Winkel zwischen g und n < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Sa 05.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
| Aufgabe | Die Punkte A (5 | 2 | 8) und B (3 | 3 | 5) liegen auf der Schnittgeraden zweier Ebenen, E1 und E2, des IR³.
Ferner ist P (4 | 7 | 5) ein Punkt von E1 und Q (2| 3 | 8) ein Punkt von E2.
a)Weisen Sie nach, dass die beiden Ebenen sich rechtwinklig schneiden!
b)Unter welchen Winkeln schneidet die Gerade PQ die beiden Ebenen? |
Heyho, ich habe diese Frage zwar schon gestellt, aber ich möchte sie noch einmal gesondert stellen, damit ihr den vollen Überblick habt.
Also zu a)
Ebenengleichung aufstellen etc...
n von E1:$ [mm] \vektor{12 \\ -3 \\ -9} [/mm] $
n von E2:$ [mm] \vektor{3 \\ 9 \\ 1} [/mm] $
zu b) Gerade PQ: x= $ [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 5} [/mm] $ +w $ [mm] \vektor{-2 \\ -4 \\ 3} [/mm] $
MontBlanc hat mir zu b) folgenden Tipp gegeben.
"bei aufgabe b) ist ein kleiner trick von nöten. nutze die tatsache, dass der cosinus ein um 90 grad verschobener sinus ist. Es ist also $ [mm] cos(x)=sin\left(\bruch{\pi}{2}-x\right) [/mm] $ . Mit anderen Worten kannst du den cosinus hier einfach durch einen sinus ersetzen um die 90°, die duch den Normalenvektor zusätzlich da sind auszugleichen."
Könnt ihr mir das anschaulich erklären? ich kann mir das nicht vorstellen...
Mit der Sinusformel habe ich [mm] \Alpha= [/mm] 28,26° und [mm] \Beta [/mm] = 49,39°
Welche sind das jetzt genau?
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Hallo,
schau dir mal die Graphen vom sinus (grün) und cosinus (rot) an. Du erkennst, dass der Cosinus ein um [mm] \bruch{\pi}{2}\equiv [/mm] 90° verschobener Sinus ist und umgekehrt.
[Dateianhang nicht öffentlich] .
Habe deine Rechnungen jetzt nicht nachgesehen, aber prinzipiell sollte das so stimmen.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Sa 05.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Das verstehe ich schon =)
Aber wie ich mir das anschaulich gesehen vorzustellen habe, weiss ich nicht.
Ich habe 2 Ebenen, deren Normalenvektoren bilden mit der Gerade PQ ein Dreieck..
Jetzt soll ich die Schnittwinkel berechnen.
Wenn ich den cos verwende, bekomme ich dann den stumpfen Winkel heraus? Und wenn ich sin nehme, dann den spitzen, also den Schnittwinkel? Und ich nehme Sinus, weil ich nicht den Stumpfen, sondern den spitzen bekommen möchte?
Auf dieses Beispiel bezogen kann ich mir das leider nicht vorstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 05.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Aus der Aufgabe erhalte ich folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit der Formel [mm] \cos(\gamma)=\bruch{\vec{p}*\vec{q}}{|\vec{p}|*|\vec{q}|} [/mm] ermittelst du den Winkel, der von [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q} [/mm] eingeschlossen wird, also überlege mal, welche Winkel du damit bestimmst, wenn du
[mm] \cos(\gamma)=\bruch{\vec{n_{1}}*\vec{v}}{|\vec{n_{1}}|*|\vec{v}|}
[/mm]
bzw.
[mm] \cos(\delta)=\bruch{\vec{n_{2}}*(-\vec{v})}{|\vec{n_{2}}|*|-\vec{v}|}
[/mm]
nutzt.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 05.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Also wenn ich cos [mm] \gamma [/mm] benutze, dann ist dies der Winkel zwischen dem [mm] n_{2} [/mm] und (-v), da ich ja aber den Winkel zwischen der Gerade und der Ebene E2 haben möchte, muss ich hier noch 90° minus den Winkel nehmen . Aber wie ist das jetzt, wen ich den Sinus nehme, das wäre doch dann der Winkel zwischen der Ebene 2 und der Gerade PQ, also der Winkel, den wir haben wollen.
Oder ist das alles falsch? :/
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Hallo nicom88,
ich habe den Eindruck, dass Du von einer falschen Vorstellung ausgehst.
