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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 20.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich grad mit Quotientenvektorräumen $V/U$.
Mein Buch möchte nun zeigen, dass es sich dabei um einen Vektorraum handelt und definiert dazu eine Addition $V/U [mm] \times [/mm] V/U [mm] \to [/mm] V/U$ durch $(x+U) [mm] \oplus [/mm] (y+U) := (x+y)+U$.
Und nun sagt mein Buch plötzlich, dass es passieren könnte, dass $x+U=x'+U$ obwohl $x [mm] \not= [/mm] x'$ und man erstmal prüfen muss, ob das Ganze überhaupt wohldefiniert ist.
Wohldefiniert?
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Wir haben doch schon tausende Sachen definiert (angefangen bei Mengen, über Körper, Vektoren, Basen usw.), da wurde nie geguckt, ob es denn wohldefiniert ist.
Zum Beispiel bei den Anfängen der Vektorräume, da wurde für Vektorräume von Funktionen auch einfach eine Summe definiert und da war nix mit Wohldefiniertheit... Warum jetzt hier ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Überhaupt, woher weiß ich z.B. dass dieser Fall eintreten könnte, dass $x+U$ und $x'+U$ gleich sind, obwohl $x [mm] \not= [/mm] x'$?
Auch der Beweis dazu ist ganz komisch.
Es wird gesagt, dass wenn aus $x+U=x'+U$ und $y+U=y'+U$ folgt, dass $(x+y)+U=(x'+y')+U$, dass dann wirkliche eine Addition definiert ist.
Aber warum? Woran seh ich an dieser Beweisführung, dass der Fall $x+U=x'+U$ nicht eintreten kann, wenn $x [mm] \not= [/mm] x'$?
Ich hoffe, mir kann jemand ein bisschen weiterhelfen beim Thema Wohldefiniertheit, ich verstehe den Sinn dahinter überhaupt nicht...
LG, Nadine
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> Ich beschäftige mich grad mit Quotientenvektorräumen
> [mm]V/U[/mm].
>
> Mein Buch möchte nun zeigen, dass es sich dabei um einen
> Vektorraum handelt und definiert dazu eine Addition [mm]V/U \times V/U \to V/U[/mm]
> durch [mm](x+U) \oplus (y+U) := (x+y)+U[/mm].
>
> Und nun sagt mein Buch plötzlich, dass es passieren
> könnte, dass [mm]x+U=x'+U[/mm] obwohl [mm]x \not= x'[/mm] und man erstmal
> prüfen muss, ob das Ganze überhaupt wohldefiniert ist.
Hallo,
ja, es kann sein, daß die Äquivalenzklassen x+U und x'+U gleich sind, obgleich x und x' nicht gleich sind, nämlich wenn x' [mm] \sim [/mm] x <==> [mm] x'-x\in [/mm] U.
Du kennst das aus der Schule, z.B. von der Parameterdarstellung der Geraden. Es ist die Gerade mit der Gleichung [mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\3} [/mm] + [mm] <\vektor{4\\5\\6}> [/mm] dieselbe wie die mit der Gleichung [mm] \vec{x}=\vektor{-3\\-3\\-3} [/mm] + [mm] <\vektor{4\\5\\6}>.
[/mm]
Bei der Wohldefiniertheit der Addition geht es darum:
wenn x+U=x'+U und y+U=y'+U, dann muß man sicher sein, daß die Summen [mm] (x+U)\oplus [/mm] (y+U) und [mm] (x'+U)\oplus [/mm] (y'+U) auch dasselbe ergeben.
Denn wenn je nach dem, welchen Repäsentanten der Äquivalenzklasse man nimmt, etwas verschiedenes herauskäme, wäre das ja schlecht, denn dann wäre das Ergebnis von [mm] (x+U)\oplus [/mm] (y+U) nicht eindeutig.
Probiere diese Wohldefiniertheit mal an meinem Beispiel von oben aus.
Nimm [mm] U=<\vektor{4\\5\\6}>, [/mm]
[mm] x=\vektor{1\\2\\3}, x'=\vektor{-3\\-3\\-3}, [/mm] prüfe, daß x+U=x'+U
[mm] y=\vektor{1\\1\\1} [/mm] , such Dir ein y' so, daß y+U=y'+U,
berechne dann nach Vorschrift [mm] (x+U)\oplus [/mm] (y+U) und [mm] (x'+U)\oplus [/mm] (y'+U), und überzeuge Dich, daß die Ergebnisse beidemale gleich sind, auch wenn man es nicht auf den ersten Blick erkennt.
> Wohldefiniert?
