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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Wronski- Determinante
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Wronski- Determinante: Korrekturlesung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Mi 04.03.2009
Autor: Marcel08

Aufgabe
Seien [mm] y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=exp(x), y_{3}(x)=sin(x). [/mm] Berechnen Sie die Wronski- Determinante. Sind die Funktionen [mm] y_{1},y_{2},y_{3} [/mm] linear unabhängig oder abhängig auf [mm] \IR? [/mm]

Hallo Matheraum,


bezüglich meines Lösungsvorschlages würde ich mich über eine Korrekturlesung.



Mein Lösungsvorschlag:


[mm] W(x)=\vmat{ x & e^{x} & sin(x) \\ 1 & e^{x} & cos(x) \\ 0 & e^{x} & -sin(x) } [/mm]



Der Entwicklungssatz nach Laplace liefert im Zuge einer Entwicklung nach der dritten Spalte:


[mm] x\vmat{ e^{x} & cos(x) \\ e^{x} & -sin(x) }-\vmat{ e^{x} & sin(x) \\ e^{x} & -sin(x) } [/mm]


[mm] =-xe^{x}(sin(x)+cos(x))+e^{x}(sin(x)+sin(x)) [/mm]


[mm] =-xe^{x}(3sin(x)+cos(x)) [/mm]


[mm] =e^{x}(-3xsin(x)-xcos(x)) [/mm]



Die Musterlösung sagt jedoch det [mm] W=e^{x}((2-x)sin(x)-xcos(x)) [/mm]




Meine Frage:


Wo habe ich mich verrechnet? Ich habe es bereits mehrere Male durchgesehen.





Gruß, Marcel

        
Bezug
Wronski- Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Mi 04.03.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Marcel,

> Seien [mm]y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=exp(x), y_{3}(x)=sin(x).[/mm]
> Berechnen Sie die Wronski- Determinante. Sind die
> Funktionen [mm]y_{1},y_{2},y_{3}[/mm] linear unabhängig oder
> abhängig auf [mm]\IR?[/mm]
>  Hallo Matheraum,
>  
>
> bezüglich meines Lösungsvorschlages würde ich mich über
> eine Korrekturlesung.
>
>
>
> Mein Lösungsvorschlag:
>  
>
> [mm]W(x)=\vmat{ x & e^{x} & sin(x) \\ 1 & e^{x} & cos(x) \\ 0 & e^{x} & -sin(x) }[/mm] [ok]
>  
>
>
> Der Entwicklungssatz nach Laplace liefert im Zuge einer
> Entwicklung nach der dritten Spalte:

Nach der 1.Spalte ist's doch angenehmer wegen der dort auftretenden 0 ;-)

>  
>
> [mm]x\vmat{ e^{x} & cos(x) \\ e^{x} & -sin(x) }-\vmat{ e^{x} & sin(x) \\ e^{x} & -sin(x) }[/mm]
>  
>
> [mm]=-xe^{x}(sin(x)+cos(x))+e^{x}(sin(x)+sin(x))[/mm]
>  
>
> [mm]=-xe^{x}(3sin(x)+cos(x))[/mm]
>  
>
> [mm]=e^{x}(-3xsin(x)-xcos(x))[/mm]
>  
>
>
> Die Musterlösung sagt jedoch det
> [mm]W=e^{x}((2-x)sin(x)-xcos(x))[/mm] [ok]
>  
>
>
>
> Meine Frage:
>  
>
> Wo habe ich mich verrechnet? Ich habe es bereits mehrere
> Male durchgesehen.

Die Entwicklung ist oberfaul, das sollte so aussehen (nach der 3.Spalte):

[mm] $det(...)=\sin(x)\cdot{}det\pmat{1&e^x\\0&e^x}-\cos(x)\cdot{}det\pmat{x&e^x\\0&e^x}-\sin(x)\cdot{}det\pmat{x&e^x\\1&e^x}$ [/mm]

[mm] $=\sin(x)\cdot{}e^x-\cos(x)\cdot{}xe^x-\sin(x)\cdot{}(xe^x-e^x)=...$ [/mm] =Musterlösung


>
> Gruß, Marcel


LG

schachuzipus  

Bezug
                
Bezug
Wronski- Determinante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mi 04.03.2009
Autor: Marcel08

Sorry, ich meinte die erste Spalte. Ich habe ja in der Rechnung auch nach der ersten Spalte entwickelt. Was genau habe ich denn da falsch gemacht?

Bezug
                        
Bezug
Wronski- Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Mi 04.03.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Sorry, ich meinte die erste Spalte. Ich habe ja in der
> Rechnung auch nach der ersten Spalte entwickelt. Was genau
> habe ich denn da falsch gemacht?

Das Zusammenfassen der beiden Klammerterme, siehe die andere Mitteilung

LG

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Wronski- Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Mi 04.03.2009
Autor: schachuzipus

Ach ich Nase,

jetzt sehe ich erst, dass du ja doch nach der 1. Spalte entwickelt hast, dann sag' das doch auch ;-)

> Seien [mm]y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=exp(x), y_{3}(x)=sin(x).[/mm]
> Berechnen Sie die Wronski- Determinante. Sind die
> Funktionen [mm]y_{1},y_{2},y_{3}[/mm] linear unabhängig oder
> abhängig auf [mm]\IR?[/mm]
>  Hallo Matheraum,
>  
>
> bezüglich meines Lösungsvorschlages würde ich mich über
> eine Korrekturlesung.
>
>
>
> Mein Lösungsvorschlag:
>  
>
> [mm]W(x)=\vmat{ x & e^{x} & sin(x) \\ 1 & e^{x} & cos(x) \\ 0 & e^{x} & -sin(x) }[/mm]
>  
>
>
> Der Entwicklungssatz nach Laplace liefert im Zuge einer
> Entwicklung nach der dritten ersten! Spalte:
>  
>
> [mm]x\vmat{ e^{x} & cos(x) \\ e^{x} & -sin(x) }-\vmat{ e^{x} & sin(x) \\ e^{x} & -sin(x) }[/mm] [ok]
>  
>
> [mm]=-xe^{x}(sin(x)+cos(x))+e^{x}(sin(x)+sin(x))[/mm] [ok]
>  
>
> [mm]=-xe^{x}(3sin(x)+cos(x))[/mm] [notok]

Was ist hier passiert?

Du hast vorne doch [mm] $-xe^x$ [/mm] ausgeklammert und hinten "nur" [mm] $e^x$, [/mm] das kannst du doch so einfach nicht zusammenmodeln ...

"Schiebe" mal das vordere -x wieder in die Klammer

[mm] $..=e^x(-x\sin(x)-x\cos(x))+e^x(2sin(x))$ [/mm]

Nun kannst du auch zusammenfassen ... (sprich [mm] e^x [/mm] ausklammern ...)

>  
>
> [mm]=e^{x}(-3xsin(x)-xcos(x))[/mm]
>  
>
>
> Die Musterlösung sagt jedoch det
> [mm]W=e^{x}((2-x)sin(x)-xcos(x))[/mm]
>  
>
>
>
> Meine Frage:
>  
>
> Wo habe ich mich verrechnet? Ich habe es bereits mehrere
> Male durchgesehen.
>  
>
>
>
>
> Gruß, Marcel


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Wronski- Determinante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Mi 04.03.2009
Autor: Marcel08

Okay super, ich danke dir!

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