Wurzel? < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Nachdem der Mathemitkunterricht an meiner Schule leider mehr schlecht als recht war, hätte ich hie einige Fragen zum Thema Wurzelziehen:
Angabe1: [mm] x^2 [/mm] = 4
Meine Lösung wäre x = sqrt(4), x = +2, x = -2
Ist das richtig so, oder müsste man eher schreiben |x| = sqrt(4) --> x =+2, x = -2?
Angabe2: x = sqrt(4)
Meine Lösung wäre x = +2.
Warum wird hier die Wurzel anders behandelt als oben? Oder gilt oben doch die Möglichkeit mit Betrag?
Ist Wurzelziehen überhaupt eine Äquivalenzumuformung?
Verwirrte Grüße, somnosheep
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Somnosheep,
wenn du die Wurzel aus 4 ziehst erhälst du, wie du bereits richtig bemerkt hast, 2 und -2. Das liegt daran, dass du, wenn du 2 und -2 quadrierst wieder auf die 4 kommst.
Außerdem ist radizieren, wie das Gegenteil potenzieren, eine Äquivalenzumformung.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Do 29.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
> wenn du die Wurzel aus 4 ziehst erhälst du, wie du bereits
> richtig bemerkt hast, 2 und -2.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\wurzel{4} [/mm] \ = \ +2$ , Punkt ... keine weiteren Lösungen.
> Außerdem ist radizieren, wie das Gegenteil potenzieren,
> eine Äquivalenzumformung.
Das wäre mir absolut neu! Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 03:53 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Somnosheep,
>
> wenn du die Wurzel aus 4 ziehst erhälst du, wie du bereits
> richtig bemerkt hast, 2 und -2.
[mm] $\sqrt{4}$ [/mm] ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat [mm] $4\,$ [/mm] ergibt. [mm] $\sqrt{4}=-2$ [/mm] ist Humbug (da $-2 < [mm] 0\,$) [/mm] oder [mm] $\sqrt{4}=\pm2$ [/mm] ist noch mehr Humbug, da dann die [mm] $\sqrt{4}$ [/mm] nicht eindeutig wäre.
> Das liegt daran, dass du,
> wenn du 2 und -2 quadrierst wieder auf die 4 kommst.
Das ist die Begründung dafür, dass für reelle [mm] $x\,$ [/mm] die Gleichung [mm] $x^2=4$ [/mm] die Lösungsmenge [mm] $\IL=\{\pm2\}=\{\pm\sqrt{4}\}$ [/mm] hat. Aber i.a. ist [mm] $x^2=4$ [/mm] nicht gleichwertig mit [mm] $x=\sqrt{4}\,.$
[/mm]
> Außerdem ist radizieren, wie das Gegenteil potenzieren,
> eine Äquivalenzumformung.
I.A. eben nicht, nur unter Zusatzvoraussetzungen.
> Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Leider hast Du hier genau das falsche erzählt. Sorry, ist aber so.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 10:27 Fr 30.07.2010 | | Autor: | mathestuden |
Hallo Marcel,
ich sehe keinen Fehler in meiner Aussage. Ich gebe dir ein Beispiel zu meiner Aussage:
[mm]x^2=9\gdw x_1=3\wedge x_2=-3[/mm],da [mm]3^2=9\wedge\left( -3 \right)^2=9\Rightarrow\IL:=\left\{ 3,-3 \right\}[/mm]
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 15:08 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich sehe keinen Fehler in meiner Aussage. Ich gebe dir ein
> Beispiel zu meiner Aussage:
>
> [mm]x^2=9\gdw x_1=3\wedge x_2=-3[/mm],da [mm]3^2=9\wedge\left( -3 \right)^2=9\Rightarrow\IL:=\left\{ 3,-3 \right\}[/mm]
1.) Du hast gesagt:
> wenn du die Wurzel aus 4 ziehst erhälst du, wie du bereits richtig bemerkt hast, 2 und -2
Das ist falsch. Es ist [mm] $\sqrt{4}=\bf{+}2\,$!!!
[/mm]
Hier übrigens auch mal ein Bild dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
2.) Du hast geschrieben
> Außerdem ist radizieren, wie das Gegenteil potenzieren, eine Äquivalenzumformung.
