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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Blinky |
Hallo!
Ich muss allgemein erklären, wie man Winkelhalbiernde in einem Dreieck in einem Raum vektoriell bestimmen kann.
Ich habe mir gedacht, da ja die Winkelhalbiernde in einem Dreieck, die gegenüberliegende Seite in das gleiche Verhältnis aufteilt, wie die anliegenden Seiten zueinander, könnte ich zunächst das Verhältnis der beiden Seiten zu einander bestimmen und die gegenüberliegende Seite dann in dieses Verhältnis aufteilen und dann die Winkelhalbierende zeichnen. Aber leider weiß ich nicht wie ich das in einem Raum berechnen kann. da sind die seiten ja nicht z.b. 5 cm und 3cm lang sondern z.b. [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] und [mm] \pmat{ 4 \\ 5 \\ 6 }.
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt einbisschen verstehen was ich meine.
ich hoffe ihr könnt mir helfen, dass wäre sehr nett. danke
gruß blinky
P.s: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Blinky
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
>
> Ich muss allgemein erklären, wie man Winkelhalbiernde in
> einem Dreieck in einem Raum vektoriell bestimmen kann.
>
> Ich habe mir gedacht, da ja die Winkelhalbiernde in einem
> Dreieck, die gegenüberliegende Seite in das gleiche
> Verhältnis aufteilt, wie die anliegenden Seiten zueinander,
> könnte ich zunächst das Verhältnis der beiden Seiten zu
> einander bestimmen und die gegenüberliegende Seite dann in
> dieses Verhältnis aufteilen und dann die Winkelhalbierende
Ja, dieser Ansatz ist gut, führt aber vermutlich zu viel Rechnerei.
Ich würde das vielleicht so überlegen: wenn die beiden Vektoren gleich lang wären, könnte man sie einfach addieren, und hätte sofort die Winkelhalbierende.
Aus dieser Überlegung heraus würde ich die beiden gegebenen Vektoren einfach durch ihren Betrag dividieren, so dass beide eine Länge von 1 haben. Diese beiden Vektoren kannst du dann einfach addieren, und hast die Richtung der Winkelhalbierenden.
> zeichnen. Aber leider weiß ich nicht wie ich das in einem
> Raum berechnen kann. da sind die seiten ja nicht z.b. 5 cm
> und 3cm lang sondern z.b. [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] und [mm]\pmat{ 4 \\ 5 \\ 6 }.[/mm]
>
Hier müsste man also den 1. Vektor durch [mm] $\wurzel{14}$ [/mm] dividieren, und den Vektor durch [mm] $\wurzel{77}$
[/mm]
Und dann weiter wie oben beschrieben.
Ist das so nachvollziehbar? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Blinky |
Vielen Dank!
Aber wieso kenn ich die Richtung der Winkelhalbierenden, wenn die Seiten gleich lang sind und ich diese dann addiere, dass verstehe ich nicht ganz.
gruß blinky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Blinky
> Vielen Dank!
>
> Aber wieso kenn ich die Richtung der Winkelhalbierenden,
> wenn die Seiten gleich lang sind und ich diese dann
> addiere, dass verstehe ich nicht ganz.
Ich meine natürlich die Vektoraddition.
Wenn die beiden Vektoren gleich lang sind, dann spannen sie doch, als Seiten eines Dreiecks interpretiert, ein gleichschenkliges Dreieck auf. Und der Summenvektor teilt doch die gegenüberliegende Seite im Verhältnis 1:1.
Es gilt dann (also wenn [mm] $\bec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] gleich lang sind) ja:
[mm] $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\bruch{\vec{a}-\vec{b}}{2}$
[/mm]
Das solltest du vielleicht einmal im 2-Dimensionalen aufzeichnen.
Ist es so etwas klarer geworden?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Blinky |
Danke schön, habe es jetzt verstanden.
vielen dank für ihre hilfe, werde es gleich mal schrieftlich ausprobieren. nochmals danke
gruß blinky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Blinky |
Hallo!
Habe doch noch eine Frage.
Jetzt beim ausprobieren bin ich auf ein problem gestoßen.
kann ich überhaupt die beiden vektoren durch ihre jeweiligen beträge teilen? diese sind doch unterschiedlich. falls doch wie sieht soetwas schriftlich aus z.b: [mm] \pmat{ 6 \\ 2 \\ 1 } [/mm] geteilt durch ihren Betrag [mm] \wurzel{41} [/mm] und einmal [mm] \pmat{ 4 \\ 3 \\ 4 } [/mm] geteilt durch ihren Betrag [mm] \wurzel{41}.
[/mm]
und dann habe ich noch eine frage, die winkelhalbierende ist somit ja eine seitenhalbierende. und ich rechne ja damit das beide seiten gleichlang sind, aber in wirklichkeit sind sie es ja nicht, sie sind es ja nur weil ich die seiten durch ihre beträge geteilt habe. somit kann ich doch garnicht mehr die winkelhalbierende für das original bestimmen sondern nur für die veränderte form oder etwa nicht.
ich hoffe man konnte das letzte jetzt verstehen, war einbisschen schwer auszudrücken was ich meine.
vielen dank
gruß blinky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
>
> Habe doch noch eine Frage.
>
> Jetzt beim ausprobieren bin ich auf ein problem gestoßen.
> kann ich überhaupt die beiden vektoren durch ihre
> jeweiligen beträge teilen? diese sind doch unterschiedlich.
Ja, sie sind unterschiedlich, aber Vektoren sind doch auch unterschiedlich
lang.
