Würfelparadoxon < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 Do 05.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. ich habe für teil (ii) gar keine Idee wie das gehen soll. Wenn man googelt, dann findet man auch wenige Beispiele, aber nicht das was ich brauche. *denk
Aufgabe: Würfelparadox: Zwei Würfel W1 und W2 seien wie folgt beschriftet:
W1 : 6 3 3 3 3 3 W2 : 5 5 5 2 2 2
Anton und Brigitte würfeln mit W1 beziehungsweise W2. Wer die höhere Augenzahl erzielt, hat gewonnen.
(i) Man zeige, dass Anton die besseren Gewinnchancen hat.
(ii) Brigitte bemerkt dies und schlägt Anton vor : [mm] \Ich [/mm] beschrifte jetzt einen dritten Würfel. Du darfst dir
dann einen beliebigen Würfel aussuchen, ich wähle mir einen der beiden anderen". Kann Brigitte den
dritten Würfel so beschriften, dass sie in jedem Fall die besseren Gewinnchancen hat? Wenn ja, dann
gebe man eine solche Beschriftung an und beweise, dass nun Brigitte die besseren Gewinnchancen hat.
Wenn dies nicht der Fall ist, so beweise man dies ebenfalls.
Teil (i) habe ich wie gesagt. (Zur Kontrolle P(A) = "Anton gewinnt" = 7/12 und P(B) = "Brigitte gewinnt" = 5/12, stimmt das?)
Teil (ii) finde ich irgendwie keinen Ansatz, weil ich davon ausgehe, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eine Relation auf R definiert, die transitiv ist.
Wenn also P(W1) = "Würfel1 gewinnt" > P(W2) > P(W3) gilt, dann kann doch nicht P(W3) > P(W1) sein, oder? So etwas stand aber auf der einen Seite, die ich da gefunden habe...
Kann mir da jemand helfen?
Gruß Micha 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Micha,
> Hallo!
>
> Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. ich habe
> für teil (ii) gar keine Idee wie das gehen soll. Wenn man
> googelt, dann findet man auch wenige Beispiele, aber nicht
> das was ich brauche. *denk
>
> Aufgabe: Würfelparadox: Zwei Würfel W1 und W2 seien wie
> folgt beschriftet:
> W1 : 6 3 3 3 3 3 W2 : 5 5 5 2 2 2
> Anton und Brigitte würfeln mit W1 beziehungsweise W2. Wer
> die höhere Augenzahl erzielt, hat gewonnen.
> (i) Man zeige, dass Anton die besseren Gewinnchancen hat.
> (ii) Brigitte bemerkt dies und schlägt Anton vor : [mm]\Ich[/mm]
> beschrifte jetzt einen dritten Würfel. Du darfst dir
> dann einen beliebigen Würfel aussuchen, ich wähle mir
> einen der beiden anderen". Kann Brigitte den
> dritten Würfel so beschriften, dass sie in jedem Fall die
> besseren Gewinnchancen hat? Wenn ja, dann
> gebe man eine solche Beschriftung an und beweise, dass nun
> Brigitte die besseren Gewinnchancen hat.
> Wenn dies nicht der Fall ist, so beweise man dies
> ebenfalls.
>
> Teil (i) habe ich wie gesagt. (Zur Kontrolle P(A) = "Anton
> gewinnt" = 7/12 und P(B) = "Brigitte gewinnt" = 5/12,
> stimmt das?)
Das habe ich auch.
>
> Teil (ii) finde ich irgendwie keinen Ansatz, weil ich davon
> ausgehe, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eine Relation auf
> R definiert, die transitiv ist.
>
> Wenn also P(W1) = "Würfel1 gewinnt" > P(W2) > P(W3) gilt,
> dann kann doch nicht P(W3) > P(W1) sein, oder? So etwas
> stand aber auf der einen Seite, die ich da gefunden habe...
