [mm]sin(135°)\approx0,707[/mm]
> > 2. den winkel mit dem maximum bestimmen --> sin(90°)=1
> > 3. die winkeldifferenz bilden --> 90°-135°=-45°
> Bildet man die Winkeldifferenz immer,indem man den vorigen
> Winkel immer von 90° abzieht?
nein! du musst schauen wo das maximum und minimum sowie der nulldurchgang ist. dann brauchst du noch deine aktuelle position (winkel oder koordinaten). für den sinus gilt: maximum bei 90°, minimum bei 270° und nulldurchgänge bei 180° und 360° (=0°). für den cosinus ist das ganze um -90° verschoben.
> > 4. gegenwinkel bestimmen --> 90°+(-45°)=45°
> > 5. sinus zur kontrolle [mm]-->sin(45°)\approx0,707[/mm]
> Sind das dann die beiden einzigen Winkel die den gleichen
> sinus haben?
> Heißt das,es gibt immer nur 2 Winkel die den gleichen
> sinus habe?
exakt! innerhalb eines intervalles (360°) hat jeder wert auf der y-achse, (außer den maxima und den nulldurchgängen natürlich) immer 2 lösungen (winkel), mit dem gleichen y-wert.
> >
> > damit du es verstehst, solltest du dir noch ein paar
> > beispiele durchrechnen:
> >sin(80°)=sin(110°),bei diesem Beispiel krieg ich aber
> sin(80°)=sin(100°) raus,ich glaub du hast dich nur
> vertippt.
prima! du hast es doch verstanden und sogar einen tippfehler rausgefunden :)
> > sin(210°)=sin(330°) und sin(250°)=sin(290°). die letzten
> > beiden paare sind beispiele für negative y-werte, da ist
> > dann der bezugspunkt 270° da dessen sinus gleich -1 ist.
>
> --> Für den sinus von 210 hab ich aber -0.5 und nicht -1
> raus ???
> >
aufpassen! ich schrieb doch das für diesen winkel der bezugspunkt 270° ist! dort das negative maximum von -1 ist:
sprich bei 210° bist du über 180° und "quasi auf dem weg" zu 270°, also nicht durcheinander bringen. :)
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> Hallo,ich hab hier ne Aufgabe,bei der ich nicht weiß,wie
> ich an sie ran gehen soll.
>
> Also wir haben [mm]x=\bruch{3}{4}\pi \hat=135[/mm] Grad
>
> Intervall: [mm][-2\pi,\pi][/mm]
>
> Berechne alle Winkel,die den gleichen sinus und cosinus
> haben!
>
> Hat jemand nen kleinen Tipp für mich,wie man sowas
> berechnet,ich hab nämlich überhaupt keine Ahnung?
> [verzweifelt]
Welche Winkel sind gesucht:
a) die Winkel, die den gleichen Sinus haben und jene, die den
gleichen Cosinus haben
oder
b) die Winkel, die den gleichen Sinus und den gleichen
Cosinus haben ?
(und ich nehme einmal an, dass nur Winkel im angegebenen
Intervall gesucht sind)
LG al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Die Winkel, die den gleichen Sinus haben und jene, die den gleichen Cosinus haben sind gesucht unzwar im Intervall von [mm] [-2\pi;\pi].
[/mm]
Aber wie geht sowas?
lg
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> Die Winkel, die den gleichen Sinus haben und jene, die den
> gleichen Cosinus haben sind gesucht und zwar im Intervall von
> [mm][-2\pi;\pi].[/mm]
> Aber wie geht sowas?
>
> lg
Hallo Mandy,
ich möchte dir das so erklären, dass du es nie mehr
vergessen kannst. Zu jedem Winkel [mm] \alpha [/mm] gehört ein
bestimmter Punkt auf dem Einheitskreis (Kreis in der
x-y-Ebene um den Mittelpunkt O(0/0) mit Radius r=1),
nämlich der Punkt [mm] P_{\alpha}= (cos(\alpha)/sin(\alpha)).
[/mm]
Zum Winkel 135° = [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] gehört der
Punkt [mm] P_{135°} [/mm] = (cos(135°)/sin(135°) = (-0.7071.../0.7071...).
Die Winkel mit dem gleichen Sinus gehören zu Punkten
auf dem Einheitskreis mit der gleichen y-Koordinate.
Nebst 135° kommt da der Winkel 45° in Frage. Da aber
auch gewisse negative Winkel erlaubt sind, kann man
auch 135°-360° = -225° nehmen oder 45°-360° = -315°.
(360° subtrahieren bedeutet eine volle Umdrehung im Uhr-
zeigersinn).
Die Winkel kannst du statt in Grad natürlich auch im
Bogenmass ausdrücken, dann ist z.B. -315° = [mm] -\bruch{7}{4} \pi
[/mm]
Die Winkel mit dem gleichen Cosinus gehören zu Punkten
des Einheitskreises mit der gleichen x-Koordinate.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Danke^^
Also ich kanns mir jetzt gut bildlich vorstellen,nur rein rechnerisch versteh ich das noch nicht,woher weißt du denn dass noch der Winkel 45° in Frage kommt?