Bei der Wohldefiniertheit von Funktionen hat man zu prüfen, ob 1. zwei gleichen Argumenten auch der gleiche Funktionswert zugeordnet wird,
und daß 2. wirklich jedem Element des Definitionsbereiches auch ein Funktionswert zugeordnet wird.
Oftmals ist das alles auf einen Blick klar.
Bei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=x^2 [/mm] haben wir an beidem keinen Zweifel.
Das Problem 1. muß man immer bedenken, wenn man Abbildungen auf Äquivalenzklassen erklärt,
das Problem 2. muß man z.B. beachten, wenn man Funktionen umkehrt.
Wenn ich eine Abbildung f: [mm] A\to [/mm] B habe und eine Abbildung g:B [mm] \to [/mm] A definieren will durch g(b):=a mit f(a)=b, dann klappt das ja nicht in jedem Fall.
Überlege Dir selbst, woran es scheitern könnte.
> Auch der Beweis dazu ist ganz komisch.
Vielleicht kommt Dir alles etwas unkomischer vor, wenn Du das, was ich oben schrieb, gründlich durchdacht hast.
Wenn Du meinst, das Problem der Wohldefiniertheit erfaßt zu haben, guck Dir den Beweis dazu erneut an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 20.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort.
> ja, es kann sein, daß die Äquivalenzklassen x+U und
> x'+U gleich sind, obgleich x und x' nicht gleich sind,
> nämlich wenn [mm]x'\sim[/mm] x <==> [mm]x'-x\in[/mm] U.
Hängt das zufällig mit folgendem Satz zusammen:
$a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] [a] = [b]$
Im Falle der hier gegebenen Relation $x' [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] x' - x [mm] \in [/mm] U$ ist $x$ ja genau $x+U$ und $x'$ ist $x'+U$.
> Du kennst das aus der Schule, z.B. von der
> Parameterdarstellung der Geraden. Es ist die Gerade mit der
> Gleichung [mm]\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}[/mm] + [mm]<\vektor{4\\5\\6}>[/mm]
> dieselbe wie die mit der Gleichung
> [mm]\vec{x}=\vektor{-3\-3\\-3}[/mm] + [mm]<\vektor{4\\5\\6}>.[/mm]
Ui, das ist schon ziemlich lange her...
Also Geraden in Parameterdarstellung sind auf jeden Fall mal parallel, wenn der Richtungsvektor gleich ist, ist er ja hier, beidesmal [mm] <\vektor{4\\5\\6}>. [/mm] Aber was ist nochmal das ausschlaggebende Kriterium für Gleichheit von Geraden?
> Bei der Wohldefiniertheit der Addition geht es darum:
>
> wenn x+U=x'+U und y+U=y'+U, dann muß man sicher sein,
> daß die Summen [mm](x+U)\oplus[/mm] (y+U) und [mm](x'+U)\oplus[/mm] (y'+U)
> auch dasselbe ergeben.
Hmm, nach der Aussage des Buches dachte ich, es geht darum, zu zeigen, dass wenn $x [mm] \not= [/mm] x'$, dass dann auch $x+U [mm] \not= [/mm] x'+U$
> Denn wenn je nach dem, welchen Repäsentanten der
> Äquivalenzklasse man nimmt, etwas verschiedenes
> herauskäme, wäre das ja schlecht, denn dann wäre das
> Ergebnis von [mm](x+U)\oplus[/mm] (y+U) nicht eindeutig.
Hmm, aber wenn jetzt $x$ und $x'$ verschieden sind, aber in der selben ÄK liegen (also wenn $x [mm] \sim [/mm] x'$) dann haben wir doch gesagt, dass wir gerade nicht wollen, dass das gleiche rauskommt, oder?
Oder werf ich jetzt grad was durcheinander?
> Probiere diese Wohldefiniertheit mal an meinem Beispiel von
> oben aus.
Das werd ich morgen mal machen.
> Bei der Wohldefiniertheit von Funktionen hat man zu
> prüfen, ob 1. zwei gleichen Argumenten auch der gleiche
> Funktionswert zugeordnet wird,
> und daß 2. wirklich jedem Element des
> Definitionsbereiches auch ein Funktionswert zugeordnet
> wird.
Muss man nicht auch beweisen, dass die Addtion von Fuinktionswerten wohldefiniert ist, genauso wie man oben beweisen soll, dass die Addition von Elementen von $V/U$ wohldefiniert ist?
> Wenn ich eine Abbildung f: [mm]A\to[/mm] B habe und eine Abbildung
> g:B [mm]\to[/mm] A definieren will durch g(b):=a mit f(a)=b, dann
> klappt das ja nicht in jedem Fall.