Doch, solche Würfel gibt es. Ein Beispiel, allerdeings mit 4 Würfeln findest du unter
http://www.mathworld.wolfram.com/EfronsDice.html
>
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Do 05.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> >
> > Teil (ii) finde ich irgendwie keinen Ansatz, weil ich davon
> > ausgehe, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß eine Relation auf
> > R definiert, die transitiv ist.
> >
> > Wenn also P(W1) = "Würfel1 gewinnt" > P(W2) > P(W3) gilt,
> > dann kann doch nicht P(W3) > P(W1) sein, oder? So etwas
> > stand aber auf der einen Seite, die ich da gefunden habe...
>
> Doch, solche Würfel gibt es. Ein Beispiel, allerdeings mit
> 4 Würfeln findest du unter
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathworld.wolfram.com/EfronsDice.html
> >
> Gruß
> Sigrid
Auf der Seite war ich ja, wie ich schon beschrieben habe... Aber wie kann ich jetzt einen Würfel zu meinen 2 vorgegebenen konstruieren?
Die Beispiele dort haben eine Grundmenge von 1..12 meine ist nur von 1... 6 *denk
Ein Kommilitone meinte bei 6 Zahlen gäbe es "nur" [mm] 6^6 [/mm] Möglichkeiten, die man ja durchprobieren könnte... Gibt es vielleicht eine Idee die mir weiterhelfen könnte, die das verkürzen kann?
Gruß der *verzweifelte* Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Micha,
>
> Ein Kommilitone meinte bei 6 Zahlen gäbe es "nur" [mm]6^6[/mm]
> Möglichkeiten, die man ja durchprobieren könnte... Gibt es
> vielleicht eine Idee die mir weiterhelfen könnte, die das
> verkürzen kann?
Ich probiere folgende Idee.
Der neue Würfel müsste doch etliche 4en haben, damit er eine gute Chance gegen Würfel1 hat. Gleichzeitig muss er aber gegen Würfel2 geringere Chancen haben. Das sollte doch zu finden sein.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Do 05.05.2005 | | Autor: | Micha |
Also bei W3 = 4 4 4 4 4 4
erhalte ich, dass W3 gegen W1 gewinnt, aber gegen W2 nur unentschieden...
Das Problem ist nun, wenn ich statt einer 4 eine 5 oder 6 nehme, dann erhalte ich doch auch mal unentschieden, und ich weiss nicht, ob das zugelassen war...
Gruß Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Micha
> Also bei W3 = 4 4 4 4 4 4
>
> erhalte ich, dass W3 gegen W1 gewinnt, aber gegen W2 nur
> unentschieden...
>
> Das Problem ist nun, wenn ich statt einer 4 eine 5 oder 6
> nehme, dann erhalte ich doch auch mal unentschieden, und
> ich weiss nicht, ob das zugelassen war...
Ich denke nein, aber du hast ja schon eine Lösung gefunden. Aber es gibt noch mehr.
Vielleicht gibt dir Brigitte noch einen allgemeinen Ansatz.
Schau einfach noch mal rein.
>
> Gruß Micha
|
|
|
| |
|
Lieber Micha!
