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Forum "Uni-Stochastik" - Würfelwahrscheinlichkeit
Würfelwahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Würfelwahrscheinlichkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Do 23.10.2008
Autor: JustSmile

Aufgabe
Es werden 12 Würfel geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt jede mögliche Augenzahl doppelt auf?

Also wir haben über diese Aufgabe nun schon zweit Tage nachgedacht und rumgefragt und haben nun noch 5 Tage bis zur Abgabe. Das ist unser erster Übungszettel in Stochastik und wir sind uns hier überhaupt nicht sicher, da uns unser Ergebnis ziemlich unwahrscheinlich vorkommt, allerdings den Fehler noch nicht gefunden haben.

Erstmal ist dies doch ein Laplace-Experiment, wenn ich mir bei einem Wurf die dort liegende Kombination von Augenzahlen angucke.

Wir haben uns unseren Ergebnisraum unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Würfel wie folgt definiert:

[mm] W:=\{1,2,3,4,5,6\}^{12} [/mm]

Als Wahrscheinlichkeitsverteilung P zu p über W gilt, da es sich um ein Laplace-Experiment handelt:

[mm] P(E)=\bruch{|E|}{|W|} [/mm]

Für obiges Ereignis gelten nun alle möglichen Kombinationen (unter Berücksichtigung der Würfelreihenfolge) der Zahlen 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6.

Es muss nun also gelten:

[mm] |E|=12!\approx480*10^{6} [/mm]
[mm] |W|=6^{12}\approx2,18*10^{9} [/mm]

Es folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

[mm] P(E)=\bruch{|E|}{|W|}=\bruch{480*10^{6}}{2,18*10^{9}}\approx0,22 [/mm]

Aber das ist von rein logischen Gefühl her eine viel zu große Wahrscheinlichkeit. Das heißt ja, dass jeder fünfte Wurf obige Kombination darstellt. Leider habe ich keine 12 Würfel, um das Experiment auszuprobieren.

Nun hoffe ich auf eure Hilfe! Ziemlich peinlich eigentlich, bei einer so banalen Aufgabe zu scheitern - aber alle Anderen haben wir schon fertig :)

Eine weitere Idee zur Berechnung, die ich allerdings gleich wieder verworfen habe, da sie meiner Meinung nach falsch ist, ist folgende:
Ich berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zwei gleiche Zahlen (z.B. Einsen) zu würfeln und genau 10 mal andere. Und Verfahre dann mit den übrig gebliebenen Würfeln ebenfalls so, versuche also dann genau zwei gleiche und 8 andere zu würfeln etc... Weshalb das meiner Meinung nach falsch ist, ist die Tatsache, dass ich bei dieser Variante ja mehr als nur einmal 12 Würfel werfe... Es ergäbe sich als Rechnung jedenfalls:

[mm] (\bruch{1}{6})^{2}*\summe_{n=1}^{5}(\bruch{5}{6})^{2n} [/mm]


MfG und Danke schonmal!, Tobias



PS: Nur prinzipiell noch eine Frage: Ist dieses Experiment eigentlich äquivalent zu dem, dass ich mit sechs Würfeln jede Augenzahl genau einmal werfe?

        
Bezug
Würfelwahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Do 23.10.2008
Autor: abakus