> Überlege Dir selbst, woran es scheitern könnte.
$f$ muss mindestens mal injektiv sein, damit das funktioniert, oder?
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
> Danke für deine Antwort.
>
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>
> > ja, es kann sein, daß die Äquivalenzklassen x+U und
> > x'+U gleich sind, obgleich x und x' nicht gleich sind,
> > nämlich wenn [mm]x'\sim[/mm] x<==> [mm]x'-x\in[/mm] U.
>
> Hängt das zufällig mit folgendem Satz zusammen:
>
> [mm]a \sim b \gdw [a] =[b][/mm][/b][/mm] [mm] (\*)
[/mm]
Hallo,
ja, das ist es.
>
>Im Falle der hier gegebenen Relation [mm]x' [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] x' - x [mm] \in [/mm] U
> ist [mm]x[/mm] ja genau [mm]x+U[/mm] und [mm]x'[/mm] ist [mm]x'+U[/mm].
Nein. Hier ist nicht x genau x+U.
Die Argumentation ist so:
[mm] x-x'\in [/mm] U <==> [mm] x\sim [/mm] x' <==> x+U=x'+U
(x+U enthält ja alle zu x äquivalenten Elemente.)
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]> Du kennst das aus der Schule, z.B. von der [/b][/mm]
> [mm][b]> Parameterdarstellung der Geraden. Es ist die Gerade mit der [/b][/mm]
> [mm][b]> Gleichung [mm]\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}[/mm] + [mm]<\vektor{4\\5\\6}>[/mm] [/b][/mm]
> [mm][b]> dieselbe wie die mit der Gleichung [/b][/mm]
> [mm][b]> [mm]\vec{x}=\vektor{-3\\-3\\-3}[/mm] + [mm]<\vektor{4\\5\\6}>.[/mm][/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Ui, das ist schon ziemlich lange her... [/b][/mm]
Nicht länger als 10 Jahre...
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]Also Geraden in Parameterdarstellung sind auf jeden Fall [/b][/mm]
> [mm][b]mal parallel, wenn der Richtungsvektor gleich ist, ist er [/b][/mm]
> [mm][b]ja hier, beidesmal [mm]<\vektor{4\\5\\6}>.[/mm] Aber was ist nochmal [/b][/mm]
> [mm][b]das ausschlaggebende Kriterium für Gleichheit von Geraden? [/b][/mm]
Geraden in Parameterdarstellung sind identisch, wenn ihre Richtungsvektoren parallel sind und wenn die Differenz der Stützvektoren parallel ist zum Richtungsvektor. (Aufmalen, wenn Du's verstanden hast, mußt Du Dir nichts mehr merken).
Oder Richtungsvektoren parallel, Stützvektor der einen zeigt auf einen Punkt der anderen.
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]> Bei der Wohldefiniertheit der Addition geht es darum:[/b][/mm]
> [mm][b] > [/b][/mm]
> [mm][b]> wenn x+U=x'+U und y+U=y'+U, dann muß man sicher sein, [/b][/mm]
> [mm][b]> daß die Summen [mm](x+U)\oplus[/mm] (y+U) und [mm](x'+U)\oplus[/mm] (y'+U) [/b][/mm]
> [mm][b]> auch dasselbe ergeben.[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Hmm, nach der Aussage des Buches dachte ich, es geht darum, [/b][/mm]
> [mm][b]zu zeigen, dass wenn [mm]x \not= x'[/mm], dass dann auch [mm]x+U \not= x'+U[/mm][/b][/mm]
Nein. Denn das würde nicht stimmen.
Für die Gleichheit der Äquivalenzklassen reicht die Äquivalenz ihrer Repräsentanten - das hast Du ja auch bei [mm] (\*)
[/mm]
Und weil es so ist, daß Äquivalenzklassen trotz verschiedener Repräsentantenwahl gleich sein können, muß man bei Abbildungen, bei denen man aus der menge der Äquivalenzklassen heraus abbildet, schon aufpassen, daß diese Abbildung wohldefiniert ist.
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]> Denn wenn je nach dem, welchen Repäsentanten der [/b][/mm]
> [mm][b]> Äquivalenzklasse man nimmt, etwas verschiedenes [/b][/mm]
> [mm][b]> herauskäme, wäre das ja schlecht, denn dann wäre das [/b][/mm]
> [mm][b]> Ergebnis von [mm](x+U)\oplus[/mm] (y+U) nicht eindeutig.[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Hmm, aber wenn jetzt [mm]x[/mm] und [mm]x'[/mm] verschieden sind, aber in der [/b][/mm]
> [mm][b]selben ÄK liegen (also wenn [mm]x \sim x'[/mm]) dann haben wir doch [/b][/mm]
> [mm][b]gesagt, dass wir gerade nicht wollen, dass das gleiche [/b][/mm]
> [mm][b]rauskommt, oder?[/b][/mm]
Ich glaube, bist Du durcheinander.