> falls doch wie sieht soetwas schriftlich aus z.b: [mm]\pmat{ 6 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
> geteilt durch ihren Betrag [mm]\wurzel{41}[/mm] und einmal [mm]\pmat{ 4 \\ 3 \\ 4 }[/mm]
> geteilt durch ihren Betrag [mm]\wurzel{41}.[/mm]
>
> und dann habe ich noch eine frage, die winkelhalbierende
> ist somit ja eine seitenhalbierende. und ich rechne ja
> damit das beide seiten gleichlang sind, aber in
> wirklichkeit sind sie es ja nicht, sie sind es ja nur weil
> ich die seiten durch ihre beträge geteilt habe.
In deinem Beispiel sind sie aber gleich lang, denn die Länge entspricht den Beträgen
und diese sind ja zweifellos gleich [mm] $\wurzel{41}=\wurzel{41}$
[/mm]
> somit kann
> ich doch garnicht mehr die winkelhalbierende für das
> original bestimmen sondern nur für die veränderte form oder
> etwa nicht.
Du benutzt später wieder das Orginal.
>
> ich hoffe man konnte das letzte jetzt verstehen, war
> einbisschen schwer auszudrücken was ich meine.
>
> vielen dank
>
> gruß blinky
Hallo Blinky,
teilt man einen Vektor durch seinetrag, so erhält man einen ![[]](/images/popup.gif) Einheitsvektor.
Bei dir in der Aufgabe heißt das zum Beispiel:
[mm] $\vec n_u=\frac{ \pmat{ 6 \\ 2 \\ 1 }}{\wurzel{41}} [/mm] $
[mm] $\vec n_v=\frac{ \pmat{ 4 \\ 3 \\ 4 }}{\wurzel{41}} [/mm] $
Wobei diese Vektoren [mm] $\vec [/mm] u, [mm] \vec [/mm] v$ zufällig gleich lang sind, aber nur deswegen ist die Winkelhalbierende
auch gleichzeitig Seitenhalbierende(, falls sie ein Dreieck aufspannen). Man rechnet außerdem nicht mir dern normierten
Vektoren weiter und unterscheidet sie von den eigentlichen Vektoren. Zur Ermittlung der Winkelhalbierenden bieten
sie aber eine sehr schöne und elegante Möglichkeit.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Blinky |
danke für die antwort.
aber wie rechne ich denn dann weiter mit den original vektoren und was hat mir das dann gebracht die vektoren in einheitsvektoren umzuwandeln.
den ganzen letzten schritt bishin zur aufstellung der winkelhalbierenden verstehe ich nicht.
könnte mir bitte noch mal jemand helfen danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> danke für die antwort.
>
> aber wie rechne ich denn dann weiter mit den original
> vektoren und was hat mir das dann gebracht die vektoren in
> einheitsvektoren umzuwandeln.
Die Orginalvektoren benutzt du erst dann wieder, wenn du die
Winkelhalbierende errechnet hast und genau das bringt es dir.
> den ganzen letzten schritt bishin zur aufstellung der
> winkelhalbierenden verstehe ich nicht.
>
> könnte mir bitte noch mal jemand helfen danke
Hi,
du verwendest die normierten Vektoren ausschließlich für zur Bestimmung des Richtungsvektors der
Winkelhalbierenden, denn es gilt:
[mm] $\vec w_{WH}=\frac{\vec v}{|\vec v|}+\frac{\vec u}{|\vec u|}$
[/mm]
Übrigens ist die Länge der Winkelhalbierenden ja völlig egal.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 17.05.2005 | | Autor: | MikeZZ |
Moin,
könnt ihr nich einfach den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der sich schneidenden Gerade berechnen durch die angegebenen Eck Punkte des Dreiecks und auf sie die Formel : (Vektor u mal Vektor v) geteilt durch (Betrag von Vektor u mal Betrag von Vektor V) anwenden?
Sorry wegen der ausgeschriebenen Gleichung, aber die Leiste unten für die Simbole ist down.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 17.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Moin,
>
> könnt ihr nich einfach den Winkel zwischen den beiden
> Richtungsvektoren der sich schneidenden Gerade berechnen
> durch die angegebenen Eck Punkte des Dreiecks und auf sie
> die Formel : (Vektor u mal Vektor v) geteilt durch (Betrag
> von Vektor u mal Betrag von Vektor V) anwenden?
> Sorry wegen der ausgeschriebenen Gleichung, aber die
> Leiste unten für die Simbole ist down.
Hi Mike,
rein theoretisch kannst du auch den erst den Winkel bestimmen,
diesen dann halbieren und dann die Winkelhalbierende erstellen,
indem du nach der Geraden suchst, die eine der Geraden mit
dem Winkel [mm] $\frac{\phi}{ 2}$ [/mm] schneidet. Doch vorsicht, das klappt nicht
so einfach, denn es gibt unendlich viele Geraden mit dieser Eigenschaft.
Du musst zusätzlich noch darauf achten, dass der Richtungsvektor dieser Geraden
in der gleichen Ebene wie die schneidenden Geraden liegt und diese Überprüfungen
kannst du mit Mühe auf einer Seite unterbringen. Den Richtungsvektor der Winkelhalbierenden
berechne ich hingegen in einer Zeile:
[mm] $\vec w=\frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u|*|\vec v|}$
[/mm]
Jetzt noch den Schnittpunkt der Geraden als Aufpunktvektor und schon bin ich fertig.
Liebe Grüße
Fugre
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