Auch das ist falsch. Dein obiges Beispiel belegt diese falsche Behauptung auch nicht. Deiner Behauptung nach müßte gelten:
[mm] $$x=\sqrt{9} \gdw x^2=9\,.$$
[/mm]
Die Gleichung [mm] $x=\sqrt{9}$ [/mm] ist aber gleichbedeutend mit [mm] $x=3\,$ [/mm] wegen $3 [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $3^2=9\,,$ [/mm] hier ist also [mm] $\IL=\{3\}\,.$
[/mm]
Du selbst hast oben nur nachgewiesen, dass [mm] $x^2=9$ [/mm] eben nicht [mm] $\IL=\{3\}$ [/mm] hat, sondern [mm] $\IL=\{\pm \sqrt{9}\}=\{-3,\;+3\}\,.$
[/mm]
Es kann natürlich auch sein, dass wir einander missverstehen oder aneinander vorbeireden. Aber die Aussage "radizieren ist eine Äquivalenzumformung" ist natürlich auch interpretationsbedürftig. Bzgl. was ist denn "die radizierte Gleichung" eigentlich äquivalent?
Beste Grüße,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:34 Mi 04.08.2010 | | Autor: | mathestuden |
Hallo Marcel,
ich glaube auch, dass wir das selbe meinen. Da wir ein x² haben dachte ich, es sei [mm]\pm\wurzel{}[/mm], dabei habe ich wohl übersehen das du zwischen + und - nochmal unterscheidest.
Außerdem ist die Wurzel bei jeder Gleichung ein Operator wie das Gegenteil: Die Potenz.
Bsp.:
(*) (**)
x=x <=> x²=x²<=>x=x
(*)potenziert zum Quadrat
(**) Quadratwurzelgezogen
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:40 Mi 04.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich glaube auch, dass wir das selbe meinen. Da wir ein x²
> haben dachte ich, es sei [mm]\pm\wurzel{}[/mm], dabei habe ich wohl
> übersehen das du zwischen + und - nochmal unterscheidest.
>
> Außerdem ist die Wurzel bei jeder Gleichung ein Operator
> wie das Gegenteil: Die Potenz.
>
> Bsp.:
> (*) (**)
> x=x <=> x²=x²<=>x=x
>
> (*)potenziert zum Quadrat
>
> (**) Quadratwurzelgezogen
das Beispiel ist schlecht, und irgendwie bringst Du da was durcheinander:
$$x=y [mm] \Rightarrow x^2=y^2\,,$$
[/mm]
aber aus
[mm] $$x^2=y^2 [/mm] $$
folgt i.a. nur [mm] $|x|=|y|\,.$ [/mm] Ich glaube, Du meinst auch immer noch was anderes, denn z.B.
$$x=3$$
[mm] $$\Rightarrow x^2=9\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$x^2=9 \Rightarrow |x|=3\,.$$
[/mm]
Aus dem letztstehenden kann man nicht ohne weiteres folgern, dass [mm] $x=3\,.$ [/mm] Und die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl hat immer noch kein negatives Vorzeichen! (Und aus einer negativen Zahl ist sie gar nicht erst definiert!)
Beste Grüße,
Marcel
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Hat sich erledigt. Habe meinen Fehler gefunden.
Gruß
Christoph
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Hallo mathestuden
eigentlich wollte ich auf deine letzte Korrekturmitteilung
antworte, aber das geht dort irgendwie nicht. Du hast dort
geschrieben:
[mm]x^2=9\gdw x_1=3\wedge x_2=-3[/mm],da [mm]3^2=9\wedge\left( -3 \right)^2=9\Rightarrow\IL:=\left\{ 3,-3 \right\}[/mm]
Die Aussage
[mm]x^2=9\ \gdw\ x=3\ \wedge\ x=-3[/mm]
ist natürlich falsch ! es sollte heißen:
[mm]x^2=9\ \gdw\ x\,=\,3\ \vee\ x\,=\,-3[/mm]
Als Mathestudent können dir derartige anscheinend
"läppische" Fehler viel "Kredit" kosten ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Do 29.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
*Hier war nichts richtiges*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Do 29.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Da ist nichts.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich kanns nicht glauben, aber ja.
Und das mit dem Betrag ...|x| =...ich denke das ist mir zu hoch, das versteh ich nicht.^^
Naja für mich hat die Wurzel trotzdem immer noch zwei Lösungen.
Heut ist nicht April oder?
Gruss
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Hallo qsxqsx,
> Ich kanns nicht glauben, aber ja.
> Und das mit dem Betrag ...|x| =...ich denke das ist mir zu
> hoch, das versteh ich nicht.^^
Nana 
>
> Naja für mich hat die Wurzel trotzdem immer noch zwei
> Lösungen.
