Würfelproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Gruppe von n Spielern nehmen an einem Spiel teil. Jeder Spieler würfelt einmal mit einem fairen Würfel.
1. Für jedes Spielerpaar, welches die gleiche Zahl würfelt, bekommt die Gruppe 1 EUR. Wie hoch ist der faire Einsatz für dieses Spiel, den die Gruppe zahlen müsste?
2. Wie hoch ist die faire Prämie für dieses Spiel, wenn die Gruppe für jedes Spielerpaar, welches die gleiche Zahl würfelt, die gewürfelte Zahl als Gewinn in EUR bekommt? |
guten abend liebes forum!
mich wurmt diese aufgabe nun schon seit stunden.
ich fange mal bei 1. an.
ich weiß nicht wie ich den fairen einsatz berechnen soll. ich weiß, dass wir n spieler haben, und es muss ja [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] sein, damit meine ich den Binominalkoeffizienten, nicht einen Vektor, ich weiß gerade nicht wie man hier den binominalkoeffizienten richtig schreibt... ich bin mal davon ausgegangen, dass man hier den erwartungswert berechnen muss, damit man ein maß dafür hat, was die spieler einzahlen müssen, damit das spiel fair ist. nur wie berechne ich nun den erwartungswert?
für etwas hilfe wäre ich dankbar!
lg tanja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tanja,
um den Erwartungswert zu berechnen, brauchst du natürlich die Gewinnwahrscheinlichkeiten. Die zu berechnen ist hier die eigentliche Herausforderung.
Aber angenommen du hast die schon (nennen wir sie [mm] p_{Gewinn} [/mm] und [mm] p_{verloren}), [/mm] dann ist der Erwartungswert des Gewinnes:
[mm] E=(1€-Einsatz)\cdot p_{Gewinn}+Einsatz\cdot p_{verloren}
[/mm]
Dieser Erwartungswert sollte bei einem fairen Spiel 0 sein. Brauchst dann nur noch die Gleiung nach $Einsatz$ umstellen.
Beispiel für n=1:
Nun ist die Gewinnwahrscheinlichkeit [mm] p_{Gewinn}=1.
[/mm]
Der Einsatz muss demnach auch 1€ sein, da jedes Spiel gewonnen wird.
Das ganze klingt vielleicht etwas sonderbar, aber wenn du am Ende eine von $n$ abhängige Formel hast, kannst du diesen Sonderfall ja nachrechnen.
Den Binomialkoeffizienten brauchst du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Allerdings fehlen da noch ein paar Faktoren. Allein dieser Koeffizient gibt ja nur eine Anzahl von Kombinationsmöglichkeiten an.
Genug der Anregungen erstmal. Kannst gern nochmal konkreter nachfragen.
Viel Erfolg,
[mm] \pi\mathrm{-Roland.}
[/mm]
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Hallo pi-roland!
danke für deine antwort, das hat mir schon etwas weitergeholfen.
ich habe nun mal versucht die wahrscheinlichkeiten zu berechnen. ich habe dabei für n=2 zB. alle tupel aufgestellt, die jeweils zwei gleiche zahlen enthalten. dann ist die wahrscheinlichkeit dass bei zwei spielern eine zahl doppelt gewürfelt wird [mm] 1-(\bruch{30}{36})^{2}. [/mm] Das gleiche habe ich dann für n=3 [mm] 1-(\bruch{192}{216})^3 [/mm] bzw. für n=4 müsste es [mm] 1-(\bruch{1080}{1296})^{4} [/mm] sein. bin ich da grundsätzlich auf dem richtigen weg? weil irgendwie habe ich bislang keine regel entdecken können, nachdenen sich die wahrscheinlichkeit verhält.
lg tanja
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Hallo Tanja,
> Hallo pi-roland!
> danke für deine antwort, das hat mir schon etwas
> weitergeholfen.
> ich habe nun mal versucht die wahrscheinlichkeiten zu
> berechnen. ich habe dabei für n=2 zB. alle tupel
> aufgestellt, die jeweils zwei gleiche zahlen enthalten.
> dann ist die wahrscheinlichkeit dass bei zwei spielern eine
> zahl doppelt gewürfelt wird [mm]1-(\bruch{30}{36})^{2}.[/mm] Das
Wieso quadrierst du die [mm] $\frac{30}{36}$ [/mm] noch? Es gibt 6 Paare bei 36 möglichen Kombinationen.
[mm] p(n=2)=\frac{6}{36}
[/mm]
Für $n=3$ ist das ähnlich. Betrachtet man vorerst nur den 1er-Pasch, ist die Wahrscheinlichkeit dafür: [mm] $p(n=3,x=1)=\frac{3\cdot5}{216}$
[/mm]
Die $3$ im Zähler steht für die Anzahl der Variationen das 1er-Pärchen anzuordnen, die $5$, weil zu dem Paar noch eine andere Zahl gewürfelt werden muss. Vergessen wurde nun der Fall, dass 3 1er gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt [mm] \bruch{1}{216} [/mm] - der ausgezahlte Gewinn ist aber auch dreimal so hoch.