Die Aktuelle Abbildung war ja eine zweistellige, die Addition. Wir müssen sichern, daß für
x+U=x'+U und y+U=y'+U
(was auch passieren kann, wenn die Ikse und Ypsilons nicht gleich sind),
am Ende
$ [mm] (x+U)\oplus [/mm] $ (y+U) = $ [mm] (x'+U)\oplus [/mm] $ (y'+U)
ist.
Ich mache Dir jetzt mal ein Beispiel für eine (einstellige) Abbildung, die nicht wohldefiniert ist:
f:V/U [mm] \to [/mm] V
f(x+U):=x
Wenn Du jetzt ein x' hast mit [mm] x'\not=x [/mm] , aber [mm] x'\sim [/mm] x, dann hast Du den Schalmassel?
Merkst Du, welchen?
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Oder werf ich jetzt grad was durcheinander? [/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]> Probiere diese Wohldefiniertheit mal an meinem Beispiel von [/b][/mm]
> [mm][b]> oben aus.[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Das werd ich morgen mal machen.[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]> Bei der Wohldefiniertheit von Funktionen hat man zu [/b][/mm]
> [mm][b]> prüfen, ob 1. zwei gleichen Argumenten auch der gleiche [/b][/mm]
> [mm][b]> Funktionswert zugeordnet wird,[/b][/mm]
> [mm][b] > und daß 2. wirklich jedem Element des [/b][/mm]
> [mm][b]> Definitionsbereiches auch ein Funktionswert zugeordnet [/b][/mm]
> [mm][b]> wird.[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Muss man nicht auch beweisen, dass die Addtion von [/b][/mm]
> [mm][b]Fuinktionswerten wohldefiniert ist, genauso wie man oben [/b][/mm]
> [mm][b]beweisen soll, dass die Addition von Elementen von [mm]V/U[/mm] [/b][/mm]
> [mm][b]wohldefiniert ist?[/b][/mm]
Wenn ich jetzt nur wüßte, was Du meinst...
Ich rate mal: wir definieren die Addition von Elementen des [mm] \IR^2 [/mm] durch
[mm] \vektor{a_1\\a_2}\oplus \vektor{b_1\\b_2}:=\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}.
[/mm]
"Eigentlich" muß man auch hier über die Wohldefiniertheit nachdenken, aber sie ist hier so problemlos, daß man es meist nicht bewußt tut.
Es ist für die Wohldefiniertheit hier zu sichern, daß für [mm] \vektor{a_1\\a_2}=\vektor{a'_1\\a'_2} [/mm] und [mm] \vektor{b_1\\b_2}=\vektor{b'_1\\b''_2} [/mm] auch
[mm] \vektor{a_1\\a_2}\oplus \vektor{b_1\\b_2}=\vektor{a'_1\\a'_2}\oplus \vektor{b'_1\\b'_2} [/mm] ist. (Mach das mal, dann merkst Du, warum man hier kein gewese drum machen muß.)
[Ebenfalls müßte man klären, ob die Summe [mm] \vektor{a_1\\a_2}\oplus \vektor{b_1\\b_2} [/mm] wirklich für alle [mm] \vektor{a_1\\a_2},\vektor{b_1\\b_2} \in \IR^2 [/mm] definiert ist. Sie ist's. Weshalb?]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]> Wenn ich eine Abbildung f: [mm]A\to[/mm] B habe und eine Abbildung [/b][/mm]
> [mm][b]> g:B [mm]\to[/mm] A definieren will durch g(b):=a mit f(a)=b, dann [/b][/mm]
> [mm][b]> klappt das ja nicht in jedem Fall.[/b][/mm]
> [mm][b] > Überlege Dir selbst, woran es scheitern könnte.[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][mm]f[/mm] muss mindestens mal injektiv sein, damit das [/b][/mm]
> [mm][b]funktioniert, oder?[/b][/mm]
Ja. Denn sonst gibt es Elemente in B, bei denen wir nicht entscheiden können, welcher Funktionswert g(b) ihnen zugeordnet werden soll.
Aber die Surjektivität braucht man auch, denn sonst gibt es Elemente aus B, auf die vermöge f überhaupt kein Element aus A abgebildet wird, so daß die Anweisung g(b):=a für f(a)=b sinnlos ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Weiß der Geier, woher die ganzen mm und b herkommen beim Zitieren Deines Textes, im Quelltext jedenfalls waren sie nicht.
