X~U(0,1); F(x) und f(x) ges. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Zgr X~U(0,1). Berechnen Sie die VF und VD folgender Zgr.: 1-X, X-1, X², 1/X, -2lnX |
Hi, ich muss erstmal einführend sagen dass ich irgendwie noch ein Verständnisproblem habe, was die Zgr. betrifft. Deswegen: bitte laaaaangsam erklären.
ich hab mich einfach mal rangeschmissen und präsentiere das mal häppchenweise was ich mir so gedacht habe:
ich fang mal mit der 2. an:
[mm] F_{X-1}(x)=P(X-1 \le [/mm] x)=P(X [mm] \le x+1)=F_{X}(x+1)
[/mm]
jetzt hätte ich die VF in abhöngigkeit von dem X
da X~U(0,1), bedeutet dass das [mm] f_{X}(x)=I_{(0,1)}(x)
[/mm]
damit ist denke ich [mm] f_{X-1}(x)=f_{X}(x+1)=I_{(0,1)}(x+1)
[/mm]
das wäre es dann auch schon für mein 1.
für X² habe ich mir folgendes gedacht:
da X~U(0,1) ist X immer größer 0 (oder falsch gedacht und das hat nix miteinander zu tun?)
1. Fall: x>0
[mm] F_{X²}(x)=P(X² \le [/mm] x)=P(X [mm] \le \wurzel{x})=F_{X}(\wurzel{x}) \Rightarrow f_{X²}(x)=f_{X}(\wurzel{x})=I_{(0,1)}(\wurzel{x})
[/mm]
2. Fall:x=0
[mm] F_{X²}(0)=P(X² \le [/mm] 0)=P(X [mm] \le 0)=F_{X}(0)=0 \Rightarrow f_{X²}(0)=f_{X}(0)=I_{(0,1)}(0)=0
[/mm]
3. Fall: x<0
[mm] F_{X²}(x)=P(X² \le [/mm] x)=P(X [mm] \le \wurzel{x})=0 \Rightarrow f_{X²}(x)=f_{X}(\wurzel{x})=I_{(0,1)}(\wurzel{x})=0
[/mm]
und hätte dann als Endergebnis
[mm] F_{X²}(x)=\begin{cases} F_{X}(\wurzel{x}) , & für x>0 \\ 0, & sonst \end{cases} [/mm] und [mm] f_{X²}(x)=f_{X}(\wurzel{x})\begin{cases} 1, & für \wurzel{x} \in (0,1) \\ 0, & sonst \end{cases} [/mm]
so, das waren erst einmal meine ersten "versuche". wäre nett wenn ihr etwas licht ins dunkel bringen könntet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo celeste16,
dein Ansatz ist nicht schlecht, jedoch kranken deine Ueberlegungen
daran, dass du dir zunaechst nicht Rechenschaft darueber ablegst,
welche Werte die transformierten Zufallsvariablen annehmen. Ausserdem
eierst du etwas um den heissen Brei, wenn du [mm] $F_X$ [/mm] nicht explizit
angibst: [mm] $F_{X}(y)=0$ [/mm] fuer [mm] $y\le [/mm] 0$ und [mm] $F_{X}(y)=1$ [/mm] fuer [mm] $y\ge [/mm] 1$ und
[mm] $F_{X}(y)=y$ [/mm] fuer $y [mm] \in [/mm] (0,1)$.
Betrachte [mm] $X^2$. [/mm] Wenn $X$ Werte im Intervall (0,1) animmt, so auch
[mm] $X^2$. [/mm] Also kannst zu zwei langweilige Faelle schon einmal abhandeln:
[mm] $F_{X^2}(y)=0$ [/mm] fuer [mm] $y\le [/mm] 0$ und [mm] $F_{X^2}(y)=1$ [/mm] fuer [mm] $y\ge [/mm] 1$. Sei nun
[mm] $y\in(0,1)$. [/mm] Dann greift deine Ueberlegung: [mm] $F_{X^2}(y)=F_X(\sqrt{y})=\sqrt{y}$.
