X zyklisch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Sa 08.12.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | 1. Seien H und K Untergruppen von G. Wir setzen X=[hk, h [mm] \in [/mm] H, [mm] k\in [/mm] K] und betrachten die davon erzeugte Untergruppe <X> von G. Beweise, dass X=<X> falls H oder K Normalteiler von G ist.
2. Gilt die Umkehrung, wenn man <X>=G vorrausetzt? |
Hallo Leute,
habe den ersten Teil so gelöst:
X=<X> heißt ja, dass X zyklisch ist, ich muss also zeigen:
H oder K Normateiler von G => X ist zyklisch, sprich es existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] für x [mm] \in [/mm] X, sodass [mm] x^{m}=e [/mm] gilt.
Sei n=#G und m=#X nach dem Satz von LaGrange gilt:
m*k=n wobei k [mm] \in \IN
[/mm]
Sei nun H Normalteiler von G => [mm] g^{-1}hg \in [/mm] H liegt und somit gilt auch [mm] g^{-1}hg \in [/mm] HK
Sei [mm] x=g^{-1}hg:
[/mm]
[mm] (g^{-1}hg)^m=(g^{-1}h^{m}g)=(g^{-1}h^{\bruch{n}{k}}g)=(g^{-1}e^{\bruch{1}{k}}g)=(g^{-1}g)=e [/mm] => X zyklisch
Kann man das so machen?
Danke schonmal!
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Hi,
> 1. Seien H und K Untergruppen von G. Wir setzen X=[hk, h
> [mm]\in[/mm] H, [mm]k\in[/mm] K] und betrachten die davon erzeugte
> Untergruppe <x> von G. Beweise, dass X=<x> falls H oder K
> Normalteiler von G ist.
>
> 2. Gilt die Umkehrung, wenn man <x>=G vorrausetzt?
> Hallo Leute,
>
> habe den ersten Teil so gelöst:
>
> X=<x> heißt ja, dass X zyklisch ist, ich muss also
> zeigen:
Nein! X ist erst einmal nur eine Menge von Gruppenelementen. Mit [mm] $\langle [/mm] X [mm] \rangle$ [/mm] bezeichnet man die Gruppe, die von ALLEN Elementen aus X erzeugt werden.
Bsp.: Sei [mm] $X=\{id,(12),(24)\}$. [/mm] Dann ist [mm] $\langle [/mm] X [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{id,(12),(24),(14)\}$.
[/mm]
Im Allgemeinen gilt NICHT(!) : "Sind H und K Gruppen, dann ist HK auch eine Gruppe. "
Wie in der Aufgabe auch enthalten ist, muss H oder K ein Normalteiler sein.
Edit (oder): Gilt AB=BA für Untergruppen von G(als Mengengleichheit). So ist auch AB eine Untergruppe von G.
Ist X:=HK eine Untergruppe, so gilt [mm] $X=\langle [/mm] X [mm] \rangle$. [/mm] Sonst ist [mm] $X\neq \langle [/mm] X [mm] \rangle$ [/mm] (siehe Beispiel)
Vielmehr musst du X:=HK betrachten und zeigen, dass X:=HK eine Untergruppe von G ist (mittels Axiome). Dabei wirst du die Normalteilereigenschaft benutzen müssen.
Anfang: Seien H,K Untergruppen von G. Wir setzen X:=HK , wobei H,K Untergruppen von G sind und K normal in G ist.
U1) nichtleer
U2) abgeschlossen
U3) inverse sind mit drin
>
> H oder K Normateiler von G => X ist zyklisch, sprich es
> existiert ein m [mm]\in \IN[/mm] für x [mm]\in[/mm] X, sodass [mm]x^{m}=e[/mm] gilt.
>
> Sei n=#G und m=#X nach dem Satz von LaGrange gilt:
>
> m*k=n wobei k [mm]\in \IN[/mm]
>
> Sei nun H Normalteiler von G => [mm]g^{-1}hg \in[/mm] H liegt und
> somit gilt auch [mm]g^{-1}hg \in[/mm] HK
>
> Sei [mm]x=g^{-1}hg:[/mm]
>
> [mm](g^{-1}hg)^m=(g^{-1}h^{m}g)=(g^{-1}h^{\bruch{n}{k}}g)=(g^{-1}e^{\bruch{1}{k}}g)=(g^{-1}g)=e[/mm]
> => X zyklisch
Was ist [mm] $e^{1/k}$ [/mm] für ein Element?