Ich hatte keinen Nerv, sie zu entfernen und hoffe, daß Du trotzdem klarkommst.
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b][/b][/mm]
> [mm][b]LG, Nadine [/b][/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > ist [mm]x[/mm] ja genau [mm]x+U[/mm] und [mm]x'[/mm] ist [mm]x'+U[/mm].
> Nein. Hier ist nicht x genau x+U.
> Die Argumentation ist so:
> [mm]x-x'\in[/mm] U <==> [mm]x\sim[/mm] x' <==> x+U=x'+U
> (x+U enthält ja alle zu x äquivalenten Elemente.)
Ja, ich meinte [mm][x][/mm] ist genau [mm]x+U[/mm] und [mm][x'][/mm] ist [mm]x'+U[/mm].
> Geraden in Parameterdarstellung sind identisch, wenn ihre
> Richtungsvektoren parallel sind und wenn die Differenz der
> Stützvektoren parallel ist zum Richtungsvektor. (Aufmalen, wenn
> Du's verstanden hast, mußt Du Dir nichts mehr merken).
> Oder Richtungsvektoren parallel, Stützvektor der einen zeigt auf
> einen Punkt der anderen.
Ah ja, ok.
Dann mach ich mal dein Beispiel:
[mm] U=<\vektor{4\\5\\6}>=a*\vektor{4\\5\\6}
[/mm]
[mm] x=\vektor{1\\2\\3}, x'=\vektor{-3\\-3\\-3}
[/mm]
Prüfen, dass $x+U=x'+U$:
[mm] $x+U=\{x+u|u \in U \} [/mm] = [mm] x+a*\vektor{4\\5\\6}=\vektor{1\\2\\3}+a*\vektor{4\\5\\6}$
[/mm]
[mm] $x'+U=\vektor{-3\\-3\\-3}+a*\vektor{4\\5\\6}$
[/mm]
Die Geraden sind parallel, da der Richtungsvektor gleich ist.
Ist [mm] \vektor{1\\2\\3}=\vektor{-3\\-3\\-3}+a*\vektor{4\\5\\6}?
[/mm]
Ja, für $a=1$, also sind die Geraden gleich.
[mm] y=\vektor{1\\1\\1}, [/mm] wähle $y'$ so dass $y+U=y'+U$.
[mm] $y+U=\vektor{1\\1\\1}+a*\vektor{4\\5\\6}$
[/mm]
Wähle $a=2 [mm] \Rightarrow y'=\vektor{1\\1\\1}+2*\vektor{4\\5\\6}=\vektor{9\\11\\13}
[/mm]
Berechne $(x+U) [mm] \oplus [/mm] (y+U)$ nach Vorschrift [mm] \Rightarrow [/mm] $(x+U) [mm] \oplus [/mm] (y+U) = [mm] (x+y)+U=(\vektor{1\\2\\3}+\vektor{1\\1\\1})+a*\vektor{4\\5\\6}=\vektor{2\\3\\4}+a*\vektor{4\\5\\6}$
[/mm]
Berechne $(x'+U) [mm] \oplus [/mm] (y'+U)$ nach Vorschrift [mm] \Rightarrow [/mm] $(x'+U) [mm] \oplus [/mm] (y'+U) = [mm] (x'+y')+U=(\vektor{-3\\-3\\-3}+\vektor{9\\11\\13})+a*\vektor{4\\5\\6}=\vektor{6\\8\\10}+a*\vektor{4\\5\\6}$
[/mm]
Die beiden Geraden sind gleich, da [mm] \vektor{2\\3\\4}=\vektor{6\\8\\10}+(-1)*\vektor{4\\5\\6}
[/mm]
Die Relation war wahrscheinlich parallele Geraden, oder?
So wirklich weiß ich jetzt aber immer noch nicht, warum ich das alles gemacht habe, ich glaube, ich muss nochmal auf das Thema ansich zurück kommen.
Also das Problem, was überhaupt zur Frage der Wohldefiniertheit geführt hat, war doch, dass es passieren kann, dass $x+U=x'+U$ obwohl $x [mm] \not= [/mm] x'$.
Aber wo ist hier das Problem? Dass das passieren kann, sagt doch dieser Satz $a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] [a]=[b]$ (hier wird doch a und b verschieden angenommen, oder?)
Oder muss in Äquivalentklassen auch diese Kürzungsregel gelten: $a+b=c+b [mm] \Rightarrow [/mm] a=c$, also $x+U=x'+U [mm] \Rightarrow [/mm] x=x'$?
