Wkt. für Wertebereich in ... < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Di 07.04.2015 | | Autor: | mmfbn |
| Aufgabe | gegeben: Summme S aus n unabhängigen uniform verteilten Werten im Bereich [a,c]
gesucht: Wahrscheinlichkeit für Werte w [mm] \in [/mm] S mit w [mm] \ge [/mm] b (b > n*a, b <n*c) |
Hi,
für eine konkrete Berechnung benötige ich das für n=3. Ich weiß, dass die Summe zweier uniform verteilten Größen die Dreiecksverteilung haben und für n gegen undenlich eine Normalverteilung draus wird und man da i.d.R. eine Tabelle zur Hilfe nimmt. Kann man es für kleine n aussrechnen? Und wenn ja wie?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
man kann es nicht nur für kleine n berechnen, auch für große.
Die Frage ist nur, mit welchem Aufwand....
Aber gut, letztlich geht das recht einfach:
Es gilt [mm] $X_i \sim \mathcal{U}\left([a,c]\right)$ [/mm] und damit die Dichte [mm] $f_{X_i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{c-a}*1_{[a,c]}$
[/mm]
Da die [mm] X_i [/mm] unabhängig sind, ist somit die gemeinsame Dichte gegeben durch
[mm] $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^n f_{X_k}(x_k) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(c-a)^n}*1_{[a,c]^n}$
[/mm]
Damit gilt für $S = [mm] \sum_{k=1}^n X_k$ [/mm] und [mm] $b\in [/mm] [n*a,n*c]$
$P(S [mm] \ge [/mm] b) = [mm] \integral_{S\ge b} f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n) d(x_1,\ldots,x_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(c-a)^n} \integral_{S\ge b} 1_{[a,c]^n} d(x_1,\ldots,x_2)$
[/mm]
Und letzteres gibt es bestimmt ne Formel für.
Anschaulich ist das halt die Fläche im [mm] $\IR^n$-Quader [a,c]^n [/mm] deren Summe der Komponenten größer als b ist.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 07.04.2015 | | Autor: | mmfbn |
Hi Gono,
danke für die schnelle Antwort. An [mm] $\IR^n$ [/mm] Quader hatte ich auch gerade gedacht (aber noch nich fertig gedacht :) ).
Die [mm] 1_{[a,c]} [/mm] Notation sagt mir nix. Habe ich bisher noch nicht verwendet.
Ich suche mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Di 07.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mmfbn und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die [mm]1_{[a,c]}[/mm] Notation sagt mir nix. Habe ich bisher noch nicht verwendet.
Sei [mm] A\subseteq\Omega, [/mm] dann ist
[mm] 1_{A}\colon \Omega\to\{0,1\}\colon \omega\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{falls } \omega\in A \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
die dazugehörige charakteristische Funktion (oder auch Indikator-
funktion). Dabei ist auch die Schreibweise [mm] \chi_{A} [/mm] gebräuchlich.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 07.04.2015 | | Autor: | mmfbn |
Ja,
dankeschön DieAcht. Hatte meinen Beitrag editiert. Aber danke für die Bestätigung.
Sooo.. bleibt noch das Integral zu lösen.
Bisher nix gefunden. Ich suche weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 07.04.2015 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
> für eine konkrete Berechnung benötige ich das für n=3.
> Ich weiß, dass die Summe zweier uniform verteilten
> Größen die Dreiecksverteilung haben und für n gegen
> undenlich eine Normalverteilung draus wird
Moin, das stimmt aber nicht. Fuer eine Gleichverteilung in $[0,2]$ gilt [mm] $E[S]\to\infty$.
[/mm]
Viellecht kriegst du Anregungen ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 238.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 07.04.2015 | | Autor: | mmfbn |
> Moin, das stimmt aber nicht. Fuer eine Gleichverteilung in $[0,2]$ gilt [mm] $E[S]\to\infty$.
[/mm]
Ja, ich muss den Mittelwert vorher abziehen.
Edit:
Ah danke für den Link, ich glaub ich hab es. für n=3, a*n=0, c*n=1 ist die Dichtefunktion:
[mm] $f_{\overline{X}_3} [/mm] (x)= [mm] \begin{cases}
\bruch{27}{2} x^2, & \mbox{für } 0 < x \le 1/3
\\ 27[\bruch{1}{12}-(x-\bruch{1}{2})^2], & \mbox{für } 1/3 < x \le 2/3
\\ \bruch{27}{2} (1-x)^2, & \mbox{für } 2/3 < x \le 1
\end{cases}$
[/mm]
Das ganze integrieren und mit gewünschter Zahl b ausrechnen. Falls 1/3 < b < 2/3 ist nicht vergessen den restlichen Teil zu addieren.
Danke an alle Helfer!
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