Winkel im Tetraeder < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Di 27.01.2009 | | Autor: | Okus |
| Aufgabe | | In einem Tetraeder sind alle Kanten gleich lang und alle von den Kanten eingeschlossenen Winkel gleich groß. Beweisen sie, dass je zwei gegenüberliegende Kanten zueinander orthogonal sind. |
Ich schlage mich schon lange mit der Aufgabe herum; keine Kanten liegen im Tetraeder zueinander orthogonal!
Danke!
lg Okus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 27.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Doch, jeweils die Kanten, die sich nicht berühren. Kannst dir das so vorstellen: Wenn man die Kanten verschieben würde, sodass sie sich schneiden würden, dann würden sie einen Winkel von 90° einschließen.
Um die Aufgabe zu lösen würde ich mir spontan einfach 4 Punkte in das Koordinatensystem legen und das damit zeigen. Mag auch sicher irgendwie besser gehen, aber na ja.
Ein Punkt könnte O(0|0|0) sein und ein anderer A(a|0|0). Jetzt müsstest du noch 2 weitere finden, damit auch wirklich ein regelmäßiges Tetraeder entsteht.
Oder du hast selbst eine andere Lösung. :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 27.01.2009 | | Autor: | Okus |
ich habe die Antwort bereits gefunden (auch im Matheraum):
________________________________________________
Lege dein Tetraeder doch so, dass die 3 Ecken A,B und C in der x-y-Ebene liegen, so dass sie um den Nullpunkt ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die Ecke D liegt dann auf der z-Achse, auf einer gewissen Höhe.
Der Ortsvektor von A sei $ [mm] \vec{a} [/mm] $, für die übrigen Ecken entsprechend.
Dann ist die Richtung der Kante AB gegeben durch $ [mm] \vec{b}-\vec{a} [/mm] $, die der gegenüberliegende Kante ist dann $ [mm] \vec{d}-\vec{c} [/mm] $.
Das Skalarprodukt somit:
$ [mm] (\vec{b}-\vec{a})\cdot{}(\vec{d}-\vec{c}) [/mm] $
Weil das Skalarprodukt dem Distributivgesetz gehorcht, kannst du das ausmultiplizieren und erhältst:
$ [mm] \vec{b}\cdot{}\vec{d}-\vec{b}\cdot{}\vec{c}-\vec{a}\cdot{}\vec{d}+\vec{a}\cdot{}\vec{c} [/mm] $
Hier ist das 1. und 3. Skalarprodukt $ 0_ $, weil $ [mm] \vec{b} [/mm] $ senkrecht auf $ [mm] \vec{d} [/mm] $ und ebenfalls $ [mm] \vec{a} [/mm] $ senkrecht auf $ [mm] \vec{d} [/mm] $ steht.
Du brauchst also nur noch zu zeigen, dass gilt:
$ [mm] \vec{a}\cdot{}\vec{c}-\vec{b}\cdot{}\vec{c}=0 [/mm] $
das sollte aber nicht allzuschwierig sein, weil das ja Vektoren sind, die ein gleichseitiges Dreieck bilden (gleiche Länge, gleicher Zwischenwinkel).
Damit hast du wohl die elegeanteste Lösung in deiner Klasse (etwas ausformulieren musst du es aber schon), weil die meisten anderen die Koordinaten der Ecken berechnen werden und mühsam ausmultiplizieren.
Übrigens: an dieser Lösung siehst du auch sehr schön, dass die Höhe der Ecke D keine Rolle spielt. Solange das Grunddreieck gleichseitig ist, sind die gegenüberliegenden Kanten senkrecht zueinander, unabhängig von der Höhe!
Teilst du mir dann bitte mit, wie diese Lösung bei deinem Lehrer angkommen ist?
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Di 27.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Ok, super! Auch 'ne tolle Lösung.
Teufel
|
|
|
|