Sind $x+U$ und $x'+U$ eigentlich immer Äquivalenzklassen, oder kann es auch mal vorkommen, dass sie das nicht sind?
So, nun wieder zum eigentlichen Problem. Ich sehe im Moment (noch) kein Problem. Deshalb ist mir auch nicht klar, warum ich prüfen soll, dass aus $x+U=x'+U$ und $y+U=y'+U$ folgen soll, dass $(x+U) [mm] \oplus [/mm] (y+U)=(x'+U) [mm] \oplus [/mm] (y'+U)$.
Vielleicht könntest du mir nochmal die Problematik deutlich machen?
Eine Frage noch zur Äquivalenzrelation, die wir gerade benutzen. x steht ja mit y in Relation, wenn ihre Differenz im Unterraum U enthalten ist. Was genau bedeutet das? Ich kann mir da nicht wirklich was drunter vorstellen wie z.B. unter Parallelität von Geraden.
Wenn ich habe $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw x-y\in [/mm] U$. Kann man die Unterraumregel $a [mm] \in [/mm] U, b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] U$ umkehren in $a+b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] U, b [mm] \in [/mm] U$? Dann könnte ich vielleicht sagen, aus [mm] $x-y\in [/mm] U$ folgt $x+(-y) [mm] \in [/mm] U$ und daraus folgt $x [mm] \in [/mm] U$ und $(-y) [mm] \in [/mm] U$, und wenn $(-y) [mm] \in [/mm] U$ dann auch $(-1)(-y)=y [mm] \in [/mm] U$. Also wäre die Relation zwischen x und y dass sie beide in U sind?
LG, Nadine
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> Also das Problem, was überhaupt zur Frage der
> Wohldefiniertheit geführt hat, war doch, dass es passieren
> kann, dass [mm]x+U=x'+U[/mm] obwohl [mm]x \not= x'[/mm].
>
> Aber wo ist hier das Problem? Dass das passieren kann, sagt
> doch dieser Satz [mm]a \sim b \gdw [a]=[b][/mm] (hier wird doch a und b [/b][/mm]
> [mm][b]verschieden angenommen, oder?)[/b][/mm]
Hallo,
über gleich und verschieden wird hier gar nichts gesagt. Es geht um Äquivalenz. (Aufgrund der refexivität der Äquivalenzrelation sind gleiche Elemente natürlich auch äquivalent.)
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Oder muss in Äquivalentklassen auch diese Kürzungsregel [/b][/mm]
> [mm][b]gelten: [mm]a+b=c+b \Rightarrow a=c[/mm], also [mm]x+U=x'+U \Rightarrow x=x'[/mm]?[/b][/mm]
Nein, das haben wir doch schon besprochen.
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Sind [mm]x+U[/mm] und [mm]x'+U[/mm] eigentlich immer Äquivalenzklassen, oder [/b][/mm]
> [mm][b]kann es auch mal vorkommen, dass sie das nicht sind?[/b][/mm]
???
Es sind in x+U immer all jene Elmente y enthalten, für welche [mm] x-y\in [/mm] U gilt, und wenn Du definierst [mm] x\sim [/mm] y :<==> [mm] x-y\in [/mm] U , dan nsind das die Äquivalenzklassen bzgl [mm] \sim.
[/mm]
Statt x+U könntest Du auch schreiben [mm] [x]_{\sim}.
[/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]So, nun wieder zum eigentlichen Problem. Ich sehe im Moment [/b][/mm]
> [mm][b](noch) kein Problem. Deshalb ist mir auch nicht klar, warum [/b][/mm]
> [mm][b]ich prüfen soll, dass aus [mm]x+U=x'+U[/mm] und [mm]y+U=y'+U[/mm] folgen [/b][/mm]
> [mm][b]soll, dass [mm](x+U) \oplus (y+U)=(x'+U) \oplus (y'+U)[/mm].[/b][/mm]
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Vielleicht könntest du mir nochmal die Problematik [/b][/mm]
> [mm][b]deutlich machen?[/b][/mm]
Wenn man Abbildungen auf Äquivalenzklassen definiert, dann muß man sicherstellen, daß sie unabhängig vom Repräsentanten der Äquivalenzklasse sind.
In dem Beispiel, was ich Dir gemacht habe, hattest Du zwei verschiedene Geraden mit jeweils zwei Darstellungen (verschiedene Stützvektoren).
Es wäre doch ziemlich blöd, wenn Du am Ende bei den Additionen Geraden bekommen hättest, die verschieden sind, obgleich Du dieselben Geraden (bloß in verschiedener darstellung) addiert hast.
