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Forum "Analysis des R1" - Winkelgleichung lösen
Winkelgleichung lösen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Winkelgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mi 13.10.2010
Autor: Vertax

Aufgabe
Lösen Sie folgende Gleichung:
[mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]

Lösung der Aufgabe durch Substitution:

[mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]|[mm]-40*cos(x),-9[/mm]
[mm]41*sin(x)-40*cos(x)=-9[/mm]
Substitution:
[mm]41*2z+(-40)*(1-z^2)=-9*(1+z^2)[/mm]
[mm]82z-40+40z^2=-9-9^2[/mm] |[mm]+9, +9z^2[/mm]
[mm]49z^2+82z-31=0[/mm]

Ist das soweit korrekt?
ich bekommen nämlich für: [mm] X_1 [/mm] = 0.317725357 und für [mm] X_2 [/mm] = -1.991194745 heraus.

Das kommt mir etwas krum vor.

        
Bezug
Winkelgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mi 13.10.2010
Autor: reverend

Hallo Vertax,

mich würde eher wundern, wenn die Ergebnisse nicht krumm wären.

Aber was substituierst Du da eigentlich? Das sieht ziemlich verkehrt aus.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Winkelgleichung lösen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:57 Mi 13.10.2010
Autor: Vertax

Eine Lösungsmethode für [mm]a*sin(x)+b*cos(x)=c[/mm]
a,b und c seien gegeben. gesucht werden alle x mit [mm]a*sin(x)+b*cos(x)=c[/mm]

Lösungsweg: Man stellt sin(x) und cos(x) mit Hilfe vom [mm]tan(\bruch{x}{2})[/mm] dar.

Man setzt [mm]z = tan(\bruch{x}{2})[/mm]
Ausgangsgleichung: [mm] 2az+b*(1-z^2)=c*(1+z^2)[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Winkelgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Mi 13.10.2010
Autor: reverend

Hallo nochmal,

ja, schon klar.

Und wieso wird c ersetzt durch [mm] c*(1+z^2)? [/mm] Und [mm] \sin{x} [/mm] durch 2z?

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Winkelgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Mi 13.10.2010
Autor: Vertax

Man setzt [mm] z=tan(\bruch{x}{2}) -> sin(x) = \bruch{2*z}{1+z^2}, cos(x) = \bruch{1-z^2}{1+z^2}[/mm]

Einsetzen in [mm] a*sin(x)+b*cos(x) =c[/mm]
[mm] a*\bruch{2z}{1+z^2}+b*\bruch{1-z^2}{1+z^2}=c[/mm]  |[mm]*(1+z^2)[/mm]

Ausgangsgleichung: [mm]2az+b*(1-z^2)=c*(1+z^2)[/mm]

Bezug
        
Bezug
Winkelgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mi 13.10.2010
Autor: Vertax

Also als endgüliges Ergebniss habe ich
[mm]x_1 = 2*tan^{-1}(z_1)+2*k*pi = 0,6152764576 + 2*k*pi[/mm]
[mm]x_1 = 2*tan^{-1}(z_2)+2*k*pi = -2,210762888 + 2*k*pi[/mm]

[mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] habe ich weiter unten gepostet.

Könnte das bitte jemand Überprüfen.

Bezug
                
Bezug
Winkelgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mi 13.10.2010
Autor: reverend

Hallo nochmal,

das stimmt so.

Wenn Du etwas ausführlicher vorrechnen würdest, bekämst Du auch schneller eine vernünftige Antwort. Die meisten haben wenig Lust, fremde Aufgaben selber zu rechnen, aber überprüfen ist ok. So gehts mir jedenfalls. Ein paar mehr Zwischenschritte oder Erläuterungen sind dafür hilfreich.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Winkelgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mi 13.10.2010
Autor: fred97


> Lösen Sie folgende Gleichung:
>  [mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]
>  Lösung der Aufgabe durch Substitution:
>  
> [mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]|[mm]-40*cos(x),-9[/mm]
>  [mm]41*sin(x)-40*cos(x)=-9[/mm]
>  Substitution:
>  [mm]41*2z+(-40)*(1-z^2)=-9*(1+z^2)[/mm]
>  [mm]82z-40+40z^2=-9-9^2[/mm] |[mm]+9, +9z^2[/mm]
>  [mm]49z^2+82z-31=0[/mm]
>  
> Ist das soweit korrekt?


Das bekomme ich mit den Substitutionen

                  sin(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}z}{1+z^2}, [/mm] cos(x) = [mm] \bruch{1-z^2}{1+z^2} [/mm]

ebenfalls

FRED

>  ich bekommen nämlich für: [mm]X_1[/mm] = 0.317725357 und für [mm]X_2[/mm]
> = -1.991194745 heraus.
>  
> Das kommt mir etwas krum vor.  


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