ZV + Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Mo 04.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Außerdem habe ich bei folgender Aufage noch Probleme:
U sei eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable und F eine Verteilungsfunktion. Weiter sei [mm] F^{-1}(u) [/mm] = inf{ [mm] x:F(x)\ge [/mm] u }.
a. Zeugen Sie, dass [mm] F^{-1}(U) [/mm] eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F ist!
b. Ein Zufallszahlengenerator erzeuge gleichverteilte (Pseudo-) Zufallszahlen. Wie würden Sie ihn verwenden, um
- exponentialverteilte,
- geometrisch verteilte
Zufallsvariable zu erzeugen?
Weiß auch nicht, was ich da genau machen soll und hoffe, dass mir jemand helfen kann, obwohl ich keinen eigenen Lösungansatz posten kann... Wenn ich es könnte, würde ich es sofort tun...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei [mm] $\tilde{F}$ [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] $F^{-1}(U)$.
[/mm]
Dann folgt aus der Monotonie von $F$ für alle $y [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $F^{-1}(U) \le [/mm] y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad \inf\{x \in \IR\, : \, F(x) \ge U\} \le [/mm] y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] F(y) [mm] \ge [/mm] U$.
Damit erhält man:
[mm] $\tilde{F}(y) [/mm] = [mm] P(F^{-1}(U) \le [/mm] y)$
$= P (U [mm] \le [/mm] F(y))$
$=F(y)$,
da $U$ gleichverteilt ist und somit für alle $z [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt: $P(U [mm] \le [/mm] z)=z$.
Daraus folgt die Behauptung.
Den zweiten Teil kannst du dir ja mal selber überlegen. Die Erzeugung der Zufallszahlen folgt sofort aus der Konstruktion der ersten Teilaufgabe durch Erzeugung von gleichverteilten Zufallsvariablen auf $[0,1]$ und "Zurückziehen" mittels [mm] $F^{-1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mo 04.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Vielen Dank schonmal!
Dann werde ich mich nachher mal an die zweite Teilaufgabe setzen.
Falls noch eine Frage aufkommen sollte, poste ich sie einfach hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 04.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Ich verstehe irgendwie gar nicht so richtig, wie diese Zufallszahlen erzeugt werden.
Exponentialverteilung ist doch dann
für [mm] \lambda>0: [/mm]
[mm] P((-\infty,x]) =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \\ 1-e^{-\lambda*x}, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Was ist denn die geometrische Verteilung?
Kannst du mir vielleicht noch 'nen Tipp geben?
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Hallo ihr beiden!
> Ich verstehe irgendwie gar nicht so richtig, wie diese
> Zufallszahlen erzeugt werden.
> Exponentialverteilung ist doch dann
> für [mm]\lambda>0:[/mm]
> [mm]P((-\infty,x]) =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \\ 1-e^{-\lambda*x}, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Jetzt musst Du lediglich die Umkehrfunktion von [mm] $F(x)=P((-\infty,x])$ [/mm] bilden, denn das ist ja gerade [mm] $F^{-1}$. [/mm] Also für $0<u<1$:
[mm] $u=1-e^{-\lambda*x}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow e^{-\lambda*x}=1-u$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow x=-1/\lambda \ln(1-u)$
[/mm]
Also [mm] $F^{-1}(u)=-1/\lambda \ln(1-u)$. [/mm] Hast Du nun gleichverteilte Zufallszahlen [mm] $u_i$, $i=1,2,\ldots$, [/mm] musst Du lediglich [mm] $x_i=-1/\lambda \ln(1-u_i)$ [/mm] bilden, um exponentialverteilte Zufallszahlen [mm] $x_i$, $i=1,2,\ldots$ [/mm] zu erhalten.
> Was ist denn die geometrische Verteilung?
Das kannst Du doch wohl selbst nachschlagen, oder?
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mi 06.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Gie geometrische Verteilung ist ja
[mm] P(X=n)=p*(1-p)^{n-1} [/mm] für n=1,2,3,...
Muss ich das dann genau so machen, wie bei der exponentiellen Verteilung? Wüsste nicht, wonach ich dann aulösen soll... Habe ja kein x.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, für die Verteilungsfunktion gilt für $x [mm] \ge [/mm] 0$
$F(x)= 1 - [mm] (1-p)^{[x]}$,
[/mm]
wobei $[x]$ die Gaußklammer von $x$ ist.
Daher gilt für die verallgemeinerte Inverse, wenn ich den Wertebereich auf [mm] $\IN_0$ [/mm] einschränke:
[mm] $F^{-1}(u) [/mm] = [mm] \inf\{n \in \IN_0\, : \, 1-(1-p)^{n} \ge u\} [/mm] = [mm] \left[\frac{\ln(1-u)}{\ln(1-p)} \right] [/mm] +1$,
falls ich mich nicht verrechnet habe.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Mi 06.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Alles klar.
Dann bedanke ich mich recht herzlich! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 06.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Eine Frage hätte ich noch:
Wenn ich die Verteilungsfunktion nach x umforme erhalte ich
[mm] [x]=\bruch{ln(1-u)}{ln(1-p)}
[/mm]
Dein Ergebnis lautet:
[mm] x=[\bruch{ln(1-u)}{ln(1-p)}]+1
[/mm]
Ist die 1 ein Tippfehler oder kommt die durch das Umformen der Gaußklammer? Bin mit den Rechenregeln nicht all zu vertraut.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 07.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, die $1$ ist kein Tippfehler. Sie ist nur dann falsch, wenn [mm] $\frac{\ln(1-u)}{\ln(1-p)}$ [/mm] zufällig ganzzahlig ist (was mit Wahrscheinlichkeit $0$ vorkommt, ansonsten muss man bei der Umformung die $1$ addieren. Mache dir das doch mal an Beispielen klar am Besten...
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 07.07.2005 | | Autor: | qwert_z |
Eine Frage ist mir doch noch eingefallen :
Warum muss man bei der Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung überhaupt die Gauss-Klammer benutzen?
Habe das nirgends gefunden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Do 07.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Man muss das nur dann tun, wenn man diese Verteilung auf [mm] $\IR$ [/mm] einbetten will (so wie ich es getan habe). Wenn du die Verteilungsfunktion auf [mm] $\IN_0$ [/mm] definierst, dann kannst du dir das sparen.
So, ich denke damit sind alle Fragen geklärt.
Viele Grüße
Julius
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