Würde sowas passieren, dann wäre die Verknüpfung ja sinnlos, weil es keinen eindeutigen Funktionswert gäbe.
Ich hatte Dir in meinem ersten Post auch eine Abbildung angegeben, die auf den ersten Blick vernünftig aussieht, aber nicht wohldefiniert ist.
Es lohnt sich, diese genauer zu durchdenken.
> [mm][b]Eine Frage noch zur Äquivalenzrelation, die wir gerade [/b][/mm]
> [mm][b]benutzen. x steht ja mit y in Relation, wenn ihre Differenz [/b][/mm]
> [mm][b]im Unterraum U enthalten ist. Was genau bedeutet das? Ich [/b][/mm]
> [mm][b]kann mir da nicht wirklich was drunter vorstellen wie z.B. [/b][/mm]
> [mm][b]unter Parallelität von Geraden.[/b][/mm]
Du mußt Dich davon verabschieden, daß man sich immer etwas vorstellen kann.
Wenn [mm] x-y\in [/mm] U, dann liegt der verbindungsvektor von x und y in U.
An den gleichen Geraden, die Du mit verschiedenen Stützvektoren darstellst, kannst Du es Dir verdeutlichen.
> [mm][b] [/b][/mm]
> [mm][b]Wenn ich habe [mm]x \sim y \gdw x-y\in U[/mm]. Kann man die [/b][/mm]
> [mm][b]Unterraumregel [mm]a \in U, b \in U \Rightarrow a+b \in U[/mm] [/b][/mm]
> [umkehren in [mm]a+b \in U \Rightarrow a \in U, b \in U[/mm]?
???
Nehmen wir als Raum wieder den [mm] \IR^3, u:=<\vektor{1\\2\\3}>.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{1\\0\\0}+\vektor{0\\2\\3} \in [/mm] U, aber die beiden einzelnen Vektoren offensichtlich nicht.
> Dann
> [mm][b]könnte ich vielleicht sagen, aus [mm]x-y\in U[/mm] folgt [mm]x+(-y) \in U[/mm] [/b][/mm]
> [mm][b]und daraus folgt [mm]x \in U[/mm] und [mm](-y) \in U[/mm], und wenn [mm](-y) \in U[/mm] [/b][/mm]
> [mm][b]dann auch [mm](-1)(-y)=y \in U[/mm]. Also wäre die Relation [/b][/mm]
> [mm][b]zwischen x und y dass sie beide in U sind?[/b][/mm]
Du mußt hier nix basteln. Die Äquivalenzreölation steht doch längst: x,y sind äquivalent, wenn ihre Differenz in U ist.
Und wenn die bei den äquivalent sind, dann sind ihre Äquivalenzklassen gleich. [mm] x\sim [/mm] y <==> x+U=y+U.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Wenn man Abbildungen auf Äquivalenzklassen definiert, dann
> muß man sicherstellen, daß sie unabhängig vom
> Repräsentanten der Äquivalenzklasse sind.
>
> In dem Beispiel, was ich Dir gemacht habe, hattest Du zwei
> verschiedene Geraden mit jeweils zwei Darstellungen
> (verschiedene Stützvektoren).
>
> Es wäre doch ziemlich blöd, wenn Du am Ende bei den
> Additionen Geraden bekommen hättest, die verschieden sind,
> obgleich Du dieselben Geraden (bloß in verschiedener
> darstellung) addiert hast.
> Würde sowas passieren, dann wäre die Verknüpfung ja
> sinnlos, weil es keinen eindeutigen Funktionswert gäbe.
Ich versuche mal zusammen zu fassen:
Also wenn ich mit Äquivalenzklassen arbeite, dann kann es vorkommen, dass ich zwei Äquivalenzklassen habe, die eine unterschiedliche Darstellung haben, z.B. einmal $[x]$ und einmal $[x']$, die aber dennoch gleich sind, nämlich genau dann, wenn $x [mm] \sim [/mm] x'$ gilt.
Und dann habe ich noch zwei Äquivalenzklassen $[y]$ und $[y']$, die auch gleich sind, weil $y [mm] \sim [/mm] y'$.
Den Äquivalenzklassen $[x], [x']$ und $[y], [y']$ sieht man aber nicht an, dass sie gleich sind. Dennoch muss, wenn ich diese Äquivalenzklassen addiere, am Ende das gleiche rauskommen, also $[x]+[y]=[x]+[y']=[x']+[y]=[x']+[y']$.
Ist es soweit richtig?