Du meinst, es gibt 2 Lösungen einer quadrat. Gleichung [mm] $x^2=a$ [/mm] mit $a>0$, nämlich [mm] $x=\pm\sqrt{a}$
[/mm]
Die Wurzel selbst ist stets nicht negativ [mm] $\sqrt{a}\ge [/mm] 0$ (für [mm] $a\ge [/mm] 0$)
[mm] $x^2=4$ [/mm] hat die beiden Lösungen [mm] $x=\pm [/mm] 2$
Aber [mm] $\sqrt{4}=2$ [/mm] ist eind.!
Mit Beträgen:
[mm] $x^2=4$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{4}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] |x|=2$
Also [mm] $x=\pm [/mm] 2$
> Heut ist nicht April oder?
Hier nicht
>
> Gruss
Dito
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja gut,
Reine Definitionssache; ). Ganz schön verwirrend. Man sollte ein neues Zeichen für die nur poitive Wurzel einführen.
Schönen Abend euch, arbeitet nicht zu lange...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo qsxqsx!
> Man sollte ein neues Zeichen für die nur poitive Wurzel einführen.
Warum? Genau dieses Zeichen oder Symbol gibt es doch schon.
Es wird nur leider sehr oft fehlinterpretiert oder falsch angewandt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Für mich ist es aber nicht dieses bestimmte Zeichen.
PS: Wahlrecht für Affen, findet ihr nicht auch??? Affen sind auch Menschen. Ich werde mich politisch dafür einsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:10 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo qsxqsx,
> Für mich ist es aber nicht dieses bestimmte Zeichen.
witzig an der Sache ist eigentlich, dass man sogar für Deine Fehlinterpretation eine Argumentation findet, die das von Dir gesagte auch rechtfertigen kann.
Denn:
Zunächst definiert man [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] ja nur für reelle Zahlen $r [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Nun ist es aber so, dass man auch für [mm] $z\in\IC$ [/mm] von
[mm] $$\sqrt{z}$$
[/mm]
spricht, und hier meint man damit eigentlich eine Lösungsmenge (so kenne ich jedenfalls diese Definition), nämlich die Menge aller komplexen Zahlen [mm] $w\,$, [/mm] so dass [mm] $w^2=z$ [/mm] gilt, und derer gibt es immer genau zwei, vgl. ![[]](/images/popup.gif) Definition der Wurzel einer komplexen Zahl, Wiki.
Wenn man nun aber wegen [mm] $[0,\infty) \subseteq \IR \subseteq \IC$ [/mm] nun bei der Notation [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] (für $r [mm] \ge [/mm] 0$) sagt, dass wir die "komplexe Wurzel" mit [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] bezeichnen, so wäre es in der Tat so, dass wir [mm] $\sqrt{4}=\{-2,2\}$ [/mm] hätten.
Wenn man nun diese "zweideutige Interpretation des Wurzelzeichens" für nichtnegative reelle Zahlen irgendwie "passend machen will", so dass die komplexe Wurzel die reelle "erweitert", so kann man diese Lösungsmengen halt als Äquivalenzklassen auffassen, und jede Äquivalenzklasse anhand eines Elementes genau identifizieren (Repräsentant). Im Falle [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] für $r [mm] \ge [/mm] 0$ wählt man dann halt stets diesen speziellen Representanten in der ÄK, der nichtnegativ ist, aus.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
deine Ausführung über komplexe Zahlen ist zwar richtig, aber ich glaube nicht, dass das schon in der Sek I unterrichtet wird. Das könnte für Simonsheep ein wenig schwer sein.
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> deine Ausführung über komplexe Zahlen ist zwar richtig,
> aber ich glaube nicht, dass das schon in der Sek I
> unterrichtet wird. Das könnte für Simonsheep ein wenig
> schwer sein.
er darf es natürlich gerne überlesen. Meine Mitteilung war an qsxqsx gerichtet.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Jo, danke dir noch für die korrekte Ausfühlichkeit, die du in deinen Artikeln immer beibehälst.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:39 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> Nachdem der Mathemitkunterricht an meiner Schule leider
> mehr schlecht als recht war, hätte ich hie einige Fragen
> zum Thema Wurzelziehen:
>
> Angabe1: [mm]x^2[/mm] = 4
> Meine Lösung wäre x = sqrt(4), x = +2, x = -2
> Ist das richtig so, oder müsste man eher schreiben |x| =
> sqrt(4) --> x =+2, x = -2?
>
> Angabe2: x = sqrt(4)
> Meine Lösung wäre x = +2.
> Warum wird hier die Wurzel anders behandelt als oben? Oder
> gilt oben doch die Möglichkeit mit Betrag?
>
> Ist Wurzelziehen überhaupt eine Äquivalenzumuformung?
