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Winkelfunktionen: Algebraische Werte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo zusammen,

ich interessiere mich momentan für die algebraischen Werte der Winkelfunktionen. Hierzu hätte ich drei kurze Fragen bzgl. eigener Vermutungen:

- Sei n eine natürliche Zahl [mm] \ge{3}. [/mm] Ist es dann richtig, dass bspw*. [mm]sin\left ( \frac{2\pi}{n} \right )[/mm] algebraisch und mit Hilfe von Wurzeltermen darstellbar ist, wenn das zugehörige regelmäßige n-Eck (mit Zirkel und Lineal) konstruierbar ist?

- Ist es weiter richtig, dass für alle anderen natürlichen Zahlen [mm] (\ge{7}) [/mm] die Werte der Winkelfunktionen zwar algebraisch, aber nicht durch Wurzeln auflösbar sind?

- Ist es drittens richtig, dass man mit Argumenten der Form [mm]\frac{2\pi}{n}[/mm] keinesfalls alle algebraischen Werte der Winkelfunktionen 'trifft', sondern nur diejenigen, für die das Vieleck aus den zugehörigen n. Einheitswurzeln in der komplexen Ebene eine Ecke bei 1 hat?

Ich habe momentan nicht die Zeit, mich an einer größeren Diskussion hierzu zu beteiligen, es reichen mir Bestätigung bzw. Widerlegung meiner Vermutungen. Sollte sich jedoch dennoch eine Diskussion über das Thema entwickeln, werde ich sie verfolgen und ggf. später noch einsteigen.

Vielen Dank im Voraus für jede Antwort.


Gruß, Diophant

*Es dürfte klar sein, dass mit sin(x) algebraisch auch (bis auf Definitionslücken) jede der anderen fünf Winkelfunktionen an besagter Stelle x algebraisch ist.

        
Bezug
Winkelfunktionen: Fälligkeit der Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

könnte mir jemand die Fälligkeit der Frage um 6 Tage verlängern (ich habe nicht selbst daran gedacht).

Vielen Dank.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Winkelfunktionen: melde Vollzug!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Mo 27.11.2017
Autor: Loddar

Aloha


> könnte mir jemand die Fälligkeit der Frage um 6 Tage
> verlängern (ich habe nicht selbst daran gedacht).

Erledigt.


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Winkelfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Mo 27.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo zusammen,
>  
> ich interessiere mich momentan für die algebraischen Werte
> der Winkelfunktionen. Hierzu hätte ich drei kurze Fragen
> bzgl. eigener Vermutungen:
>  
> - Sei n eine natürliche Zahl [mm]\ge{3}.[/mm] Ist es dann richtig,
> dass bspw*. [mm]sin\left ( \frac{2\pi}{n} \right )[/mm] algebraisch
> und mit Hilfe von Wurzeltermen darstellbar ist, wenn das
> zugehörige regelmäßige n-Eck (mit Zirkel und Lineal)
> konstruierbar ist?
>  
> - Ist es weiter richtig, dass für alle anderen
> natürlichen Zahlen [mm](\ge{7})[/mm] die Werte der Winkelfunktionen
> zwar algebraisch, aber nicht durch Wurzeln auflösbar
> sind?
>  
> - Ist es drittens richtig, dass man mit Argumenten der Form
> [mm]\frac{2\pi}{n}[/mm] keinesfalls alle algebraischen Werte der
> Winkelfunktionen 'trifft', sondern nur diejenigen, für die
> das Vieleck aus den zugehörigen n. Einheitswurzeln in der
> komplexen Ebene eine Ecke bei 1 hat?
> .....
> Gruß, Diophant



Hallo Diophant,

da ich mich vor einiger Zeit etwas ausführlicher mit exakten
sowohl als auch näherungsweisen Konstruktionen z.B. für die
regelmäßigen Vielecke etwa mit  n=17, n=7, n=21, n=9, n=23, ...  
beschäftigt habe, kann ich da wohl etwas beitragen.

