Winkel in Pyramiden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Brindy |
| Aufgabe | | Unter welchem Winkel stoßen benachbarte Seitenflächen einer quadratischen Pyramide zusammen? |
Hallo alle zusammen,
ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich weiß, dass der Winkel an der Grundfläche von zwei benachbarten Seiten 90 Grad ist. Aber wenn die Pyramide oben spitz zu geht, verändert sich der Winkel da? Oder bleibt er 90 Grad? Nur wäre das doch dann viel zu leicht für eine solche Aufgabe, oder?
Vielen Dank für eine Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Unter welchem Winkel stoßen benachbarte Seitenflächen
> einer quadratischen Pyramide zusammen?
> Hallo alle zusammen,
>
> ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich
> weiß, dass der Winkel an der Grundfläche von zwei
> benachbarten Seiten 90 Grad ist. Aber wenn die Pyramide
> oben spitz zu geht, verändert sich der Winkel da? Oder
> bleibt er 90 Grad? Nur wäre das doch dann viel zu leicht
> für eine solche Aufgabe, oder?
Hallo Brindy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast die Aufgabe ja schon richtigerweise ins Vektorrechnungsforum einsortiert.
Es fehlt aber noch eine Angabe über die Höhe der Pyramide. Ich vermute mal, dass alle Seitenlängen gleich lang sind (?) also die vier Seiten des Grundflächenquadrates und die Seiten zur Spitze hoch.
Leg dir zum Rechnen die Pyramide in ein Koordinatensystem. Wenn du einen Eckpunkt in den Ursprung legst, bilden z.B. die Punkte (0|0|0), (a|0|0), (a|a|0) und (0|a|0) die Grundfläche und (a/2|a/2|h) die Spitze (wobei du h hier vermutlich ersetzen kannst - je nach (vollständiger) Aufgabenstellung).
Gesucht ist jetzt der Winkel unter dem sich zwei angrenzende Seitenflächen bzw. -ebenen schneiden. Stelle also zwei Ebenengleichungen auf und berechne den Winkel. (Tipp: Normalenvektor)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Brindy |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe diese Angaben leider gerade vergessen zu erwähnen. Entschuldigung!
Die Höhe der Pyramide ist 7m und die Grundflächen sind 6m lang.
Ich habe die Pyramide bereits in ein Koordinatensystem gelegt und kam auch auf die Idee, es über Normalenvektoren der Ebenen zu versuchen. Dabei kam jedoch ein Winkel (Berechnung über das Skalarprodukt) heraus, der 98,93 Grad beträgt. Und das hat mich gewundert, da dieser über 90 Grad war.
Könnte es aber doch sein, dass dies stimmt und warum? Ich kann mir das nicht bildlich vorstellen.
Liebe Grüße und vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 02.01.2015 | | Autor: | GvC |
Wenn die Pyramide eine endliche Höhe hat, dann muss der Winkel größer als 90° sein. 98,93° sind allerdings falsch. Richtig ist 115°.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Brindy |
Ich habe folgende Punkte gewählt: A(3/-3/0); B(3/3/0); C(-3/3/0); D(-3/-3/0) und S(0/0/7).
Dann habe ich folgende Ebene gebildet:
EABS: [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}
[/mm]
EADS: [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + v * [mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + w * [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}
[/mm]
Davon jeweils die Normalenvektoren aus den Richtungsvektoren über das Kreuzprodukt ergibt einmal [mm] \begin{pmatrix} 42 \\ 0 \\ 18 \end{pmatrix} [/mm] und als zweiten Normalenvektor habe ich [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 42 \\ -18 \end{pmatrix} [/mm] raus.
Wenn ich mit diesen beiden Vektoren nun das Skalarprodukt bilde, erhalte ich 98,93 Grad. Wieso plötzlich doch 115 Grad?
Danke für die Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Fr 02.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich widerspreche GvC.
Wenn die Pyramide unendlich hoch ist beträgt der Winkel 90°.
Wenn die Pyramide platt ist (Höhe Null), dann beträgt der Winkel 0°. Die sind Normalenvektoren der einzelnen Seiten sind dann parallel. 180° erhält man, wenn man die Orientierungen der Normalenvektoren abwechselnd nach innen und nach außen zeigen. So eine Wahl muss aber begründet werden.
Nun schau Dir nal Deine Normalenvektoren an. Wie sind sie gerichtet?
