Zählmaß auf N < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:57 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu : \mathcal P ( \mathbb N ) \to \left[ 0, \infty \right] [/mm] das Zählmaß auf [mm] \mathbb N [/mm] , d.h
[mm] \mu (A ) = \left\{\begin{matrix} \# A & falls \ A \ endlich \\
\infty & sonst \end{matrix}\right.
[/mm] .
(i) Was sind die Nullmengen? Was sind die messbaren Funktionen?
(ii) Was sind Treppenfunktionen?
(iii) Zeigen Sie : Ist [mm] \summe_{n = 1 }^\infty | f(n) | [/mm] konvergent, dann ist [mm] f: \mathbb N \to \mathbb R [/mm] bezüglich [mm] \mu [/mm] integrabel.
(iv) Was ist dann der Wert des Integrals [mm] \integral f d\mu [/mm] ?
Hallo zusammen!
Ich finde diese Aufabe ein wenig komisch formuliert, denn ich weiß z.B. aus der Aufgabenstellung nicht wirklich, ob man nun jetzt nur allgemein aufschreiben soll, was eine Nullmenge, messbare Funktion oder Treppenfunktion ist, oder in Bezug auf das Zählmaß. Deswegen, versuche ich einfach beides hier!
(i) Nach Definition gilt:
Sei [mm] ( X, \mathcal A , \mu ) [/mm] ein Maßraum.
[mm] N \subseteq X [/mm] heißt Nullmenge, wenn [mm] N \in \mathcal A [/mm] und [mm] \mu (N) = 0 [/mm] ist.
Also im Falle des Zählmaßes besteht die Nullmenge nur aus der Leeren Menge. Denn dort ist das Maß Null, und die leeren Menge ist Teilmenge von der Grundmenge und auch nach Definition der Algebra auch in ihr enthalten. Richtig?
Zu den messbaren Funktionen:
Hier ist doch die Menge aller meßbarer nicht negativer Funktionen gleich der Menge aller Funktionen [mm] f: \mathbb N \to \left[ 0, \infty \right] [/mm] Richtig?
(ii) Nach Definition aus der Vorlesung:
(a)
[mm] f: X \to \mathbb R [/mm] heißt Stufenfunktion, wenn f nur endlich viele Werte [mm] c_1, c_2, ..., c_k [/mm] annimmt , und alles Stufen
[mm] f^{-1} ( \{ c_i \} ) = \{ x | f(x) = c_i \} [/mm] messbar sind.
(b)
Eine Stufenfunktion heißt Treppenfunktion, wenn die (endlich vielen Stufen ) zu Wrten ungleich 0 endliches Maß haben.
[mm] c \ne 0 \Rightarrow \mu ( \{ x | f(x) = c \} ) < \infty [/mm]
Aus der Vorlesung ist auch bekannt, dass sich jede Funktion f, welche eine Treppenfunktion ist, sich auch folgendermaßen schreiben lässt:
[mm] f = \summe_{i \in I } c_i \chi_{A_i} [/mm] , wobei I endlich, [mm] X = \bigcup_{i \in I } A_i [/mm] disjunkt, [mm] \mu ( A_i ) < \infty [/mm] falls [mm] c_i \ne 0 [/mm]
Sehe ich das richtig, wenn ich sage, dass man auch beim Zählmaß so eine Darstellung erreichen könnte? Wenn ich die Menge der natürlichen Zahlen in solche disjunkten [mm] A_i [/mm] unterteile und in der Summe das [mm] c_i [/mm] einfach die Anzahl der Elemente jeder dieser Teilmengen ist...
Oder ist dies komplett falsche Richtung?
Sonst wüsste ich leider nicht, was mir noch zum Zählmaß und Treppenfunktionen einfallen soll.....
(iii) , (iv) Hier habe ich den Tipp bekommen eine Cauchy - Folge von Treppenfunktionen zu bilden und damit irgenwie die punktweise ( f. ü. ) Konvergenz gegen f zu zeigen. Und somit dann später den Limes anzuwenden.... Leider stehe ich da auf dem Schlauch :-(.. Vieleicht kann mir auch hier jemand helfen...
Vielen Dank!
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 So 25.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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