[/mm]
Bei der Herleitung der Dichte kann ich dir leider nicht folgen. Was
benutzt du denn da fuer putzige Regeln? Ich wuerde das nach der alten
Bauernregel tun: Innere Ableitung mal aeussere Ableitung. Wie
dem auch sei, da [mm] $F_{X^2}$ [/mm] schon explizit dasteht, brauche ich das
nicht mehr. Es ist naemlich [mm] $f_{X^2}(x)=0$ [/mm] fuer [mm] $y\not\in(0,1)$ [/mm] und
[mm] $f_{X^2}(x)=1/(2\sqrt{y})$ [/mm] fuer [mm] $y\in(0,1)$.
[/mm]
lg Luis
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"putzig"? ja, so würde ich die gesamte vorlesung umschreiben 
Nee, wir hatten: X gleichverteilt auf (a,b) ist, wenn sie eine VD besitzt mit: [mm] f_{X}(x)=\bruch{1}{b-a}I_{a,b}(x)
[/mm]
dann nochmal zu meiner 1.: wenn ich jetzt richtig mitdenke wäre das ja dann als ergebnis so;
[mm] F_{X-1}(x)=\begin{cases} 0, & fuer x \le -1 \\ F_{X}(x+1), & fuer x \in (-1,0) \\ 1, & fuer x\re 0 \end{cases}
[/mm]
oder falsch gedacht?
aber nochmal zu der anderen sache: es ist also richtig "geschlussfolgert", dass wenn X~U(0,1), dann kann X nur Werte in dem Intervall annehmen? das war mir noch nicht so klar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> dann nochmal zu meiner 1.: wenn ich jetzt richtig mitdenke
> wäre das ja dann als ergebnis so;
> [mm]F_{X-1}(x)=\begin{cases} 0, & fuer x \le -1 \\ F_{X}(x+1), & fuer x \in (-1,0) \\ 1, & fuer x\re 0 \end{cases}[/mm]
>
> oder falsch gedacht?
Richtig gedacht. Aber du kannst noch etwas mehr sagen: [mm] $F_{X-1}(x)=x+1$ [/mm] fuer $ x [mm] \in [/mm] (-1,0)$.
>
> aber nochmal zu der anderen sache: es ist also richtig
> "geschlussfolgert", dass wenn X~U(0,1), dann kann X nur
> Werte in dem Intervall annehmen?
Naja, es kann schon Werte ausserhalb "annehmen", aber mit Wsk Null: [mm] $P(X\le [/mm] x )=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$ und
[mm] $P(X\ge [/mm] x )=0$ fuer [mm] $x\ge [/mm] 1$. "Annehmen" ist etwas schlampig ausgedrueckt. Damit ist die Menge M
gemeint, fuer die [mm] $f_X(x)>0$ [/mm] fuer alle [mm] $x\in [/mm] M$ gilt. In deinem Fall ist $M=(0,1)$.
> das war mir noch nicht so
> klar
Klarer?
lg Luis
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> > dann nochmal zu meiner 1.: wenn ich jetzt richtig mitdenke
> > wäre das ja dann als ergebnis so;
> > [mm]F_{X-1}(x)=\begin{cases} 0, & fuer x \le -1 \\ F_{X}(x+1), & fuer x \in (-1,0) \\ 1, & fuer x\re 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > oder falsch gedacht?
>
> Richtig gedacht. Aber du kannst noch etwas mehr sagen:
> [mm]F_{X^2}(x)=x+1[/mm] fuer [mm]x \in (-1,0)[/mm].
> >
leben wir in 2 verschiedenen (funktions-)welten?
hab mich derweil man an die nächste rangewagt:
[mm] F_{1-X}(x)=P(1-X \le [/mm] x)=P(1-x [mm] \le X)=1-P(X<1-x)=1-F_X(1-x-0)=\begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 1, & x \ge 1 \\ 1-F_X(1-x-0), & x \in (0,1) \end{cases} [/mm] und damit ist die VD=0 bei Fall 1 und 2 und 1, beim 3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> leben wir in 2 verschiedenen (funktions-)welten?
Schoener haette ich es nicht ausdruecken koennen! Ja, und zwar in der von $X$ und hier in der von $1-X$.