Ansonsten kann ich Deine Rechnung nachvollziehen. Nur stimmt der angegebene Winkel noch nicht, er muss ja kleiner als 90° sein. Wie GvC auf 115° kommt, weiß ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Fulla |
Hallo Chrisno,
und ich widerspreche Euch beiden 
GvC hat mit den Winkeln schon recht...
Bei unendlicher Höhe sind wir uns ja einig: da schneiden sich die Seitenflächen unter 90°. Wenn du jetzt die Spitze runterdrückst, wird der Schnittwinkel der Seitenflächen größer - bis zum Grenzfall 180°. Wir betrachten ja den inneren Winkel.
Egal, wie die Normalenvektoren orientiert sind liefert das Skalarprodukt einen Winkel. Falls dieser kleiner als 90° sein sollte, wurde der Nebenwinkel des Gesuchten berechnet.
Wie GvC auf 115° kommt weiß ich auch nicht, ich komme auch auf Brindys Lösung von 98,93°.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Sa 03.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich möchte noch weiter diskutieren.
Ich habe noch einmal nachgeschaut und finde als Definition des Schnittwinkels zweier Ebenen:
der Winkel zwischen deren Normalenvektoren. Also bleibe ich bei 0° im Fall h = 0.
Brindy hat für [mm] $E_{ABS}$ [/mm] den Normalenvektor nach außen zeigend gewählt, für [mm] $E_{ADS}$ [/mm] nach innen zeigend. Sobald einer der beiden Normalenvektoren umgedreht wird, ergibt ich der Winkel 81,07° (= 180° - 98,93°).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Brindy |
Ich habe nun anstatt der Ebene ADS die Ebene BCS aufgestellt und es mit diesen beiden Normalenvektoren versucht. Dabei komme ich auch auf den Winkel 81,07 Grad.
Heißt das also, dass dieser der richtige Winkel innen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Sa 03.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe nun anstatt der Ebene ADS die Ebene BCS
> aufgestellt und es mit diesen beiden Normalenvektoren
> versucht. Dabei komme ich auch auf den Winkel 81,07 Grad.
> Heißt das also, dass dieser der richtige Winkel innen ist?
Wenn Du den Winkel "innen" meinst, dann nicht.
Also: zuerst musst Du klären, was Du unter dem Winkel zwischen zwei Ebenen verstehst.
Ich habe die übliche Definition hingeschrieben.
Wenn Du in die Pyramide hinein kriechst und dann den Winkel misst, dann wirst Du die 98,93° erhalten.
Nimm mal Deine Ebene ADS und tausche die beiden Spannvektoren aus. Wenn Du dann das Kreuzprodukt ausrechnest, bekommst Du das gleiche Ergebnis wie zuvor, jedoch mit -1 multipliziert. Mit dem Skalarprodukt bekommst Du dann als Winkel zwischen den Ebenen ADS und ABS die 81,07 Grad heraus.
Es liegt also nur an der Art, wie man auf das Problem blickt. Wenn Du nicht die übliche Definition des Winkels zwischen zwei Ebenen nimmst, dann schreib das dazu und gib 98,93° an. Sonst ist es am besten, wenn Du direkt die Ebenengleichungen so hinschreibst, dass alle Normalenvektoren nach außen (oder innen) zeigen. Dann bekommst Du als Ergebnis die 81,07°.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Brindy |
Ich sage vielen, vielen lieben Dank für die Mühe. Habe wieder was Neues gelernt. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Sa 03.01.2015 | | Autor: | GvC |
Ich habe mich tatsächlich verrechnet, sorry! Die 98,93° sind richtig. Als Winkel habe ich den mit einem Winkelmesser zwischen den beiden Seitenflächen messbaren Winkel definiert. Der ist 180° minus dem Winkel zwischen den Normalenvektoren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 02.01.2015 | | Autor: | GvC |
> Unter welchem Winkel stoßen benachbarte Seitenflächen
> einer quadratischen Pyramide zusammen?
> Hallo alle zusammen,
>
> ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich
> weiß, dass der Winkel an der Grundfläche von zwei
> benachbarten Seiten 90 Grad ist. Aber wenn die Pyramide
> oben spitz zu geht, verändert sich der Winkel da? Oder
> bleibt er 90 Grad?
Da hast Du irgendeinen Denk- oder Vorstellungsfehler. Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist bei gegebener Höhe unveränderlich (Winkel zwischen den Normalvektoren). Er liegt zwischen 90° bei unendlich großer Höhe und 180° bei Höhe Null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Brindy |
Ahh! Jetzt habe ich es verstanden. Super. Vielen Dank. :)
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