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Wurzel X größer Log x: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mi 17.08.2016
Autor: JigoroKano

Hey Leute,

ich brauche für einen Teil eines Beweises, den ich im Rahmen einer Ausarbeitung mache, dass gilt:
[mm] \wurzel{x}\ge [/mm] log(x)

Ich dachte mir das so zu zeigen:

[mm] \wurzel{x}\ge log(x)\gdw e^{\wurzel{x}}\ge x\gdw \bruch{e^{\wurzel{x}}}{x}\ge1 [/mm]

Wegen [mm] e^{x}\ge1+x [/mm]
dachte ich mir:
[mm] \bruch{e^{\wurzel{x}}}{x}\ge\bruch{1+\wurzel{x}}{x} [/mm]
Umformen
[mm] \bruch{e^{\wurzel{x}}-1-\wurzel{x}}{x}\ge0 [/mm]

Reihenentwicklung liefert dann:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\wurzel{x})^k}{k!}-1-\wurzel{x}\ge0 [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(\wurzel{x})^k}{k!}-\wurzel{x}\ge0 [/mm]

Aber irgendwie komme ich noch nicht ganz dahinter, dass meine Ungleichung stimmt.... habt ihr vllt ne bessere und auch kürzere Idee?

Beste Grüße und Danke :)

        
Bezug
Wurzel X größer Log x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Mi 17.08.2016
Autor: fred97

Für 0<x<1 ist die Ungleichung richtig, denn log(x) <0 für diese x.

Sei also x [mm] \ge [/mm] 1. Dafür definiere f(x)= [mm] \wurzel{x}-log(x). [/mm]

Nun machst Du wie in der Schule ein Kurvendiskussion:

    wo ist der Graph von f fallend ?

     wo ist der Graph von f fallend ?

      wo ist f'(x)=0 ?

Dann solltest Du Land sehen

FRED
  

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