Wohldefiniert und stetig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 10.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
wie kann ich zeigen, dass die Funktion
[mm]\sinh(x):=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\quad\forall x\in\IR[/mm]
wohldefiniert und stetig ist?
Reicht es fuer die Stetigkeit zu argumentieren, dass [mm] $e^x$ [/mm] stetig ist (fuer alle reellen Zahlen), [mm] $e^{-x} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^x}$ [/mm] ebenfalls und der Nenner wird auch nie Null, da [mm] $e^x [/mm] = [mm] \exp(x) [/mm] > [mm] 0\quad\forall [/mm] x [mm] \in \IR$. [/mm] Die Differenz dieser Terme und die Multiplikation mit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist ebenfalls stetig, also ist die Funktion stetig. Ich befuerchte, dass das so aber nicht reicht.
Bei der Wohldefiniertheit bin ich mir nicht sicher, wo ich eigentlich ansetzen muss. Irgendwie die Eindeutigkeit der Funktion beschreiben (bis auf die Periodizitaet)? Hat jemand einen Tipp?
Danke schonmal,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Do 10.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael7!
> Hallo,
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> wie kann ich zeigen, dass die Funktion
>
> [mm]\sinh(x):=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\quad\forall x\in\IR[/mm]
>
>
> wohldefiniert und stetig ist?
>
> Reicht es fuer die Stetigkeit zu argumentieren, dass [mm]e^x[/mm]
> stetig ist (fuer alle reellen Zahlen), [mm]e^{-x} = \frac{1}{e^x}[/mm]
> ebenfalls und der Nenner wird auch nie Null, da [mm]e^x = \exp(x) > 0\quad\forall x \in \IR[/mm].
> Die Differenz dieser Terme und die Multiplikation mit
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] ist ebenfalls stetig, also ist die Funktion
> stetig. Ich befuerchte, dass das so aber nicht reicht.
Wenn ihr die entsprechenden Regeln bewiesen habt (z.B. dass die Summe zweier reellwertiger, auf dem selben Def.-B. definierter, stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist) und außerdem bewiesen habt, dass [m]\exp[/m] stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist, dann reicht das. 
> Bei der Wohldefiniertheit bin ich mir nicht sicher, wo ich
> eigentlich ansetzen muss. Irgendwie die Eindeutigkeit der
> Funktion beschreiben (bis auf die Periodizitaet)? Hat
> jemand einen Tipp?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ? Ich sehe da eigentlich so gut wie nichts, was man für die Wohldefiniertheit zeigen müßte. Dass einzige mögliche Problem wäre, dass [mm] $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ [/mm] irgendwo nicht definiert wäre, wenn man durch $0$ teilt. Aber wie du selbst schon richtig erkannt hast:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$: $e^{x}>0$, [/mm] also insbesondere ist [mm] $e^x\not=0$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$. [/mm] Also haben wir mit dem Ausdruck [mm] $e^{-x}$ [/mm] auch nirgends Probleme und damit ist die Wohldefiniertheit von [mm] $\sinh$ [/mm] auch klar...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Fr 11.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Marcel,
> Wenn ihr die entsprechenden Regeln bewiesen habt (z.B. dass
> die Summe zweier reellwertiger, auf dem selben Def.-B.
> definierter, stetiger Funktionen wieder eine stetige
> Funktion ist) und außerdem bewiesen habt, dass [m]\exp[/m] stetig
> auf [mm]\IR[/mm] ist, dann reicht das.
haben wir zum Glueck alles.
> ? Ich sehe da eigentlich so gut wie nichts, was man
> für die Wohldefiniertheit zeigen müßte. Dass einzige
> mögliche Problem wäre, dass [mm]e^{-x}=\frac{1}{e^x}[/mm] irgendwo
> nicht definiert wäre, wenn man durch [mm]0[/mm] teilt. Aber wie du
> selbst schon richtig erkannt hast:
> [mm]\forall x \in \IR[/mm]: [mm]e^{x}>0[/mm], also insbesondere ist
> [mm]e^x\not=0[/mm] [mm]\forall x \in \IR[/mm]. Also haben wir mit dem
> Ausdruck [mm]e^{-x}[/mm] auch nirgends Probleme und damit ist die
> Wohldefiniertheit von [mm]\sinh[/mm] auch klar...
Sehr gut, dann ist ja alles klar.
Dankeschoen, Michael
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