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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Di 07.08.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen K durch f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0.
a)Die Tangente t an K im Punkt P ( [mm] x_{P}/ \wurzel{x_{P}}) [/mm] mit [mm] x_{P} [/mm] > 0 schneidet die x-Achse in T [mm] (x_{T}/ [/mm] 0). Zeige, dass die y-Achse die Strecke PT halbiert.
b)Die Normale n von K im Punkt P [mm] (x_{P}/ \wurzel{x_{P}}) [/mm] mit mit [mm] x_{P} [/mm] > 0 schneidet die x-Achse in N ( [mm] x_{N} [/mm] / 0). Zeige,dass für jedes [mm] x_{P} [/mm] > 0 stets [mm] x_{N} [/mm] - [mm] x_{P}= \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo zusammen,
hier mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht auf die richtige Lösung komme.
Ich hatte eigentlich vor meinen kompletten Rechenweg hier zu erklären, aber nachdem ich schon bereits ne gefühlte halbe Stunde gebraucht hab um die Aufgabenstellung richtig einzutippen, versuche ich es erstmal nur mit meinen Teilergebnissen :D
a)
Erstmal hab ich die Gleichung der Tangenten aufgestellt:
t: y= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}*x [/mm] + [mm] \wurzel{x_{P}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}*x_{P}
[/mm]
Dann hab ich versucht den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse auszurechnen, um [mm] x_{T} [/mm] durch [mm] x_{P} [/mm] auszudrücken
da kam ich dann auf: [mm] x_{T}= 3x_{P}
[/mm]
Dann hab ich den Schnittpunkt (ich nenn ihn mal Y) mit der y-Achse ausgerechnet.
da kam ich auf: Y (0 / [mm] \wurzel{x_{P}}-\bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}*x_{P})
[/mm]
So,dann wollte ich die Strecke PY berechnen und kam auf:
[mm] \overline{PY} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}
[/mm]
Dann die Strecke YT:
[mm] \overline{YT}= \bruch{\wurzel{x_{P}}}{3x_{P}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4x_{p}*\wurzel{x_{P}}}
[/mm]
So, unschwer zu erkennen,dass da bei mir nicht das Gleiche rauskommt...
Ich nehm mal stark an,dass sich bei mir gleich mehrere Fehler eingeschlichen haben - ist ja doch etwas komplex die Aufgabe, vor allem mit den vielen allgemeinen Punkten - finde ich zumindest :D
Blöd wäre natürlich,wenn schon meine Tangente falsch wäre, denn mit der hab ich ja dann bei der b) weitergerechnet....
b)
Als erstes hab ich die Gleichung der Normalen aufgestellt:
n: y= 2 [mm] \wurzel{x_{P}}*x [/mm] + [mm] \wurzel{x_{P}} -\bruch{1}{2\wurzel{x_{P}}}
[/mm]
dann hab ich wieder den Schnittpunkt mit der x-Achse ausgerechnet, da kam ich dann auf:
[mm] x_{N}= [/mm] -0,25 was mir doch schon komisch vor kam, weil ich ja eigentlich etwas in Abhängigkeit von [mm] x_{P} [/mm] erwartet hätte.... :(
Somit komm ich auch bei der b) nicht auf das geforderte Ergebnis, denn:
-0,25 - [mm] x_{P} \not= [/mm] 0,5
Ich hoffe,dass ich nicht allzu viele und peinliche Fehler gemacht hab....
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 07.08.2007 | | Autor: | Kroni |
> Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen K durch f(x)=
> [mm]\wurzel{x}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 0.
> a)Die Tangente t an K im Punkt P ( [mm]x_{P}/ \wurzel{x_{P}})[/mm]
> mit [mm]x_{P}[/mm] > 0 schneidet die x-Achse in T [mm](x_{T}/[/mm] 0). Zeige,
> dass die y-Achse die Strecke PT halbiert.
> b)Die Normale n von K im Punkt P [mm](x_{P}/ \wurzel{x_{P}})[/mm]
> mit mit [mm]x_{P}[/mm] > 0 schneidet die x-Achse in N ( [mm]x_{N}[/mm] / 0).
> Zeige,dass für jedes [mm]x_{P}[/mm] > 0 stets [mm]x_{N}[/mm] - [mm]x_{P}= \bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> a)
>
> Erstmal hab ich die Gleichung der Tangenten aufgestellt:
>
> t: y= [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}*x[/mm] + [mm]\wurzel{x_{P}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}*x_{P}[/mm]
Hi,
ja, das habe ich auch so. Allerdings kannst du das noch schöner schreiben, da man bei deinem Bruch einfach mal mit [mm] $\sqrt{x_p}$ [/mm] erweitern kann, so dass man das dann noch mit der anderen Wurzel zu [mm] $\frac{\sqrt{x_p}}{2}$ [/mm] zusammenfassen kann.
>
> Dann hab ich versucht den Schnittpunkt der Tangenten mit
> der x-Achse auszurechnen, um [mm]x_{T}[/mm] durch [mm]x_{P}[/mm]
> auszudrücken
>
> da kam ich dann auf: [mm]x_{T}= 3x_{P}[/mm]
Nein. Ich komme auf [mm] $x=-x_p$ [/mm] was laut CAS auch stimmt.
>
> Dann hab ich den Schnittpunkt (ich nenn ihn mal Y) mit der
> y-Achse ausgerechnet.