> Nebst 135° kommt da der Winkel 45° in Frage. Da aber
> auch gewisse negative Winkel erlaubt sind, kann man
> auch 135°-360° = -225° nehmen oder 45°-360° = -315°.
Wie kommt man drauf?
Ich weiß es ist grad schwer mir das zu erklären,aber irgendwie versteh ichs noch nicht ^^:
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Sieh es dir doch mal genau am Einheitskreis an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Cosinus ist immer die "Breite", der Sinus die "Höhe", wie eingezeichnet. Stelle dir den Punkt P beweglich vor. Für welche Winkel a können denn dann Höhe und Breite, d.h. Sinus und Cosinus, überhaupt gleich sein?
Da kommen deine Lösungen raus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Danke^^
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> Also ich kanns mir jetzt gut bildlich vorstellen,nur rein
> rechnerisch versteh ich das noch nicht,woher weißt du denn
> dass noch der Winkel 45° in Frage kommt?
> > Nebst 135° kommt da der Winkel 45° in Frage. Da aber
> > auch gewisse negative Winkel erlaubt sind, kann man
> > auch 135°-360° = -225° nehmen oder 45°-360° = -315°.
>
> Wie kommt man drauf?
> Ich weiß es ist grad schwer mir das zu erklären,aber
> irgendwie versteh ichs noch nicht ^^:
Hallo Mandy,
ich nehme für die Erklärung lieber ein anderes Beispiel als
den 135°-Winkel, da es für deine Aufgabe eher verwirrend
ist, dass sin(135°) und cos(135°) den gleichen Betrag haben.
Nehmen wir also etwa [mm] \alpha [/mm] = 160°.
Es gilt sin(160°)=0.3420... und cos(160°)=-0.9397
Winkel mit dem gleichen Sinuswert gehören zu Punkten
auf dem Einheitskreis mit der gleichen y-Koordinate
0.3420... . Lege also durch den Punkt (-0.9397/0.3420)
eine Parallele zur x-Achse. Sie schneidet den Einheitskreis
ein zweites Mal im Punkt (+0.9397/+0.3420).
Zu diesem Punkt gehört natürlich der Winkel 20°.
(20° = 180° -160°).
Winkel mit gleichem Cosinuswert gehören zu Punkten
auf dem Einheitskreis mit der gleichen x-Koordinate.
Vom 160°-Winkel aus kommst du so zum Winkel 200°.
Beachte dabei: 180°-20° = 160° , 180°+20° = 200°
Wichtig: mach' dir dazu Skizzen und betrachte die Winkel !
LG al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
danke für deine Erklärung ^^,ich habs jetzt schon fast verstanden.Eine Frage hab ich aber noch.
Warum hatte LazaruZ 90-135 gerechnet und du 180 -160 ???
Wann muss man denn jetzt von 90 abziehen und wann von 180 ???
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Sa 31.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Mandy
1.Lazarus hat , wenn du mal nachsiehst, die Rechnung in 2 Schritten gemacht. wenn du die zusammenfasst kommt auch 180-135 raus!
Wenn du dir das wirklich immer am Kreis klarmachst ist das der sichere Weg. Lazarus hat das an der Zeichnung für die sinfkt. abgelesen. Kreis ist immer besser, weil man cos und sin in derselben Zeichnung ablesen kann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 01.06.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay^^
Habt ihr vielleicht noch ein paar Beispielaufgaben für mich,an denen ich das üben kann?
danke
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> okay
> Habt ihr vielleicht noch ein paar Beispielaufgaben für
> mich,an denen ich das üben kann?
>
> danke
hi Mandy,
unter der Adresse:
http://www.mathe-bf.ch/g/g4/g44/aufg_g44.html
findest du Übungsmaterial inkl. Lösungen (speziell die Aufgaben 1 bis 3)
lieben Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 01.06.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Danke,die Seite ist super,hab da auch mal Aufgaben durchgerechnet.Aber ![[]](/images/popup.gif) hier steht noch etwas von k*360°.Was ist denn das k ?^^
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> Danke,die Seite ist super,hab da auch mal Aufgaben
> durchgerechnet.Aber hier
> steht noch etwas von k*360°.Was ist denn das k ?^^
Zu einem Punkt auf dem Einheitskreis gehört nicht nur
ein Winkel, sondern unendlich viele.
Die Winkelzählung beginnt beim Punkt (1/0), dort ist [mm] \alpha [/mm] = 0.
Die Winkel 360°, 720°, 1080° (Vielfache von 360°)
führen aber alle auch zum selben Punkt: Man dreht einfach
noch ein paar "Extrarunden" !
Statt 160° kann man auch 160°+360° nehmen oder
allgemein: 160° + k * 360° (dabei darf k irgendeine
positive oder negative ganze Zahl sein).
Schönen Abend noch !
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