Was ich jetzt noch nicht ganz verstehe, ist dabei die Aussage im meinem Buch, dass das Problem in der Tatssache liegt, dass bei gleichen Äquivalenzklassen $[x]=[x']$ sein kann, dass $x [mm] \not= [/mm] x'$.
So wie ich dich bisher verstanden habe, liegt die Problematik eher darin, zu gucken, ob z.B. die Addition für gleiche Werte in anderer Darstellung immer das gleiche Ergebnis liefert.
Ich sehe nicht, was das Problem mit dem $x [mm] \not= [/mm] x'$ ist...
LG, Nadine
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> Ich versuche mal zusammen zu fassen:
>
> Also wenn ich mit Äquivalenzklassen arbeite, dann kann es
> vorkommen, dass ich zwei Äquivalenzklassen habe, die eine
> unterschiedliche Darstellung haben, z.B. einmal [mm][x][/mm] und
> einmal [mm][x'][/mm], die aber dennoch gleich sind, nämlich genau
> dann, wenn [mm]x \sim x'[/mm] gilt.
Hallo,
ja,
Meist werden die Äquivalenzklassen mehr als ein Element enthalten, und jedes dieser Elemente ist repräsentant ein und derselben Äquivalenzklasse.
>
> Und dann habe ich noch zwei Äquivalenzklassen [mm][y][/mm] und
> [mm][y'][/mm], die auch gleich sind, weil [mm]y \sim y'[/mm].
>
> Den Äquivalenzklassen [mm][x], [x'][/mm] und [mm][y], [y'][/mm] sieht man
> aber nicht an, dass sie gleich sind.
Genau. (Wie bei den Geraden)
> Dennoch muss, wenn ich
> diese Äquivalenzklassen addiere, am Ende das gleiche
> rauskommen, also [mm][x]+[y]=[x]+[y']=[x']+[y]=[x']+[y'][/mm].
>
> Ist es soweit richtig?
Ja.
>
>
>
> Was ich jetzt noch nicht ganz verstehe, ist dabei die
> Aussage im meinem Buch, dass das Problem in der Tatssache
> liegt, dass bei gleichen Äquivalenzklassen [mm][x]=[x'][/mm] sein
> kann, dass [mm]x \not= x'[/mm].
Ich muß nochmal darauf beharren, daß Du Dir mein Beispiel aus dem ersten Post gründlich anschaust.
f: V \ U [mm] \to [/mm] V
f(x+U):= x.
Wir machen es noch konkreter und nehmen hier für V den [mm] \IR^3, [/mm] für U wieder [mm] U:=<\vektor{1\\2\\3}>
[/mm]
Es wäre [mm] f(\vektor{2\\2\\2}+<\vektor{1\\2\\3}>=\vektor{2\\2\\2},
[/mm]
und
[mm] f(\vektor{5\\8\\11}+<\vektor{1\\2\\3}>)=\vektor{5\\8\\11}.
[/mm]
und
[mm] f(\vektor{5\\8\\11}+<\vektor{1\\2\\3}>) [/mm] .
Soweit, so gut. Nur wenn man jetzt genauer hinschaut, dann sieht man mit Schrecken, daß [mm] \vektor{2\\2\\2}+<\vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{5\\8\\11}+<\vektor{1\\2\\3}> [/mm] gleich sind.
Und jetzt überkommt einem das kalte Grausen: ein und demselben Argument werden hier zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet.
Also ist die Funktion nicht wohldefiniert und damit ein Fall für den Mülleimer.
> Was ich jetzt noch nicht ganz verstehe, ist dabei die
> Aussage im meinem Buch, dass das Problem in der Tatssache
> liegt, dass bei gleichen Äquivalenzklassen [mm][x]=[x'][/mm] sein
> kann, dass [mm]x \not= x'[/mm].
es sei x+U=x'+U.
Wenn Du eine Funktion auf der Menge der Äquivalenzklassen so definierst, daß der Funktionswert in irgendeiner Weise vom ausgewählten Repräsentanten abhängt, also davon, ob man für die Äquivalenzklasse x+U schreibt oder x'+U, dann hat man das besagte Problem, daß man nämlich gucken muß, ob der Funktionswert nicht davon abhängt, ob man den repräsentanten x oder x' gewählt hat.
> So wie ich dich bisher verstanden habe, liegt die
> Problematik eher darin, zu gucken, ob z.B. die Addition
> für gleiche Werte in anderer Darstellung immer das gleiche
> Ergebnis liefert.
Das ist dieselbe Problematik, welche eben davon hervorgerufen wird, daß man für eine Äquivalenzklasse in der Regel mehrere Repräsentanten hat.
Gruß v. Angela
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