>
> da kam ich auf: Y (0 /
> [mm]\wurzel{x_{P}}-\bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}*x_{P})[/mm]
Das brauchst du nicht berechnen, das hast du ja schon mit deinem n der Tangente bestimmt. Auch hier würde ich einfacher schreiben:
[mm] $Y(0;\sqrt(x_p)/2)$
[/mm]
>
> So,dann wollte ich die Strecke PY berechnen und kam auf:
>
> [mm]\overline{PY}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x_{P}}}[/mm]
Ich komme hier mit meinen Werten auf [mm] $\overline{PY}=\sqrt{x_p^2+(\sqrt{x_p}-\sqrt{x_p}/2)^2}$
[/mm]
>
> Dann die Strecke YT:
>
> [mm]\overline{YT}= \bruch{\wurzel{x_{P}}}{3x_{P}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4x_{p}*\wurzel{x_{P}}}[/mm]
>
> So, unschwer zu erkennen,dass da bei mir nicht das Gleiche
> rauskommt...
> Ich nehm mal stark an,dass sich bei mir gleich mehrere
> Fehler eingeschlichen haben - ist ja doch etwas komplex die
> Aufgabe, vor allem mit den vielen allgemeinen Punkten -
> finde ich zumindest :D
Ja, das ist zunächst etwas anstrengend, aber man muss sich nur vorstellen, wofür die Punkte sind etc. Stell dir einfach immer vor, das seien Zahlen!
Okay, bei deiner Strecke YT muss das selbe herauskommen wie bei dem da oben, das liegt aber daran, weil du deinen Punkt T falsch bestimmt hast.
Rechne das nochmal durch, und es wird passen!
>
> Blöd wäre natürlich,wenn schon meine Tangente falsch wäre,
> denn mit der hab ich ja dann bei der b) weitergerechnet....
Die war richtig, aber unschön zusammengefasst;)
>
> b)
>
> Als erstes hab ich die Gleichung der Normalen aufgestellt:
>
> n: y= 2 [mm]\wurzel{x_{P}}*x[/mm] + [mm]\wurzel{x_{P}} -\bruch{1}{2\wurzel{x_{P}}}[/mm]
Hier hast du nicht beachtet, dass gelten muss: [mm] $m1\*m2=-1$!
[/mm]
Dehslb geht deine Rechnung schon ab hier in die falsche Richtung!
>
> dann hab ich wieder den Schnittpunkt mit der x-Achse
> ausgerechnet, da kam ich dann auf:
>
> [mm]x_{N}=[/mm] -0,25 was mir doch schon komisch vor kam, weil
> ich ja eigentlich etwas in Abhängigkeit von [mm]x_{P}[/mm] erwartet
> hätte.... :(
>
> Somit komm ich auch bei der b) nicht auf das geforderte
> Ergebnis, denn:
>
> -0,25 - [mm]x_{P} \not=[/mm] 0,5
Ich geb dir mal als Kontrolle die GLeichung der Normalen an:
[mm] $y=-2\sqrt{x_p}x+\sqrt{x_p}(2x_p+1)$
[/mm]
Mit dieser Normalen kommst du dann auch zum Ziel.
>
>
> Ich hoffe,dass ich nicht allzu viele und peinliche Fehler
> gemacht hab....
Also eins muss ich dir mal sagen: Es gibt keine peinlichen Fehler!
Fehler machen ist menschlich, und wir sind doch da, um dir deine Fehler aufzuzeigen, damit du dann aus den Fehlern lernen kannst=)
Also brauch dir gar nichts peinlich sein =)
>
> Liebe Grüße,
>
> Kati
Lieben Gruß,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 07.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Wow, das ging ja unglaublich schnell!!!!! :D
Dann werd ich mich da jetzt nochmal dran setzen und es ein weiteres Mal versuchen! Ich hoff ich komm jetzt mit deiner Hilfe auf das richtige Ergebnis!
Falls nicht, frag ich einfach nochmal nach ;D
Danke schön für deine schnelle und liebe Hilfe!!!!
Liebe Grüße,
Kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 07.08.2007 | | Autor: | kati93 |
bis zu den Strecken hab ich jetzt die gleichen Ergebnisse bekommen :D
Muss aber grad nochmal etwas nachfragen.
Ich glaub ich hab grundsätzlich die Strecken falsch berechnet!?
Ich hab das so gemacht (mach es jetzt mal allgemein):
P [mm] (x_{1} [/mm] / [mm] y_{1} [/mm] ) [mm] Q(x_{2} [/mm] / [mm] y_{2})
[/mm]
[mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] \bruch{y_{2} - y_{1}}{ x_{2} - x_{1} }
[/mm]
Das ist nicht richtig,oder? Ich komm damit nämlich auf ganz andere Ergebnisse!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Di 07.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Diese Formel stimmt nicht, denn damit berechnest Du die Steigung der Geraden durch die Punkte $P_$ und $Q_$ .
Um den Abstand zweier Punkte (= Streckenlänge) zu berechnen, musst Du folgende Formel anwenden:
$d(P,Q) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Di 07.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Alles klar, danke dir!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Di 07.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Wollt nur schnell Bescheid sagen,dass ich es jetzt richtig hinbekommen hab! Danke schön für die schnelle Hilfe!
Liebe Grüße,
Kati
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