>
> hab mich derweil man an die nächste rangewagt:
> [mm]F_{1-X}(x)=P(1-X \le[/mm] x)=P(1-x [mm]\le X)=1-P(X<1-x)=1-F_X(1-x-0)=\begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 1, & x \ge 1 \\ 1-F_X(1-x-0), & x \in (0,1) \end{cases}[/mm]
> und damit ist die VD=0 bei Fall 1 und 2 und 1, beim
Prima, aber auch hier kannst du noch vereinfachen: [mm] $F_{1-X}(x)=x$ [/mm] fuer [mm] $x\in(0,1)$.
[/mm]
Etwas hartleibig, gell?
lg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 10.12.2007 | | Autor: | annoe |
okay, das mit der vf hab ich auch noch nicht 100pro verstanden, die 1 und o jeweils bei der unterreilung geben mir die wk an, das wenn zbs x<o den wert darin annimmt?
und das mit der vd sitz noch garnicht. wenn ich dann das in das gesetz einsetze, komm ich doch sowohl bei der ersten als auch der 2. immer auf 1oder?
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na [mm] f_X(x)= [/mm] 1, wenn x [mm] \in [/mm] (0,1) und 0 sonst.
ich hab mir hier glaube ich gedacht dass (ich hoffe wie reden grad beide von der 1-X - situation) in den 1. beiden fällen das x ja nicht in (0,1) liegt und daher 0 wird. und in der letzten situation liegt es eben in genau dieser grnze und muss 1 werden (was ja 1/(b-a) mit (a,b)=(0,1) entspricht)
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nee, sorry. die vereinfachung habe ich jetzt nicht gerafft. wieso gilt das? aber danke schonmal, jetzt habe ich wenigstens ne grobe Ahnung wie das geht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo ihr 2,
wurden hier noch Fragen gestellt?
Kann man die vielleicht auch in deutscher Sprache
formulieren? Ich verstehe kein SMSisch.
vg Luis
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ja, ich hab deine Vereinfachung/Weiterführung zu x nicht verstanden. kannst du mir das noch mal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 10.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> ja, ich hab deine Vereinfachung/Weiterführung zu x nicht
> verstanden. kannst du mir das noch mal erklären?
Moin celeste16,
ich wiederhole, was ich bereits schon einmal geschrieben habe: Die
Dichte der Ausgangsverteilung $U(0,1)$ ist [mm] $f_X(y)=1$ [/mm] fuer $y [mm] \in [/mm] (0,1)$
und [mm] $f_X(y)=0$ [/mm] sonst. Hieraus ergibt sich fuer die zugehoerige
Verteilungsfunktion [mm] $F_X(y)=P(X\le [/mm] y)$: [mm] $F_{X}(y)=0$ [/mm] fuer [mm] $y\le [/mm] 0$
und [mm] $F_{X}(y)=1$ [/mm] fuer [mm] $y\ge [/mm] 1$ und [mm] $F_{X}(y)=y$ [/mm] fuer $y [mm] \in [/mm] (0,1)$.
Um 12.26 Uhr hast du fuer die VD von $X-1$ geschrieben:
[mm] $F_{X-1}(x)=F_X(x+1)$ [/mm] fuer [mm] $x\in(-1,0)$. [/mm] Wenn aber gilt [mm] $x\in(-1,0)$, [/mm] so
ist [mm] $x+1\in(0,1)$. [/mm] Also ist [mm] $F_X(x+1)=x+1$.
[/mm]
vg
Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 10.12.2007 | | Autor: | celeste16 |
> > ja, ich hab deine Vereinfachung/Weiterführung zu x nicht
> > verstanden. kannst du mir das noch mal erklären?
>
>
> Moin celeste16,
>
> ich wiederhole, was ich bereits schon einmal geschrieben
> habe: Die
> Dichte der Ausgangsverteilung [mm]U(0,1)[/mm] ist [mm]f_X(y)=1[/mm] fuer [mm]y \in (0,1)[/mm]
>
> [mm] F_{X}(y)=y[/mm] [/mm] fuer [mm]y \in (0,1)[/mm].
>
ah, der zusammenhang war mir nicht klar. danke! du hast mir sehr geholfen. ich denke den rest kriege ich alleine zusammen
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