> Es werden 12 Würfel geworfen. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit tritt jede mögliche Augenzahl doppelt
> auf?
>  Also wir haben über diese Aufgabe nun schon zweit Tage
> nachgedacht und rumgefragt und haben nun noch 5 Tage bis
> zur Abgabe. Das ist unser erster Übungszettel in Stochastik
> und wir sind uns hier überhaupt nicht sicher, da uns unser
> Ergebnis ziemlich unwahrscheinlich vorkommt, allerdings den
> Fehler noch nicht gefunden haben.
>  
> Erstmal ist dies doch ein Laplace-Experiment, wenn ich mir
> bei einem Wurf die dort liegende Kombination von
> Augenzahlen angucke.
>  
> Wir haben uns unseren Ergebnisraum unter Berücksichtigung
> der Reihenfolge der Würfel wie folgt definiert:
>  
> [mm]W:=\{1,2,3,4,5,6\}^{12}[/mm]
>  
> Als Wahrscheinlichkeitsverteilung P zu p über W gilt, da es
> sich um ein Laplace-Experiment handelt:
>  
> [mm]P(E)=\bruch{|E|}{|W|}[/mm]
>  
> Für obiges Ereignis gelten nun alle möglichen Kombinationen
> (unter Berücksichtigung der Würfelreihenfolge) der Zahlen
> 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6.
>  
> Es muss nun also gelten:
>  
> [mm]|E|=12!\approx480*10^{6}[/mm]
>  [mm]|W|=6^{12}\approx2,18*10^{9}[/mm]
>  
> Es folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
>  
> [mm]P(E)=\bruch{|E|}{|W|}=\bruch{480*10^{6}}{2,18*10^{9}}\approx0,22[/mm]
>  
> Aber das ist von rein logischen Gefühl her eine viel zu
> große Wahrscheinlichkeit. Das heißt ja, dass jeder fünfte
> Wurf obige Kombination darstellt. Leider habe ich keine 12
> Würfel, um das Experiment auszuprobieren.
>  
> Nun hoffe ich auf eure Hilfe! Ziemlich peinlich eigentlich,
> bei einer so banalen Aufgabe zu scheitern - aber alle
> Anderen haben wir schon fertig :)
>  
> Eine weitere Idee zur Berechnung, die ich allerdings gleich
> wieder verworfen habe, da sie meiner Meinung nach falsch
> ist, ist folgende:
>  Ich berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zwei
> gleiche Zahlen (z.B. Einsen) zu würfeln und genau 10 mal
> andere. Und Verfahre dann mit den übrig gebliebenen Würfeln
> ebenfalls so, versuche also dann genau zwei gleiche und 8
> andere zu würfeln etc... Weshalb das meiner Meinung nach
> falsch ist, ist die Tatsache, dass ich bei dieser Variante
> ja mehr als nur einmal 12 Würfel werfe... Es ergäbe sich
> als Rechnung jedenfalls:
>  
> [mm](\bruch{1}{6})^{2}*\summe_{n=1}^{5}(\bruch{5}{6})^{2n}[/mm]
>  
>
> MfG und Danke schonmal!, Tobias

Hallo
Anzahl der mögliche Fälle (mögliche Reihefolgen gewürfelter Augenzahlen): [mm] 6^{12} [/mm]
Anzahl der günstigen Fälle:
Das ist die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen, bei der jede der 6 Zahlen genau zweimal vorkommt.
Hier machen wir eine Trick. Wir nehmen an, dass es nicht nur 6, sondern 12 mögliche Würfelergebnisse gibt: 1A, 1B, 2A, 2B, .., 6A, 6B (von denen jedes genau einmal vorkommen soll.
Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es für die Anordnung dieser 12 Ergebnisse: offensichtlich 12! .
Aber: die beiden Wurfergebnisse 1A und 1B sind ja in Wirklichkeit nicht zu unterscheiden, das heißt,
eine Wurfreihenfolge 1A- ...-...-1B-..... und eine Wurfreihenfolge 1B- ...-...-1A-.....  wurden von uns als zwei verschedene Reihenfolgen gezählt, obwohl es nur EINE Reihenfolge 1- ...-...-1-.....  ist. Gleiches gilt für die Nichtuntersheidbarkeit der "Würfe" 2A und 2B, .... 6A und 6B.
Für die Ermittlug der günstigen Fälle muss also 12! insgesamt sechsmal halbiert werden, um die ganzen Doppeltzählungen zu berücksichtigen.
Gruß Abakus





>  
>
>
> PS: Nur prinzipiell noch eine Frage: Ist dieses Experiment
> eigentlich äquivalent zu dem, dass ich mit sechs Würfeln
> jede Augenzahl genau einmal werfe?


Bezug
                
Bezug
Würfelwahrscheinlichkeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:12 Do 23.10.2008
Autor: JustSmile

Vielen Danke - da liegt unser Fehler! Vom Prinzip her haben wir uns das ja auch gedacht mit den 1a 1b 2a 2b und so, aber dass wir die ja dann doppelt haben, da sind wir natürlich nicht drauf gekommen!

Allerdings glaube ich das mit dem sechs mal halbieren nicht. dort kommt dann eine nicht natürliche zahl heraus, und das kann nicht sein... ich werde gleich mal weiterüberlegen, wie man |E| ausrechnen kann, bzw zuerst einmal E richtig konkret angibt!

Schönen Abend noch...

Bezug
                        
Bezug
Würfelwahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Do 23.10.2008
Autor: JustSmile

ai - hat sich alles geklärt, ich kann nur nicht rechnen und nachdenken!^^

natürlich muss ich 12! sechmal halbieren, ich habe natürlich im taschenrechner sechmal gesechstelt... wie dumm von mir - aber ist jetzt klar! danke nochmal!

Bezug
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