Ich denke, dass deine erste Aussage zutrifft und dass dies
leicht zu zeigen sein sollte. Dabei sollte man  aber präzisieren,
welche "Wurzelterme" da genau zugelassen sind. Bei den
Wurzeln darf es sich z.B. nur um Quadratwurzeln handeln.
(etwa eine vierte Wurzel lässt sich dann natürlich auch daraus
basteln ...).

Zur zweiten Aussage:  da würde ich vorschlagen, für die Menge
der natürlichen Zahlen mit ZL-konstruierbarem n-Eck eine
Abkürzung einzuführen, z.B.  
      $\ K$ = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17, ....}.
Das Komplement dazu:
       [mm] $\overline [/mm] K\ =\ [mm] \IN\, \smallsetminus\,K [/mm] $ =  {7,9,11,13,14,18,19,....}

Ferner würde ich dann als Argumente nicht nur die Werte  [mm] $\frac{2\pi}{n}$ [/mm]
betrachten, sondern alle Werte der Form  $\ [mm] 2\pi [/mm] * [mm] \frac{m}{n}$ [/mm]
mit  1≤m≤n .
Ich vermute, dass auch diese Aussage richtig ist.

Zur dritten Aussage würde ich sagen, dass es leicht einzusehen
ist, dass man mittels Konstruktionen, die auf regelmäßigen
Vielecken beruhen, längst nicht alle "algebraischen" Punkte des
Einheitskreises treffen kann. Der Kreispunkt etwa zum Zentriwinkel
10° = [mm] \frac{\pi}{18} [/mm]  hat offensichtlich algebraische Koordinaten,
denn man erreicht den Winkel aus Dreiteilung des 30°-Winkels,
dessen Koordinaten mittels Quadratwurzeltermen darstellbar sind.
In [mm] \IC [/mm]  bedeutet die Winkeldreiteilung nur das Ziehen einer Kubik-
wurzel, offensichtlich ein algebraischer Vorgang.
Die Dreiteilung des 30°-Winkels lässt sich (wie bei den "meisten"
Winkeln überhaupt) nicht durch ZL-Konstruktionen ersetzen.
Andernfalls müssten wir die Einteilung von [mm] \IN [/mm] in  $\ K$ und [mm] $\overline{K}$ [/mm]
(siehe oben) abändern, womit sich C.F. Gauß wohl gar nicht
einverstanden erklären könnte ...


Deine Formulierung

>  "nur diejenigen, für die
>  das Vieleck aus den zugehörigen n. Einheitswurzeln in der
>  komplexen Ebene eine Ecke bei 1 hat"

verstehe ich irgendwie nicht so recht. Ein regelmässiges Vieleck
in der Gauß-Ebene, dessen Ecken n-te Einheitswurzeln darstellen,
hat doch an der Stelle 1 = 1+0*i  stets seine (nullte oder erste)
Ecke ...

Ich habe nun hier keine ausführliche Darstellung (mit Beweisen)
geliefert, sondern nur meine aktuellen Kenntnisse zum Thema
skizziert.

Nachbemerkung:  Ich bin mir nachträglich nicht ganz sicher, ob
ich deine dritte Frage wirklich so verstanden habe, wie sie von
dir gemeint war. Mein darauf bezogener Text (grün) ist also unter
diesem Vorbehalt zu sehen.

LG ,   Al-Chwarizmi

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Bezug
Winkelfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

danke für die Antwort.

> Ich denke, dass deine erste Aussage zutrifft und dass dies
> leicht zu zeigen sein sollte.

Ohne Galois-Theorie?

> Dabei sollte man aber
> präzisieren,
> welche "Wurzelterme" da genau zugelassen sind.

