Wurzel von cos^2 x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Keba |
Hallo,
Vor einigen Wochen hat unser Prof. in Analysis I einige Integrationsregeln vorgestellt, etwas später habe ich mich dann über einen Satz gewundert, leider zu spät um nachfragen zu können; daher frage ich mal hier.
Der Satz sagt aus, dass wenn R eine rationale Funktion mit zwei Varianlen ist, gilt:
[mm] \integral{R(x, 1-x^2) dx} [/mm] = [mm] \integral{R(\sin y, \cos y) * \cos y dy},
[/mm]
was trivial nach der Substitutionsregel mit $x= [mm] \sin [/mm] y$ folge.
Diese ist mir soweit bekannt, ich versteh nur nicht wie aus [mm] $1-x^2$ [/mm] dann [mm] $\cos [/mm] y$ wird. Zunächst "wird es" ja nur zu [mm] $1-\sin^2 [/mm] y = [mm] \sqrt{\cos^2 y}$. [/mm] I. A. [mm] ($\pi$ [/mm] diene als Gegenbeispiel) gilt aber nicht [mm] $\sqrt{\cos^2 y} [/mm] = [mm] \cos [/mm] y$.
Wo liegt da mein Denkfehler? Es liegt ja keine Einschränkung der Aussage auf Intervallen wie [mm] $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ [/mm] vor, die Stammfunktion (so verstehe ich die Aussage) soll für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten.
Grüße, Keba.
PS: *Eigentlich* geht es hier ja weniger um Integration; falls ich mich im Forum geirrt haben sollte, entschuldige ich mich hiermit dafür.
PPS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Keba,
> Der Satz sagt aus, dass wenn R eine rationale Funktion mit
> zwei Varianlen ist, gilt:
> [mm]\integral{R(x, 1-x^2) dx}[/mm] = [mm]\integral{R(\sin y, \cos y) * \cos y dy},[/mm]
>
> was trivial nach der Substitutionsregel mit [mm]x= \sin y[/mm]
> folge.
>
> Diese ist mir soweit bekannt, ich versteh nur nicht wie aus
> [mm]1-x^2[/mm] dann [mm]\cos y[/mm] wird. Zunächst "wird es" ja nur zu
> [mm]1-\sin^2 y = \sqrt{\cos^2 y}[/mm]. I. A. ([mm]\pi[/mm] diene als
> Gegenbeispiel) gilt aber nicht [mm]\sqrt{\cos^2 y} = \cos y[/mm].
Irgendwas stimmt hier noch nicht.
Es gilt ja [mm] $1-\sin^2(y) [/mm] = [mm] \cos^2(y)$ [/mm] , und nicht $1 - [mm] \sin^2(y) [/mm] = [mm] \cos(y)$....
[/mm]
Auch in deinem Satz oben glaube ich nicht, dass die Funktion R wirklich die Argumente x und [mm] 1-x^2 [/mm] hat,
sondern wenn, dann eher x und [mm] \sqrt{1-x^2} [/mm] oder [mm] x^2 [/mm] und [mm] 1-x^2 [/mm] ??
Vielleicht löst sich das Problem dann schon auf.
Im Allgemeinen hast du mit deinen Bedenken aber natürlich Recht: Man kann nicht einfach [mm] $\sqrt{1-\sin^2(y)} [/mm] = [mm] \cos(y)$ [/mm] schreiben, sondern muss da die Vorzeichen beachten.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Keba |
Hallo und danke für die schnelle Antwort,
Ja, tschuldige, da hab ich mich leider verschrieben. Es geht (im ersten Integral) um $R(x, [mm] \sqrt{1-x^2}$, [/mm] sonst macht das ja überhaupt keinen Sinn. Ja, leider fehlen da ein paar Wurzeln und Quadrate.
Also nochmal von vorn:
Satz: Sei $R$ rat. Fkt. aus zwei Variablen. Dann gilt mit der Substitution $x = sin y$:
[mm] $\integral{R(x, \sqrt{1-x^2}) dx}= \integral{R(\sin y, \cos y) * \cos y dy},$
[/mm]
Ist dieser Satz korrekt oder müsste es
[mm] $\integral{R(x, \sqrt{1-x^2}) dx}= \integral{R(\sin y, |\cos y|) * \cos y dy},$
[/mm]
heißen?
Grüße, Keba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 08.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit der WurzelFunktion meint man immer nur die positive Wurzel.
also [mm] \sqrt{1-x^2}\ge [/mm] 0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> mit der WurzelFunktion meint man immer nur die positive
> Wurzel.
> also [mm]\sqrt{1-x^2}\ge[/mm] 0
ich ergänze und erinnere einfach mal:
Eben per Definitionem ist [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] für $a [mm] \ge [/mm] 0$ definiert ALS
DIEJENIGE ZAHL $r [mm] \ge 0\,,$ [/mm] die [mm] $r^2=a$ [/mm] erfüllt.
Man sollte sich merken: [mm] $\sqrt{b^2}=\red{|}b\red{|}$ [/mm] für alle $b [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
(Das folgt quasi fast direkt per Definitionem, aber nur fast direkt!)
Und man beachte, dass [mm] $\sqrt{b^2}={\sqrt{b}}^{\,2}$ [/mm] nur im Falle $b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
(weil man - in [mm] $\IR$ [/mm] - [mm] $\sqrt{b}$ [/mm] für $b < [mm] 0\,$ [/mm] nicht hinschreiben kann.)
Die Gleichung [mm] ${\sqrt{b}}^2=|b|\,$ [/mm] ist dann für $b [mm] \ge [/mm] 0$ ziemlich witzlos...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Hallo und danke für die schnelle Antwort,
>
> Ja, tschuldige, da hab ich mich leider verschrieben. Es
> geht (im ersten Integral) um [mm]R(x, \sqrt{1-x^2}[/mm], sonst macht
> das ja überhaupt keinen Sinn. Ja, leider fehlen da ein
> paar Wurzeln und Quadrate.
> Also nochmal von vorn:
>
> Satz: Sei [mm]R[/mm] rat. Fkt. aus zwei Variablen. Dann gilt mit der
> Substitution [mm]x = sin y[/mm]:
> [mm]\integral{R(x, \sqrt{1-x^2}) dx}= \integral{R(\sin y, \cos y) * \cos y dy},[/mm]
>
> Ist dieser Satz korrekt oder müsste es
> [mm]\integral{R(x, \sqrt{1-x^2}) dx}= \integral{R(\sin y, |\cos y|) * \cos y dy},[/mm]
>
> heißen?
Stehen bei dem Satz keine Integrationsgrenzen?
Die Subsitution funktioniert ja nur, wenn in R nur Werte von -1 bis 1 eingesetzt werden dürfen.
Wenn du also zum Beispiel ein Integral von x = -1 bis x = 1 hast und dann die Substitution x = sin(y) durchführst, geht das Integral ja über in ein Integral von y = [mm] -\pi/2 [/mm] bis y = [mm] \pi/2. [/mm] Beachte, dass auf diesem Bereich [mm] $[-\pi/2, \pi/2]$ [/mm] sowieso [mm] $\cos(y) [/mm] = [mm] |\cos(y)|$ [/mm] gilt, weil der Cosinus dort positiv ist!
Mit anderen Worten: Auf dem Bereich, wo die Substitution Sinn macht (auch ohne Integrationsgrenzen) gilt sowieso [mm] $\cos(y) [/mm] = [mm] |\cos(y)|$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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