Würfel Wahrscheinlichkeitsber. < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Defender |
Hi@all
Ich habe folgendes Problem:
Morgen schreibe ich eine Klausur über Stochastik. (12. Jahrgang Mathe LK)Ich habe das Gefühl das ich das eigentlich gut kann. Nur bei einer Sache komme ich immer wieder durcheinander und das ist bei folgendem Aufgabentyp:
-> Ein Würfel wird 3 Mal geworfen. Bestimme die WSK des folgenden Ereignisses:
1) Augensumme größer als 5
2) Augensumme kleiner als 16
3) Augenzahl 2 tritt höchstens zweimal auf
4) Augenzahl 4 tritt mindestens einmal auf
Hört sich doch einfach an... eigentlich.
In der Schule haben wir zu...
1) ein Baumdiagramm zum Gegenereignis gezeichnet (Augensumme kleiner oder gleich 5) und dann anhand des Baumdiagramms die WSK errechnet. Aber das kommt mir doch sehr kompliziert vor.
2) Hier haben wir wieder erst das Gegenereignis aufgestellt. (Augensumme größer oder gleich 16) und dann die Möglichkeiten überlegt: {466;646;664;556;565;655;665;656;566;666} also P(Gegenereigenis)=10/216 und dann P(Ereignis)=1-10/216=103/108.
Bei 3) kommt 215/216 raus und bei 4) 91/216. Aber warum weiss ich nicht genau.
Geht das nicht einfacher? Wir dürfen/müssen für die Berechnungen unseren TI Voyage Taschenrechner benutzen. Wir arbeiten sonst zum Beispiel auch mit dem TI und der Formell: "binompdf(n,p,k)".
Wie kann man damit solche Aufgaben lösen? Es scheint mir doch sehr kompliziert zu sein, so wie ich das habe.
Bin für jede Hilfe dankbar! Ich kann bis ca. 22:30 Uhr Online bleiben.
Gruß
Defender
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Hallo Thomas!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe folgendes Problem:
> Morgen schreibe ich eine Klausur über Stochastik. (12.
> Jahrgang Mathe LK)Ich habe das Gefühl das ich das
> eigentlich gut kann. Nur bei einer Sache komme ich immer
> wieder durcheinander und das ist bei folgendem Aufgabentyp:
>
>
> -> Ein Würfel wird 3 Mal geworfen. Bestimme die WSK des
> folgenden Ereignisses:
> 1) Augensumme größer als 5
> 2) Augensumme kleiner als 16
> 3) Augenzahl 2 tritt höchstens zweimal auf
> 4) Augenzahl 4 tritt mindestens einmal auf
Kleine Vorbemerkung:
Die Vorgehensweise bei 1) und 2) unterscheidet sich von der für 3) und 4).
> In der Schule haben wir zu...
> 1) ein Baumdiagramm zum Gegenereignis gezeichnet
> (Augensumme kleiner oder gleich 5) und dann anhand des
> Baumdiagramms die WSK errechnet. Aber das kommt mir doch
> sehr kompliziert vor.
Aber viel einfacher geht es leider nicht. Natürlich kannst Du auch ohne Baumdiagramm die günstigen Kombinationen von Augenzahlen ermitteln. Wichtig dabei ist nur, dass man irgendwie nach System abzählt und nicht wild durcheinander.
> 2) Hier haben wir wieder erst das Gegenereignis
> aufgestellt. (Augensumme größer oder gleich 16) und dann
> die Möglichkeiten überlegt:
> {466;646;664;556;565;655;665;656;566;666} also
> P(Gegenereigenis)=10/216 und dann
> P(Ereignis)=1-10/216=103/108.
Klar könnte man sich hier noch überlegen, dass die Kombination von 466 drei Permutationen (Vertauschungen) hat, was auch für 556 und 665 gilt. Deshalb ist die Anzahl der günstigen Möglichkeiten für das Gegenereignis [mm] $3\cdot [/mm] 3+1=10$. Aber kürzer geht es meiner Ansicht nach nicht.
Die Verteilung für eine Summe von Zufallsvariablen herauszufinden ist im Allgemeinen recht schwer.
> Bei 3) kommt 215/216 raus und bei 4) 91/216. Aber warum
> weiss ich nicht genau.
Hier ist die Fragestellung eine ganz andere. Es geht nicht um die Summe der Augenzahlen, sondern wie oft eine bestimmte Augenzahl vorkommt. Mit Wkt. 1/6 kommt z.B. die Augenzahl 2 (das gilt für jeden einzelnen Wurf). Bezeichnet $X$ die Anzahl der Würfel mit Augenzahl 2, so ist $X$ binomialverteilt mit $n=3$ und $p=1/6$. Gefragt ist
[mm]P(X\le 2)=1-P(X=3)=1- {3\choose 3}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0=1-\frac{1}{216}=\frac{215}{216}[/mm]
> Geht das nicht einfacher? Wir dürfen/müssen für die
> Berechnungen unseren TI Voyage Taschenrechner benutzen. Wir
> arbeiten sonst zum Beispiel auch mit dem TI und der
> Formell: "binompdf(n,p,k)".
Das ist wohl gerade $P(X=k)$ für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit Parametern $n$ und $p$. Obiges Ergebnis für 3) sollte also durch
1-binompdf(3,1/6,3)
zu erhalten sein. Probier doch jetzt noch mal 4) und teile mit, ob's geklappt hat.
Viele Grüße
Brigitte
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Die Formel binompdf funktioniert, aber besser ist binomcdf (kumuliert) also bei Aufgabe 3) wäre das dann binomcdf(3,1/6,2)=0,99537 Ergebnis stimmt 
