Würfel des Herrn Efron < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:18 Mo 29.01.2007 | | Autor: | isalea |
| Aufgabe | Voraussetzungen:
Es gibt drei Würfel (blau, grün, rot), die sog. "Würfel des Herrn Efron", mit den Augenzahlen:
- blau: 2,2,2,2,5,5
- grün: 1,1,4,4,4,4
- rot: 3,3,3,3,3,3
Spielregeln (für 2 Spieler):
Jeder Spieler erhält 6 Münzen. Der 1. Spieler wählt einen der drei Würfel, der 2. einen anderen. Beiden Spieler würfeln gleichzeitig. Wer die grössere Zahl würfelt, erhält vom anderen so viele Münzen, wie die Differenz der Augenzahlen ausmacht.
Diese Schritte werden wiederholt bis ein Spieler keine Münzen mehr hat.
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Ist dieses Spiel fair?
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Di 30.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi isalea,
lies dir mal die Forenregeln durch. Wenn du uns ohne Begrüssung, ohne auch nur geringste Lösungsversuche deinerseits zu zeigen, einfach so ne Aufgabe "hinklatschst", hat keiner besonders Lust dir zu helfen.
Wo liegen denn deine Probleme bei der Aufgabe? Versuch halt erstmal zwei bestimmte Würfel (z.B. Spieler 1:blau, Spieler 2:rot) zu betrachten und überlege, ob dieses Spiel fair ist. Dann rechne mal die anderen Kombinationen durch und überlege, ob Spieler 2 sich einen Vorteil dadurch verschaffen kann, dass er weiss welchen Würfel Spieler 1 gewählt hat.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mi 31.01.2007 | | Autor: | isalea |
Sorry. Tut mir wirklich leid. Ich bin neu hier.
Diese Aufgabe haben wir in der Schule gestellt bekommen. Ich habe aber keine Ahnung, wie ich anfangen soll.
Auf deine Anregungen hin habe ich Folgendes versucht:
- Sagen wir, der 1. Spieler wählt den blauen Würfel. Dann gewinnt der 2. Spieler, wenn er den grünen wählt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/9 und verliert mit 5/9.
So weit bin ich gekommen. Jetzt weiss ich jedoch nicht weiter!
Es wäre sehr nett, wenn du mir helfen könntest.
Danke vielmals schon jetzt .
Isalea
P.s.: Nochmals sorry für die unhöfliche Fragenstellung. Kommt nicht wieder vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Walde |
> Sorry. Tut mir wirklich leid. Ich bin neu hier.
Schon gut, dann heisse ich dich hiermit im Matheraum herzlich willkommen 
>
> Diese Aufgabe haben wir in der Schule gestellt bekommen.
> Ich habe aber keine Ahnung, wie ich anfangen soll.
>
> Auf deine Anregungen hin habe ich Folgendes versucht:
> - Sagen wir, der 1. Spieler wählt den blauen Würfel. Dann
> gewinnt der 2. Spieler, wenn er den grünen wählt, mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 4/9 und verliert mit 5/9.
>
Ok, aber das ist hier noch nicht ganz das, was du brauchst.
> Es wäre sehr nett, wenn du mir helfen könntest.
Sei X der Gewinn von Spieler blau bei einer Runde des Spiels (1 mal gewürfelt), wenn Spieler blau gegen Spieler grün spielt.
Ein Spiel wird als fair bezeichnet, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich Null ist. Kurz, E(X)=0
Das solltest du aus der Schule kennen.
Jetzt musst du E(X) mal ausrechnen und kucken, ob E(X)=0 ist.
Überlege dir dazu, welche Werte für X in Frage kommen können und wie Wahrscheinlich das jeweilige Ereignis ist.
Beispiel:
Wenn Spieler Blau eine 2 hat und Spieler Grün eine 1, dann beträgt der Gewinn von Blau 2-1=1. Die W'keit hierfür beträgt [mm] P(X=1)=\bruch{4}{6}*\bruch{2}{6}=\bruch{2}{9}
[/mm]
Das muss du nun für alle möglichen Werte von X machen und dann in die Formel des Erwartungswertes einsetzen. Die solltet ihr wohl gehabt haben, zur Not steht sie bei dir im Mathebuch und z.B. in der Wikipedia.
Dann weisst du, ob das Spiel zwischen grün und Blau fair ist. Du musst dann noch die anderen 2 Farbkombinationen ausrechnen. Zum Schluss musst du dir noch überlegen, wie das Spiel beeinflusst wird, wenn der 2.Spieler immer nach dem ersten den Würfel wählen darf.