>
> Kann man das so machen?
Nein.
>
> Danke schonmal!
Gruß wieschoo ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Sa 08.12.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke für deine Antwort!
Erstmal verstehe ich dein Beispiel nicht um ehrlich zu sein:
X=[id,(12),(24)]
Da muss ich doch dann alle Kombinationen anschauen, ich verstehe nicht, wie du auf (14) kommst, wir reden doch von Zykeln oder?
(12)(24)=(124)
(24)(12)=(142)
Das heißt doch, dass <X>=[id,(12),(24),(124),(142)] ist oder?
Würde das ganze gerne klären, bevor ich beginne.
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> Danke für deine Antwort!
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> Erstmal verstehe ich dein Beispiel nicht um ehrlich zu
> sein:
>
> X=[id,(12),(24)]
>
> Da muss ich doch dann alle Kombinationen anschauen, ich
> verstehe nicht, wie du auf (14) kommst, wir reden doch von
> Zykeln oder?
>
> (12)(24)=(124)
> (24)(12)=(142)
>
> Das heißt doch, dass <x>=[id,(12),(24),(124),(142)] ist
> oder?
Da hast du natürlich Recht. Ich habe die 2 vergessen zu tippen. So, wie du es jetzt aufgeschrieben hast ist es richtig.</x>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 So 09.12.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, dann nunmal ran an den Speck.
HK nichtleer sollte klar sein.
Inverses sollte auch klar sein, da H un K Untergruppen sind, sprich es müssen Inverse vorhanden sein.
Abgeschlossenheit ist nun die Sache.
Nehmen wir mal an, dass H ein Normalteiler von G ist, das heißt
[mm] g^{-1}hg \in [/mm] H für alle g [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H
Wenn nun aber [mm] g^{-1}hg \in [/mm] H liegt [mm] g^{-1}hg \in [/mm] HK
Mir ist aber nicht ganz klar, inwiefern mir das hilft.
Mir ist auch noch nicht klar, warum <X> nicht gleichbedeutend mit einer zyklischen Gruppe ist, wenn ich ein Element aus einer Gruppe nehme und mir <a> anschaue, ist das eine zyklische Untergruppe, warum hier nicht?
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Hi,
> Ok, dann nunmal ran an den Speck.
>
> HK nichtleer sollte klar sein.
>
> Inverses sollte auch klar sein, da H un K Untergruppen
> sind, sprich es müssen Inverse vorhanden sein.
Nicht so schnell! Du musst für [mm] $hk\in [/mm] HK$ mit [mm] $h\in H,k\in [/mm] K$ zeigen, dass auch [mm] $(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in [/mm] HK$ gilt!
Für beliebige Untergruppen gilt das eben nicht.
>
> Abgeschlossenheit ist nun die Sache.
>
> Nehmen wir mal an, dass H ein Normalteiler von G ist, das
> heißt
>
> [mm]g^{-1}hg \in[/mm] H für alle g [mm]\in[/mm] G und h [mm]\in[/mm] H
>
> Wenn nun aber [mm]g^{-1}hg \in[/mm] H liegt [mm]g^{-1}hg \in[/mm] HK
>
> Mir ist aber nicht ganz klar, inwiefern mir das hilft.
>
> Mir ist auch noch nicht klar, warum <x> nicht
> gleichbedeutend mit einer zyklischen Gruppe ist, wenn ich
> ein Element aus einer Gruppe nehme und mir <a> anschaue,
> ist das eine zyklische Untergruppe, warum hier nicht?
Noch einmal es geht hier NICHT um zyklische Gruppen.
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von EINEM Element erzeugt wird, d.h. $G = [mm] \langle [/mm] x [mm] \rangle [/mm] $. Für EIN Element [mm] $x\in [/mm] G$.
Für eine Menge X, bestehend aus MEHREREN Elementen, ist [mm] $\langle [/mm] X [mm] \rangle [/mm] $ die von der Menge M erzeugte Gruppe. Diese ist i.A. NICHT zyklisch.
Für die Abgeschlossenheit:
Sei $K [mm] \triangleleft [/mm] G$ ein Normalteiler von G und H eine Untergruppe von G.
Nimm $hk,h'k' [mm] \in [/mm] HK$ mit [mm] $h,h'\in [/mm] H, [mm] k,k'\in [/mm] K$ und zeige unter der Benutzung von der Normalteilereigenschaft, dass gilt
[mm] $(hk)(h'k')=\ldots [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] h''k''\in [/mm] HK$
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