Da es mir generell um algebraische Werte geht, sind prinzipiell alle Wurzeln zugelassen bzw. von Interesse. Aber jetzt wo ich das lese sehe ich etwas, das ich übersehen habe und eigentlich wissen sollte: wenn das Vieleck konstruierbar ist, dann müssen die Werte natürlich mittels Quadratwurzeln darstellbar sein.

Ich nehme das dann mal als Bestätigung für die erste Vermutung.

>

> Zur zweiten Aussage: da würde ich vorschlagen, für die
> Menge
> der natürlichen Zahlen mit ZL-konstruierbarem n-Eck eine
> Abkürzung einzuführen, z.B.
> [mm]\ K[/mm] = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17, ....}.
> Das Komplement dazu:
> [mm]\overline K\ =\ \IN\, \smallsetminus\,K[/mm] =
> {7,9,11,13,14,18,19,....}

>

> Ferner würde ich dann als Argumente nicht nur die Werte
> [mm]\frac{2\pi}{n}[/mm]
> betrachten, sondern alle Werte der Form [mm]\ 2\pi * \frac{m}{n}[/mm]

>

> mit 1≤m≤n .
> Ich vermute, dass auch diese Aussage richtig ist.

Ok. Aus bestimmten Gründen interessieren mich zunächst nur Argumente der Form
[mm] 2*\pi/n, [/mm] daher habe ich meine Betrachtung darauf eingeschränkt.

> Zur dritten Aussage würde ich sagen, dass es leicht
> einzusehen
> ist, dass man mittels Konstruktionen, die auf
> regelmäßigen
> Vielecken beruhen, längst nicht alle "algebraischen"
> Punkte des
> Einheitskreises treffen kann.

Ja, das ist anschaulich klar. Es geht mir hier um Vielecke, die im Einheitskreis 'verdreht' liegen, aber ich habe hier selbst für Verwirrung gesorgt:

> Deine Formulierung
> > "nur diejenigen, für die
> > das Vieleck aus den zugehörigen n. Einheitswurzeln in der
> > komplexen Ebene eine Ecke bei 1 hat"
> verstehe ich irgendwie nicht so recht.

Das war wie gesagt nachlässig von mir. Ich meinte eben in der Gaußschen Zahlenebene regelmäßige Vielecke mit Ecken auf dem Einheitskreis außer der 1. Und das sind dann natürlich keine Einheitswurzeln.

Aber soweit hilft mir das weiter. Dankeschön!


Gruß, Diophant

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Bezug
Winkelfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Mo 27.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> > Ich denke, dass deine erste Aussage zutrifft und dass dies
>  > leicht zu zeigen sein sollte.

>  
> Ohne Galois-Theorie?


Nein. Da dachte ich natürlich daran, die Ergebnisse der Galois-
Theorie wie die reifen Früchte von einem Dessert-Teller zu genießen ...


LG,   Al-Chw.

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Winkelfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mo 27.11.2017
Autor: leduart

Hallo
alle sin Werte von Winkeln in pythagoräischen Dreiecken sind rational, hier ist die Schwierigkeit, die Winkel zu finden.
da man sin(nx) n ungerade als Polynom in sin(x) schreiben kann kann man [mm] sin\phi/n) [/mm] immer als Lösung einer algebraischen Gleichung sehen, wenn man die lösen kann, insbesondere kann man so jeden schon bekannten Winkel dritteln.
damit kann man wohl zeigen dass sowohl die rationalen zahlen auf sin als auch die algebraischen dicht liegen.
Gruß leduart.

Bezug
                
Bezug
Winkelfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo leduart,

> alle sin Werte von Winkeln in pythagoräischen Dreiecken
> sind rational, hier ist die Schwierigkeit, die Winkel zu
> finden.

Die entsprechenden Vorfaktoren von [mm] \pi [/mm] bzw. die Winkel in Altgrad dürften dann transzendente Werte haben, vermute ich mal stark.

