Wohldefiniertheit, Relation < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Di 29.04.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Definiere [mm] $E\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ [/mm] durch: [mm] $(x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}$ [/mm] für [mm] $x,y\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Für [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] sei sei [mm] $[x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}$.
[/mm]
Für [mm] $x,y\in\mathbb{R}$ [/mm] sei [mm] $[x]_E+[y]_E=[x+y]_E$.
[/mm]
Zeige, dass [mm] $[x]_E+[y]_E$ [/mm] wohldefiniert ist. |
Hi,
ich habe gerade ein kleines Problem mit dieser Aufgabe, weil ich nicht genau weiß wie nun [mm] [x]_E [/mm] aussieht. Ich finde das irgendwie ein wenig eigenartig wie man es als Menge aufschreibt, habe also ein Problem mit der Aufgabenstellung.
Das $E$ eine Äquivalenzrelation ist, habe ich bereits gezeigt.
Nun ist
[mm] [x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}$
[/mm]
Heißt das einfach, dass [mm] $y-x\in\mathbb{Z}$ [/mm] ist?
In der Vorlesung hatten wir [mm] $[...]_E$ [/mm] als Quotienten definiert. Zum Beispiel [mm] $\mathbb{Z}/5$, [/mm] woher denke ich auch meine Verwirrung stammt.
Ich kann gerade nicht mit gewissheit sagen wie ich nun mit [mm] $[x]_E$ [/mm] umzugehen habe.
Könnte das vielleicht jemand für mich erläutern, was nun [mm] $[x]_E$ [/mm] genau meint?
Wie ich dann die Wohldefiniertheit zeige ist mir denke ich klar. Ich zeige einfach, dass
[mm] $[x]_E+[y]_E=[x+y]_E$
[/mm]
unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Di 29.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Definiere [mm]E\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}[/mm] durch:
> [mm](x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}[/mm] für
> [mm]x,y\in\mathbb{R}[/mm].
>
> Für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] sei sei [mm][x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}[/mm].
>
> Für [mm]x,y\in\mathbb{R}[/mm] sei [mm][x]_E+[y]_E=[x+y]_E[/mm].
>
> Zeige, dass [mm][x]_E+[y]_E[/mm] wohldefiniert ist.
> Hi,
>
> ich habe gerade ein kleines Problem mit dieser Aufgabe,
> weil ich nicht genau weiß wie nun [mm][x]_E[/mm] aussieht. Ich
> finde das irgendwie ein wenig eigenartig wie man es als
> Menge aufschreibt, habe also ein Problem mit der
> Aufgabenstellung.
>
> Das [mm]E[/mm] eine Äquivalenzrelation ist, habe ich bereits
> gezeigt.
> Nun ist
>
> [mm][x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}$[/mm]
>
> Heißt das einfach, dass [mm]y-x\in\mathbb{Z}[/mm] ist?
Ja, es ist
[mm][x]_E=\{y\in\mathbb{R}:y-x \in \IZ\}$[/mm].
>
> In der Vorlesung hatten wir [mm][...]_E[/mm] als Quotienten
> definiert. Zum Beispiel [mm]\mathbb{Z}/5[/mm], woher denke ich auch
> meine Verwirrung stammt.
> Ich kann gerade nicht mit gewissheit sagen wie ich nun mit
> [mm][x]_E[/mm] umzugehen habe.
[mm][x]_E[/mm] ist eine Menge. Für 2 solche Mengen wurde def.:
$ [mm] [x]_E+[y]_E=[x+y]_E [/mm] $
>
> Könnte das vielleicht jemand für mich erläutern, was nun
> [mm][x]_E[/mm] genau meint?
> Wie ich dann die Wohldefiniertheit zeige ist mir denke ich
> klar. Ich zeige einfach, dass
>
> [mm][x]_E+[y]_E=[x+y]_E[/mm]
>
> unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
So ist es.
FRED
>
> Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 29.04.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, also im Grunde die "einfachste" Art wie man [mm] [x]_E [/mm] in diesem Zusammenhang interpretieren kann. Wie gesagt war ich etwas verwirrt, weil wir in der Vorlesung die selbe Schreibweise erstmal für das teilen mit Rest eingeführt hatten.
Zu der Wohldefiniertheit:
Ich hätte es nun so gemacht:
[mm] $(x,x')\in [/mm] E$ und $(y, [mm] y')\in [/mm] E$
[mm] $\Rightarrow (x-x')\in\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $(y-y')\in\mathbb{Z}$
[/mm]
Somit auch
[mm] $(x-x')+(y-y')\in\mathbb{Z}$ [/mm] wegen der Abgeschlossenheit der ganzen Zahlen bezüglich der Addition.
[mm] $\Rightarrow (x+y)-(y'+x')\in\mathbb{Z}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x+y,y'+x')\in [/mm] E$
Also ist
[mm] $[x]_E+[y]_E=[x+y]_E$
[/mm]
wohldefiniert.
Würde das so passen?
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Hallo,
> Zu der Wohldefiniertheit:
>
> Ich hätte es nun so gemacht:
seien x,x', y, [mm] y'\in \IR [/mm] mit [x]=[x'] und [y]=[y']
Dann ist
>
> [mm](x,x')\in E[/mm] und [mm](y, y')\in E[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (x-x')\in\mathbb{Z}[/mm] und [mm](y-y')\in\mathbb{Z}[/mm]
Es ist folglich
(x+y)-(x'+y')=
> [mm](x-x')+(y-y')\in\mathbb{Z}[/mm] wegen der Abgeschlossenheit der
> ganzen Zahlen bezüglich der Addition.
> [mm]\Rightarrow (x+y,y'+x')\in E[/mm],
und somit [x+y]=[x'+y'].
>
> Also ist
>
> [mm][x]_E+[y]_E=[x+y]_E[/mm]
>
> wohldefiniert.
>
> Würde das so passen?
Ja.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Di 29.04.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank euch zwei.
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