>
> Verwirrte Grüße, somnosheep
Definition:
Für eine reelle Zahl $r [mm] \ge [/mm] 0$ ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] definiert als diejenige reelle Zahl [mm] $\bf{s \ge 0}\,,$ [/mm] welche [mm] $s^2=r$ [/mm] erfüllt, d.h. es gilt dann [mm] $\sqrt{r}:=s\,.$
[/mm]
Folgerungen:
1.) Per Definitionem ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] nur für $r [mm] \ge [/mm] 0$ definiert, also nicht für $r < [mm] 0\,.$
[/mm]
2.) Für jede relle Zahl $r [mm] \ge [/mm] 0$ ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] eine eindeutig bestimmte relle Zahl [mm] $\ge 0\,.$
[/mm]
3.) Für eine relle Zahl [mm] $x\,$ [/mm] und $a [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $$x=\sqrt{a} \Rightarrow x^2=a\,,$$
[/mm]
aber die Folgerung
[mm] $$x^2=a \Rightarrow x=\sqrt{a}$$
[/mm]
ist i.a. falsch. In Wahrheit gilt
[mm] $$x^2=a \Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{a} \Rightarrow |x|=\sqrt{a} \Rightarrow x=\pm\sqrt{a}\,.$$
[/mm]
Würde man allerdings $x [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $x^2=a \ge [/mm] 0$ voraussetzen, so würde in der Tat
[mm] $$x^2=a \Rightarrow x=\sqrt{a}$$
[/mm]
gelten. Denn hier käm' der Fall [mm] $x=-\sqrt{a}$ [/mm] für $a [mm] \not=0$ [/mm] nicht in Betracht.
Also:
Setzt man voraus, dass $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $a [mm] \ge 0\,,$ [/mm] so gilt nur
[mm] $$x=\sqrt{a} \Rightarrow x^2=a\,,$$
[/mm]
und
[mm] $$x^2=a \Rightarrow x=\pm \sqrt{a}\,.$$
[/mm]
Setzt man aber mehr voraus, z.B. dass $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $a [mm] \ge 0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$x=\sqrt{a} \gdw x^2=a\,,$$
[/mm]
P.S.:
Es ist also [mm] $\sqrt{4}=2\,,$ [/mm] denn:
Es gibt nur zwei relle Zahlen [mm] $s\,,$ [/mm] die [mm] $s^2=4$ [/mm] erfüllen. [mm] $s_1=2$ [/mm] und [mm] $s_2=-2\,.$ [/mm] Dabei ist aber nur [mm] $s_1 \ge 0\,.$ [/mm]
P.S.:
Man sollte sich bewußt machen, dass $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] eine bijektive Abbildung [mm] $[0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] ist! Die obige Definition der Wurzel ist dabei nicht für die Injektivität von Bedeutung, sondern sie ist von Bedeutung, dass wir hier überhaupt von einer Abbildung (bzw. Funktion) sprechen können.
P.P.S.:
Man sollte beachten, dass (für $x [mm] \in \IR$) $x^2=4$ [/mm] nicht äquivalent zu [mm] $x=\sqrt{2}$ [/mm] ist. Sondern dann gilt
[mm] $$x^2=4 \gdw \sqrt{x^2}=\sqrt{4} \gdw |x|=\sqrt{4} \gdw x=\pm\sqrt{4} \gdw x=\pm [/mm] 2$$
wegen [mm] $\sqrt{4}=2\;\;(\ge 0)\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Hi!
Vielen, vielen Dank für die zahlreichen Antworten und für die besonders umfangreiche von dir! :)
Ich hätte dazu noch einmal eine Frage:
Du schreibst:
[mm] x^2 [/mm] = 4 --> [mm] sqrt(x^2) [/mm] = sqrt(4) --> |x| = 2
Ist der Betrag bei x von der Wurzel her so "definiert", oder tut man das, weil man sagt, man will das "ursprüngliche x" haben, nicht nur das positive?
Liebe Grüße, und danke nochmals für die tollen Antworten, somnosheep :)
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> [mm]x^2[/mm] = 4 --> [mm]\sqrt(x^2)[/mm] = sqrt(4) --> |x| = 2
>
> Ist der Betrag bei x von der Wurzel her so "definiert",
> oder tut man das, weil man sagt, man will das
> "ursprüngliche x" haben, nicht nur das positive?
>
> Liebe Grüße, und danke nochmals für die tollen
> Antworten, somnosheep :)
Hallo somnosheep
(gehörst du zu den Schäfchen, die man zählt, wenn man
endlich einschlafen möchte ?)
Die oben angegebene Zeile ist so zu verstehen:
Es gilt einfach (für alle reellen x) die Gleichung
[mm] $\sqrt{x^2}\ [/mm] =\ |x|$
LG Al-Chw.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