Die beiden Normalenvektoren bilden mit der Geraden kein Dreieck, sondern jeder Richtungsvektor der Gerade steht senkrecht auf beiden Normalenvektoren.
Außerdem schließt die Gerade mit keiner der beiden Ebenen einen Winkel ein, sondern liegt vollständig in beiden Ebenen. Genau das ist ja die Bedingung für eine Schnittgerade!
Gesucht ist nur der Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren. Wenn die Ebenen rechtwinklig aufeinanderstehen, tun das die Normalenvektoren auch, und der Winkel zwischen ihnen ist weder stumpf noch spitz, sondern ein rechter. Dann ist der Cosinus dieses Winkels genau Null.
Kannst Du das zeigen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 So 06.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Aber wieso ist die Gerade PQ eine Schnittgerade, sie doch die Gerade, welche durch die beiden Punkte P und Q geht, P gehört aber zur E1 und Q zur E2. Also kann doch der Normalenvektor nicht senkrecht zu der Gerade stehen?
cos ^{-1} ist ja 90 °, aber ich verstehe nicht, was dass mit meiner Aufgabe zu tun haben soll.
Jetzt bin ich total verwirrt, weil die Zeichnung von M.Rex auch etwas anderes zeigt (glaube ich^^)
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Hallo Nico,
da hast Du Deine Aufgabe noch nicht verstanden, und das ist, glaube ich, das eigentliche Problem.
Lies sie nochmal.
A und B liegen beide auf beiden Ebenen, und durch sie verläuft die Schnittgerade von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2. [/mm]
Dazu ist jeweils ein weiterer Punkt gegeben, der nicht auf der Schnittgeraden liegt, nämlich P auf [mm] E_1 [/mm] und Q auf [mm] E_2.
[/mm]
Du kannst also die Ebene [mm] E_1 [/mm] aus A, B und P bestimmen, und die Ebene [mm] E_2 [/mm] aus A, B und Q.
Die Zeichnung von M.Rex zeigt Dir den allgemeinen Fall zweier sich schneidender Ebenen, nicht aber schon die Lösung. Sie dient der Verdeutlichung, wie dann die Normalenvektoren liegen.
In dem zu zeigenden Fall (die Ebenen schneiden sich im rechten Winkel) stehen dann auch die Normalenvektoren senkrecht aufeinander. Sie stehen aber immer (auch wenn der Schnittwinkel ein anderer ist) senkrecht auf dem Richtungsvektor der Schnittgeraden (die man genau dadurch bestimmen kann).
Hier ist die umgekehrte Reihenfolge gegeben, also die Schnittgerade zuerst. Wenn Du willst, kannst Du das ignorieren und die Ebenen nur aus jeweils drei Punkten bestimmen.
Also: wie lauten die Normalenvektoren, und welchen Winkel schließen sie nun ein?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mo 07.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Vielen Dank für eure Mühen. Ich habe mich noch einmal intensiv mit der Aufgabe auseinandergesetzt und weiss jetzt, welche Winkel ich bestimme.
Der cos ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden PQ.
Will ich nun den Schnittwinkel bekommen, rechne ich 90° - den berechneten Winkel =)
Danke noch einmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 07.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nicom88,
> Vielen Dank für eure Mühen. Ich habe mich noch einmal
> intensiv mit der Aufgabe auseinandergesetzt und weiss
> jetzt, welche Winkel ich bestimme.
Das sieht nicht so aus...
> Der cos ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem
> Richtungsvektor der Geraden PQ.
Da die Gerade die Schnittgerade beider Ebenen ist, stehen beide Normalenvektoren senkrecht auf ihr, und der Cosinus ist zwingend 0.
> Will ich nun den Schnittwinkel bekommen, rechne ich 90° -
> den berechneten Winkel =)
Dann bekämst Du ja 0° heraus. Das ist falsch, wie überhaupt der Ansatz.
Du brauchst nicht den Winkel zwischen einem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden, sondern den Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren!
> Danke noch einmal
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mo 07.06.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo reverend,
ich glaube er spricht von aufgabenteil b)... Da sind seine Ausführungen korrekt !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mo 07.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo MontBlanc,
wohl wahr.
Bisher war aber Aufgabenteil a) in der Diskussion und noch nicht erledigt.
Mir ist jedenfalls nicht klar, wie weit die Aufgabe gediehen ist.
Deine Beobachtung ist aber natürlich richtig und hilfreich - ein gutes diplomatisches Angebot!
Grüße
reverend
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