Leider war so gegen 10.00 Uhr ziemlich lange Sigrids Antwort in Bearbeitung, so dass ich dachte, meine Antwort auf Deine Frage wäre überflüssig. Jetzt stelle ich Dir trotzdem noch mal meine Idee dazu vor, wie man etwas systematischer vorgehen kann, denn ich habe den Eindruck, dass Du durch Ausprobieren auf die Lösung gekommen bist (was ja auch legitim ist)
Der 3. Würfel soll mit Wahrscheinlichkeit [mm] $p_i$ [/mm] die Augenzahl $i$ ergeben mit den Nebenbedingungen
[mm] $p_1+\ldots+p_6=1$, $p_i\in\{k/6:k\in\{0,1,\ldots,6\}\}$. [/mm]
Wenn nun Würfel 3 besser als Würfel 2 sein soll, muss gelten
[mm] $P(W_2 \mbox{ besser als }W_3)=\frac{1}{2}\,p_1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^4 p_i>\frac{1}{2}$,
[/mm]
wobei da dieselbe Rechnung dahintersteckt, wie Du mit vorgegebenen Würfeln die Wahrscheinlichkeit bestimmt hast, dass der eine gegen den anderen gewinnt. Aus dieser Ungleichung folgt (unter Beachtung der ersten Gleichung)
[mm] $p_1>p_5+p_6$
[/mm]
Analog erhält man
[mm] $P(W_3 \mbox{ besser als }W_1)=\frac{5}{6}\sum\limits_{i=4}^6 p_i>\frac{1}{2}$,
[/mm]
woraus sich
[mm] $p_4+p_5+p_6>\frac{3}{5}$
[/mm]
ergibt. Natürlich hast Du nun noch einige Freiheiten, um die beiden Ungleichungen samt der Nebenbedingungen an die [mm] $p_i$ [/mm] von oben zu erfüllen. Die Lösung $p=(1/3,0,0,2/3,0,0)$ entspricht Deinem Würfel 444411. Probier mal aus, auf welche Lösungen Du so noch kommst.
Hoffe, ich konnte Dir noch etwas weiterhelfen.
Liebe Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:58 Sa 27.04.2013 | | Autor: | HannesR |
Hallo Brigitte und andere Leser :)
erstmal danke für die super Erklärung!
ich habe zwar angegeben
An einer Antwort bin ich nach 48 Stunden nicht mehr interessiert,
aber bitte in jedem Fall antworten!!!
Vielleicht könnt ihr mir bei meinem Denkfehler helfen, weil irgendwas scheine ich da zu übersehen.
> Der 3. Würfel soll mit Wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm] die
> Augenzahl [mm]i[/mm] ergeben mit den Nebenbedingungen
>
> [mm]p_1+\ldots+p_6=1[/mm], [mm]p_i\in\{k/6:k\in\{0,1,\ldots,6\}\}[/mm].
>
> Wenn nun Würfel 3 besser als Würfel 2 sein soll, muss
> gelten
>
> [mm]P(W_2 \mbox{ besser als }W_3)=\frac{1}{2}\,p_1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^4 p_i>\frac{1}{2}[/mm],
>
> wobei da dieselbe Rechnung dahintersteckt, wie Du mit
> vorgegebenen Würfeln die Wahrscheinlichkeit bestimmt hast,
> dass der eine gegen den anderen gewinnt. Aus dieser
> Ungleichung folgt (unter Beachtung der ersten Gleichung)
>
> [mm]p_1>p_5+p_6[/mm]
>
ich verstehe nich recht, wie Du von
$ [mm] P(W_2 \mbox{ besser als }W_3)=\frac{1}{2}\,p_1+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^4 p_i>\frac{1}{2} [/mm] $
auf
[mm]p_1>p_5+p_6[/mm]
kommst. Wenn Doch [mm] \sum\limits_{i=1}^4 p_i
[/mm]
da hab ich dann
[mm] \frac{1}{2}\,p_1+\frac{1}{2}\,(p_1+p_2+p_3+p_4) [/mm] > [mm] \frac{1}{2}\
[/mm]
bzw
[mm] p_1+\frac{1}{2}\,p_2+\frac{1}{2}\,p_3+\frac{1}{2}\,p_4 [/mm] > [mm] \frac{1}{2}\
[/mm]
bzw
[mm] p_1 [/mm] > [mm] \frac{1}{2}\ -\frac{1}{2}\,p_2-\frac{1}{2}\,p_3-\frac{1}{2}\,p_4 [/mm]
> Analog erhält man
>
> [mm]P(W_3 \mbox{ besser als }W_1)=\frac{5}{6}\sum\limits_{i=4}^6 p_i>\frac{1}{2}[/mm],
>
> woraus sich
>
> [mm]p_4+p_5+p_6>\frac{3}{5}[/mm]
>
Hier hab ich das selbe! :)
Beste Grüße
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