Da nicht nur bei 1er-Paaren gewonnen wird, sondern auch bei 2,3,... multipliziert man noch mit $6$. Also komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von:
[mm] $p(n=3)=\frac{6\cdot(3\cdot5)}{216}=\frac{90}{216}$
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für einen 3er-Pasch (bei dem der Gewinn höher ist) liegt bei [mm] $p=\frac{6}{216}$.
[/mm]
Vielleicht kannst du ja den Weg für $n=4$ hier aufschreiben, damit er nachvollziehbar ist. Wenn du dir Gedanken machst, wie man auf jede einzelne Zahl bei diesem Weg kommt, dürfte eine Verallgemeinerung auch nicht weiter schwer sein.
In diesem Sinne viel Erfolg,
[mm] \pi\mathrm{-Roland.}
[/mm]
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> Ein Gruppe von n Spielern nehmen an einem Spiel teil. Jeder
> Spieler würfelt einmal mit einem fairen Würfel.
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> 1. Für jedes Spielerpaar, welches die gleiche Zahl
> würfelt, bekommt die Gruppe 1 EUR. Wie hoch ist der faire
> Einsatz für dieses Spiel, den die Gruppe zahlen müsste?
> 2. Wie hoch ist die faire Prämie für dieses Spiel, wenn
> die Gruppe für jedes Spielerpaar, welches die gleiche Zahl
> würfelt, die gewürfelte Zahl als Gewinn in EUR bekommt?
Hallo Tanja,
diese Aufgabenstellung scheint mir erklärungsbedürftig.
Machen wir mal ein Beispiel mit n=10 und den Würfel-
ergebnissen
4,6,1,1,5,1,5,6,5,5
Wie hoch wäre die Auszahlung bei diesem Ergebnis
bei jeder der beiden Spielvarianten ?
(mein Ergebnis:
bei Variante 1: Auszahlung 10€
bei Variante 2: Auszahlung 39€
es gäbe auch eine Betrachtungsweise
mit noch höheren Auszahlungen)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Fr 06.01.2012 | | Autor: | tanjaxz92 |
hallo!
variante 1 wäre richtig.
zwei leute würfeln die 6 -> bildet eine gruppe, also 1 EUR
drei würfeln die 1 -> bildet drei gruppen, also 3 EUR
vier würfeln die 4 -> bildet sechs gruppen, also 6 EUR
und dann insgesamt 10 EUR.
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> hallo!
> variante 1 wäre richtig.
> zwei leute würfeln die 6 -> bildet eine gruppe, also 1 EUR
> drei würfeln die 1 -> bildet drei gruppen, also 3 EUR
> vier würfeln die 4 -> bildet sechs gruppen, also 6 EUR
> und dann insgesamt 10 EUR.
Weil aber in der Aufgabenstellung nicht genau erklärt
wird, wie man das mit den "Paaren" handhaben solle,
wären auch andere Interpretationen möglich:
A) "naiv" (disjunkte Paare, so wie z.B. beim Tanzen ...)
zwei leute würfeln die 6 -> ein Paar, also 1 EUR
drei würfeln die 1 -> ein Paar (eine Person bleibt übrig), also 1 EUR
vier würfeln die 4 -> zwei Paare, also 2 EUR
und dann insgesamt 4 EUR.
B) "mathematisch" im Sinne von geordneten Paaren <x,y>,
wobei x=y nicht verboten ist und ferner <y,x> ≠ <x,y> falls x≠y
einmal die 4 -> 1 Paar
drei würfeln die 1 -> 9 Paare
vier würfeln die 4 -> 16 Paare
und dann insgesamt 26 EUR.
LG Al-Chw.
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Für ein einzelnes Spielerpaar (i,j) ist der Erwartungswert des gewinns [mm] g_{ij} [/mm] (bei Variante 1.) gleich 1/6 Euro (gleich der wahrscheinlichkeit, dass zwei Würfel die gleiche Augenzahl zeigen mal 1 Euro).
Der Gesamtgewinn g der Gruppe ist einfach die Summe über alle [mm] g_{ij} [/mm] und damit ist der Erwartungswert von g die Summe der Erwartungswerte der [mm] g_{ij} [/mm] (dies ist die Linearität des Erwartungswertes, dazu brauchen die betrachteten Ereignisse nicht unabhängig zu sein). Somit ist der faire Einsatz
[mm] E(g)=\sum_{i
Bei Variante 2 ist die Rechnung ähnlich mit [mm] E(g_{ij})=\frac{1}{6}*3,5=\frac{7}{12}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Fr 06.01.2012 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
ich verstehe es zwar nicht ganz, aber für $n=2$ und $n=3$ komme ich auf das gleiche Ergebnis. Immerhin.
Bis demnächst,
[mm] \pi\mathrm{-Roland.}
[/mm]
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