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| Aufgabe | a) Gegeben sind die Punkte A = (0, -1, 3); B = (6, 5, -2); C = (1, -2, 3).
Zeigen Sie, dass [mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}
[/mm]
b)Berechnen Sie den Mittelpunkt des Vektors [mm] \overrightarrow{P1P2} [/mm] und ermitteln Sie den Betrag des Vektors [mm] \vec{s}, [/mm] der vom Koordinatenursprung zu diesem Mittelpunkt führt. P1 = (1, 1, 4); P2 = (5, 3, 2) |
zu a) Muss man zuerst die Vektoren per Addition zusammenrechnen, also [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = (6,4,1) und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = (1,-3,6)
und dann mit Hilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen den Vektoren berechnen.
ab1*ac1+ab2*ac2+ab3*ac3 = 6 - 12 + 6 = 0 Bedingung [mm] \vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 0 Erfüllt
Nur wie geht es dann hier weiter, muss doch 90 rauskommen?
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a} * \vec{b}}{|\vec{a}| * |\vec{b}|} [/mm]
zu b) Muss man hier per Addition zuerst die Strecke [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] ausrechnen, also [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = (6,4,6) und dann mal 0,5 rechnen? Also [mm] \overrightarrow{AB[M]} [/mm] = (3,2,3) ?
Betrag
P1 = [mm] \wurzel{(1²,1²,4²)} [/mm] = 3 [mm] \wurzel{2}
[/mm]
P1 = [mm] \wurzel{(5², 3², 2²)} [/mm] = [mm] \wurzel{38}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maraike!
Du berechnest die beiden Vektoren [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] bzw. [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] falsch. Du musst die beiden Ortsvektoren subtrahieren:
[mm] $\overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vec{b} [/mm] \ [mm] \re{-} [/mm] \ [mm] \vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{6\\5\\-2}-\vektor{0\\-1\\3} [/mm] \ = \ ...$
Und wenn Du das  Skalarprodukt mit dem Ergebnis = 0 ausgerechnet hast, beträgt der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren auch wirklich $90°_$ . Schließlich gilt ja: [mm] $\cos(90°) [/mm] \ = \ 0$.
[mm] $\cos [/mm] 90° \ = \ 0 \ = \ [mm] \bruch{\vec{a} * \vec{b}}{|\vec{a}| * |\vec{b}|}$ $\gdw$ $\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $\vec{a} [/mm] \ [mm] \perp [/mm] \ [mm] \vec{b}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke!
$ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vec{b} [/mm] \ [mm] \re{-} [/mm] \ [mm] \vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{6\\5\\-2}-\vektor{0\\-1\\3} [/mm] \ = [mm] \vektor{6\\6\\-5}$
[/mm]
$ [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] \ = \ [mm] \vec{c} [/mm] \ [mm] \re{-} [/mm] \ [mm] \vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\3}-\vektor{0\\-1\\3} [/mm] \ = [mm] \vektor{1\\-1\\0}$
[/mm]
Skalarprodukt = 6 - 6 +0 = 0
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maraike!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So ist es richtig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 So 12.08.2007 | | Autor: | Maraike89 |
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maraike!
> zu b) Muss man hier per Addition zuerst die Strecke [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm]
> ausrechnen, also [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = (6,4,6)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist aber nicht der Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] (siehe oben).
> und dann mal 0,5 rechnen? Also [mm]\overrightarrow{AB[M]}[/mm] = (3,2,3) ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig! Das Ergebnis stimmt.
> Betrag
>
> P1 = [mm]\wurzel{(1²,1²,4²)}[/mm] = 3 [mm]\wurzel{2}[/mm]
> P1 = [mm]\wurzel{(5², 3², 2²)}[/mm] = [mm]\wurzel{38}[/mm]
Hier nach dem Betrag des Vektors [mm] $\vec{s} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3\\2\\3}$ [/mm] gefragt.
Gruß
Loddar
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Hi,
also subrahieren? P2-P1= (4,2,-2)
Mal 0,5 = (2,1,-1) ODER (3,2,3)=???
$ [mm] \vec{s} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3\\2\\3} [/mm] $ = [mm] \wurzel{22}
[/mm]
oder
$ [mm] \vec{s} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\1\\-1} [/mm] $ = [mm] \wurzel{6} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maraike!
Den Mittelpunkt $M_$ der Strecke [mm] $\overline{P_1P_2}$ [/mm] hattest Du oben schon richtig berechnet mit:
[mm] $\overrightarrow{OM} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}}{2} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \vektor{3\\2\\3}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Und der Betrag des Vektors $ [mm] \vec{s}, [/mm] $ der vom Koordinatenursprung zu diesem Mittelpunkt führt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maraike!
Der ist auch richtig ermittelt, wenn Du den richtigen der beiden Vektoren wählst.
Gruß
Loddar
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