Wenn du partout nicht weiterkommst frag nochmal, aber dann solltest du deine bisherigen Ergebnisse mit Rechenweg posten, damit man leichter Fehler sehen kann.
Viel Erfolg.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Do 01.02.2007 | | Autor: | isalea |
Danke vielmals! Super, dass du so schnell zurückgeschrieben hast!
Ich werde deine Vorschläge so bald wie möglich ausführen!
Danke für die verständliche Beschreibung.
LG Isalea
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| Aufgabe | | Wie sieht denn jetzt die Lösung aus? |
Hallo!
Mir ist grad nicht eingefalln wie ich die Frage anders formulier.
Also ich bin beim durchblättern auf die Aufgabe gestoßen und hab sie mal versucht durchzurechnen, wobei ich nicht glaube dass es stimmt.
Kann ich denn einfach den EW aller Möglichkeiten berechnen, also
X sei
21 mit P(X)= 2/9
24 mit P(X)=4/9
23 mit P(X)=4/6
51 mit P(X)=2/6
54 mit P(X)=2/9
53 mit P(X)=2/6
13 mit P(X)=2/6
43 mit P(X)=4/6
allerdings ist ja dann die Summe aller Warschienlichkeiten [mm] \not= [/mm] 1 also folgere ich daraus dass ich es nicht so berechnen kann oder doch? U ich bin mir da nicht sicher ob in jedem Fall die Summe von P =1 sein muss, deswegen frag ich.
Ja würd ichs so berechnen, krieg ich für E(X)=5 1/3 raus
wäre also nicht fair...
mm stimmt der Gedankengang oder totaler Käse ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Goldschatz,
> Wie sieht denn jetzt die Lösung aus?
> Hallo!
> Mir ist grad nicht eingefalln wie ich die Frage anders
> formulier.
> Also ich bin beim durchblättern auf die Aufgabe gestoßen
> und hab sie mal versucht durchzurechnen, wobei ich nicht
> glaube dass es stimmt.
>
> Kann ich denn einfach den EW aller Möglichkeiten berechnen,
Kommt drauf an,was du mit EW "aller Möglichkeiten" meinst...
> also
> X sei
> 21 mit P(X)= 2/9
X ist in diesem Fall 1
> 24 mit P(X)=4/9
X=-2, da ja ein Verlust von 2 gemacht wird und X den Gewinn zählt.
> 23 mit P(X)=4/6
Halt stop. Hier beginnen die Fehler. Lies genau nach, was die Zufallsvariable X macht. Sie zählt den Gewinn von Spieler Blau, wenn er gegen Spieler grün spielt. Du darfst nur die Kombinationen zählen, die bei Blau gegen Grün vorkommen können. Spieler Grün kann keine 3 werfen...
> 51 mit P(X)=2/6
> 54 mit P(X)=2/9
> 53 mit P(X)=2/6
> 13 mit P(X)=2/6
> 43 mit P(X)=4/6
>
> allerdings ist ja dann die Summe aller Warschienlichkeiten
> [mm]\not=[/mm] 1 also folgere ich daraus dass ich es nicht so
> berechnen kann oder doch?
Nein geht nicht so, siehe meine Erläuterung weiter oben, deine Vermutung war richtig (ist auch schon was Wert )
> U ich bin mir da nicht sicher ob
> in jedem Fall die Summe von P =1 sein muss, deswegen frag
> ich.
Die Summe der W'keiten (von allen möglichen Ausgängen einer Zufallsvariablen) muss immer 1 ergeben, da hast du völlig recht, ansonsten stimmt was nicht.
>
> Ja würd ichs so berechnen, krieg ich für E(X)=5 1/3 raus
>
> wäre also nicht fair...
>
> mm stimmt der Gedankengang oder totaler Käse ;)
>
Dein Gedankengang ist im Prinzip ja richtig. Rechne mal nur mit den Kombinationen von Blau und Grün, dann weisst du ob deren Spiel fair ist. Wie es dann weitergeht, hatte ich ja in meiner Post weiter oben schon geschrieben.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 08.02.2007 | | Autor: | Goldschatz |
Danke!