> da man sin(nx) n ungerade als Polynom in sin(x) schreiben
> kann kann man [mm]sin\phi/n)[/mm] immer als Lösung einer
> algebraischen Gleichung sehen, wenn man die lösen kann,
> insbesondere kann man so jeden schon bekannten Winkel
> dritteln.

Was aber aus o.g. Grund kein Argument für die Möglichkeit der (geometrischen) Winkeldreiteilung ist*. ;-)

> damit kann man wohl zeigen dass sowohl die rationalen
> zahlen auf sin als auch die algebraischen dicht liegen.

Aber das ist jetzt keine neue Erkenntnis, oder?

Auf jeden Fall ein interessanter Aspekt, er trifft zwar nicht die Problemaatik, die den Hintegrund der Frage bildet (sorry dafür, aber das alles zu posten fehlt mir die Zeit). Aber auf jeden Fall auch dir vielen Dank.


Gruß, Diophant

* Auch nicht, wenn man die Ecken im Dreieck mit M, B und S bezeichnet. :-P


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Bezug
Winkelfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Mo 27.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend,

man kann recht leicht zeigen, dass für alle Winkel [mm] \varphi [/mm]
der Form

       [mm] $\varphi\ [/mm] =\ [mm] \frac{m}{n}\,*\,\pi\qquad \qquad (m\in \IZ\,, n\in \IN)$ [/mm]

sowohl [mm] sin(\varphi) [/mm] als auch [mm] cos(\varphi) [/mm]  algebraische Zahlen sind.

Meine Überlegungen dazu:

Es sei  [mm] x:=cos(\varphi) [/mm]  und  [mm] y:=sin(\varphi) [/mm] .

Ferner:  $\ [mm] z\,:=\, [/mm] x + i*y =\ [mm] e^{i*\varphi}$ [/mm]

Dann gelten die Gleichungen

(1)   $\ [mm] x^2\,+\,y^2\,=\,1$ [/mm]

(2)   $\ [mm] (x\,+i*\,y\,)^n\,=\, e^{i*n*\varphi}\ [/mm] =\ [mm] e^{i*n*\frac{m}{n}\,*\,\pi}\ [/mm] =\ [mm] e^{i*m*\pi}\ [/mm] =\ ( [mm] e^{i \pi})^m\ =\, [/mm] (- [mm] 1)^m\ [/mm] =\ [mm] \pm [/mm] 1$

Beim Ausmultiplizieren der Gleichung (2) entsteht
(weil alle imaginären Anteile verschwinden müssen)
eine Gleichung mit lauter ganzzahligen Koeffizienten
in Summanden der Form  [mm] a_{jk}*x^j*y^k [/mm]     ( [mm] a_{jk}\in\IZ\,, j\in\IN_0\,, k\in \IN_0 [/mm] )

Das resultierende Gleichungssystem aus (1) und der
(von den imaginären Anteilen befreiten) Gleichung (2)
kann man z.B. zu einer Gleichung für die Unbekannte x
(oder auch für y)  kombinieren, die offensichtlich algebraisch
ist und also auch nur algebraische Lösungswerte für x  
(bzw. für y) haben kann.

Kurz gefasst:  ist [mm] \varphi [/mm]  das Produkt aus einer rationalen Zahl
und [mm] \pi [/mm]  (***), so sind sowohl  [mm] sin(\varphi) [/mm] als auch  [mm] cos(\varphi) [/mm]  algebraisch.

(***):  zuerst wollte ich schreiben "ein rationales Viel-
faches von [mm] \pi [/mm] " , was aber missverstanden werden könnte ...

Interessant wäre jetzt aber, gewissermaßen nach einer
umgekehrten Aussage zu suchen, z.B. von der Form:
"Falls  [mm] sin(\varphi) [/mm]  eine algebraische Zahl ist, dann muss
[mm] \varphi [/mm]  einen Wert folgender Art haben:  [mm] \varphi [/mm] = .....  ". (???)  

LG ,    Al-Chw.

Bezug
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