Werds morgen gleich ausprobiern wenn ich wieder Zeit hab. und werd dann meine Versuche nochmal präsentieren ;)
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| Aufgabe | | stimmt das jetzt so? |
also... nochmal rumgerechnet obs stimmt wer weiß *g*
Ich hab also immer den Gewinn den Spieler 1 machen würde als X genommen
S1 wählt blau S 2 grün:
xi P X
2,1 2/9 1
5,1 1/3 4
2,4 8/9 -2
5,4 2/9 1
E(X)= 2/9+4/3-8/9+2/9
= 8/9
> günstig für S1
S1 blau S2 rot
xi P X
2,3 4/6 -1
5,3 2/6 2
E(X)=0
> faires Spiel
S1grün S2 rot
xi P X
1,3 2/6 -2
4,3 4/6 1
E(X)=0
> faires Spiel
Also schlußfolgere ich daraus, dass es insofern kein faires Spiel ist, weil S1 zuerst wählen darf und eines der 3 Möglichkeiten nicht fair ist.
Wäre jetzt die Bedingung, dass das Spiel so oft durchgespielt wird, bis jede Kombination für jeden Spieler auftreten muss (alsoS1 einaml grün der andere rot, beim nächsten mal S2 grün der andere rot usw.) würde es sich um ein faires Spiel handeln, da es für jeden Spieler einmal ein günstiges Spiel gibt.
UUU ich hoff jetz stimmts ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Walde |
hi,
> stimmt das jetzt so?
> also... nochmal rumgerechnet obs stimmt wer weiß *g*
>
> Ich hab also immer den Gewinn den Spieler 1 machen würde
> als X genommen
>
> S1 wählt blau S 2 grün:
>
> xi P X
> 2,1 2/9 1
> 5,1 1/3 4
Nein,die W'keit,dass eine 5 fällt ist 1/3 und die W'keit,dass eine 1 fällt ist auch 1/3, also [mm] P(X=4)=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}=\bruch{1}{9}
[/mm]
> 2,4 8/9 -2
Nein, [mm] P(X=-2)=\bruch{2}{3}*\bruch{2}{3}=\bruch{4}{9}
[/mm]
> 5,4 2/9 1
>
> E(X)= 2/9+4/3-8/9+2/9
> = 8/9
> > günstig für S1
Entsprechend verändert sich E(X)=2/9+4/9-8/9+2/9=0 faires Spiel.
Bemerkung: eigentlich hätte man so zusammenfassen sollen, dass man schreibt P(X=1)=2/9+2/9 . Ich hatte am Anfang nicht drauf geachtet,ob es noch mehr Zahlenkombinationen gibt,bei denen X=1 ist. So,wie ich es oben stehen hatte P(X=1)=2/9 wäre es also falsch.
Ach noch was, dass deine Tabelle nicht richtig sein kann hättest du auch daran sehen können, dass die Summe der [mm] W'keiten\not=1 [/mm] war
>
> S1 blau S2 rot
>
> xi P X
> 2,3 4/6 -1
> 5,3 2/6 2
>
> E(X)=0
> > faires Spiel
>
> S1grün S2 rot
>
> xi P X
> 1,3 2/6 -2
> 4,3 4/6 1
>
> E(X)=0
> > faires Spiel
>
> Also schlußfolgere ich daraus, dass es insofern kein faires
> Spiel ist, weil S1 zuerst wählen darf und eines der 3
> Möglichkeiten nicht fair ist.
Da auch Grün gegen Blau fair ist, ist das Spiel insgesamt auch fair.
> Wäre jetzt die Bedingung, dass das Spiel so oft
> durchgespielt wird, bis jede Kombination für jeden Spieler
> auftreten muss (alsoS1 einaml grün der andere rot, beim
> nächsten mal S2 grün der andere rot usw.) würde es sich um
> ein faires Spiel handeln, da es für jeden Spieler einmal
> ein günstiges Spiel gibt.
>
> UUU ich hoff jetz stimmts ;)
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Goldschatz |
hmpfff dummbin... irgendwie stell ich mich ja wirklich doof!
naja danke walde... werd das ganze jetz solang durchrechnen bis stimmt ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Walde |
Die anderen waren ja richtig. Also alles halb so schlimm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 So 11.02.2007 | | Autor: | Goldschatz |
oje ojee und schon wieder hat es am kopfrechnen gehangen, ich lglaub ich lass es und stell auf taschenrechner um ;)
naja man muss auch dazu sagen, dass ich an dem tag krank war im bett lag und es 8 uhr morgens war als ich die aufgabe durchgerechnet hab ;)
jetzt hab ichs auf alle fälle raus bekommen *uff* doch nicht so dumm bin lol...
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